（1）求、的值；
（2）如果拋物線經(jīng)過點、，該拋物線的頂點為點，求的值；
圖1
O
x
y
（3）設(shè)點在直線上，且在第一象限內(nèi)，直線與軸的交點為點，如果，求點的坐標(biāo).
【答案】：（1） （2）（3）（4,8）
【解析】：（1） ∵直線的經(jīng)過點
∴
∴
∵直線的經(jīng)過點
∴
∴
（2）由可知點的坐標(biāo)為
∵拋物線經(jīng)過點、
∴
∴，
∴拋物線的表達(dá)式為
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為
∴,,
∴
∴
∴
∴
（3）過點作軸，垂足為點，則∥軸
∵,
∴△∽△
∴
∵直線與軸的交點為點
∴點的坐標(biāo)為,
又，
∴，
∵
∴,
∵∥軸
∴
∴
∴
即點的縱坐標(biāo)是
又點在直線上
點的坐標(biāo)為
【典例2】如圖在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，拋物線與y軸交于點A，與x軸分別交于點B（-1，0）、點C（3，0），點D是拋物線的頂點.
（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點D的坐標(biāo)；
（2）聯(lián)結(jié)AD、DC，求的面積；
備用圖
第2題圖
（3）點P在直線DC上，聯(lián)結(jié)OP，若以O(shè)、P、C為頂點的三角形與△ABC相似，求點P的坐標(biāo)．

【答案】（1）（1，-4）（2）3（3）或
【解析】：（1） 點B（-1，0）、C（3，0）在拋物線上
∴，解得
∴拋物線的表達(dá)式為，頂點D的坐標(biāo)是（1，-4）
（2）∵A（0，-3），C（3，0），D（1，-4） ∴，，
∴ ∴
∴
（3）∵，，
∴△CAD∽△AOB，∴
∵OA=OC， ∴
∴，即
若以O(shè)、P、C為頂點的三角形與△ABC相似 ，且△ABC為銳角三角形
則也為銳角三角形，點P在第四象限
由點C（3，0），D（1，-4）得直線CD的表達(dá)式是，設(shè)（）
過P作PH⊥OC，垂足為點H，則，
①當(dāng)時,由得，
∴，解得， ∴
②當(dāng)時,由得，
∴，解得，∴
綜上得或
【典例3】已知拋物線經(jīng)過點、、．
（1）求拋物線的解析式；
（2）聯(lián)結(jié)AC、BC、AB，求的正切值；
（3）點P是該拋物線上一點，且在第一象限內(nèi)，過點P作交軸于點，當(dāng)點在點的上方，且與相似時，求點P的坐標(biāo)．
（第3題圖）
y
x
A
B
C
O
【答案】：（1）解得

點的坐標(biāo)為或
【解析】：（1）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為，將（,）、（，）、（,）代入，得
解得
所以，這個二次函數(shù)的【解析】式為
（2）∵（,）、（，）、（,）
∴，，
∴
∴
∴
（3）過點P作，垂足為H
設(shè)，則
∵（,）
∴，
∵
∴當(dāng)△APG與△ABC相似時，存在以下兩種可能：
① 則
即 ∴ 解得
∴點的坐標(biāo)為
② 則
即 ∴ 解得
∴點的坐標(biāo)為
【典例4】已知拋物線經(jīng)過點A（1,0）和B（0,3），其頂點為D.
（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）求△ABD的面積；
（3）設(shè)P為該拋物線上一點，且位于拋物線對稱軸
右側(cè)，作PH⊥對稱軸，垂足為H，若△DPH與△AOB相
似，求點P的坐標(biāo).
【答案】：（1）拋物線的表達(dá)式為（2）1（3）點P的坐標(biāo)為（5,8），.
【解析】：（1）由題意得：， 解得：，
所以拋物線的表達(dá)式為.
（2）由（1）得D（2，﹣1），
作DT⊥y軸于點T,
則△ABD的面積=.
（3）令P.
由△DPH與△AOB相似，易知∠AOB=∠PHD=90°，
所以或，
解得：或，
所以點P的坐標(biāo)為（5,8），.
【典例5】平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖8），已知拋物線經(jīng)過點A（1,0）和B（3,0），
與y軸相交于點C，頂點為P．
圖5
（1）求這條拋物線的表達(dá)式和頂點P的坐標(biāo)；
（2）點E在拋物線的對稱軸上，且EA=EC，
求點E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，記拋物線的對稱軸為
直線MN，點Q在直線MN右側(cè)的拋物線
上，∠MEQ=∠NEB，求點Q的坐標(biāo)．

【答案】：（1）P的坐標(biāo)是（2，-1）（2）m=2（3），點E的坐標(biāo)為（5，8）
【解析】：（1）∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點A（1，0）和B（3，0），
∴，解得：，．
∴這條拋物線的表達(dá)式是
頂點P的坐標(biāo)是（2，-1）．
（2）拋物線的對稱軸是直線，設(shè)點E的坐標(biāo)是（2，m）．
根據(jù)題意得： ，解得：m=2，
∴點E的坐標(biāo)為（2，2）．
（3）解法一：設(shè)點Q的坐標(biāo)為，記MN與x軸相交于點F．
作QD⊥MN，垂足為D，
則，
∵∠QDE=∠BFE=90°，∠QED=∠BEF，∴△QDE∽△BFE，
∴，∴，
解得（不合題意，舍去），．
∴，點E的坐標(biāo)為（5，8）．
解法二：記MN與x軸相交于點F．聯(lián)結(jié)AE，延長AE交拋物線于點Q，
∵AE=BE， EF⊥AB，∴∠AEF=∠NEB，
又∵∠AEF=∠MEQ，∴∠QEM=∠NEB，
點Q是所求的點，設(shè)點Q的坐標(biāo)為，
作QH⊥x軸，垂足為H，則QH=，OH=t，AH=t-1，
∵EF⊥x軸，∴EF ∥QH，∴，∴，
解得（不合題意，舍去），．
∴，點E的坐標(biāo)為（5，8）．
x
B
C
第6題圖
O
y
·
【典例6】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點B（8,0）和點C（9，）．拋物線（a，c是常數(shù)，a≠0）經(jīng)過點B、C，且與x軸的另一交點為A．對稱軸上有一點M ，滿足MA=MC．
（1） 求這條拋物線的表達(dá)式；
（2） 求四邊形ABCM的面積；
（3） 如果坐標(biāo)系內(nèi)有一點D，滿足四邊形ABCD是等腰梯形，
且AD//BC，求點D的坐標(biāo)．
【答案】：（1）拋物線的表達(dá)式：
（2）3（3） 點D的坐標(biāo)
【解析】：（1）由題意得：拋物線對稱軸，即．
點B（8,0）關(guān)于對稱軸的對稱點為點A（0,0）∴，
將C（9，-3）代入，得
∴拋物線的表達(dá)式：
（2）∵點M在對稱軸上，∴可設(shè)M（4，y）
又∵M(jìn)A=MC，即
∴, 解得y=-3, ∴M（4，-3）
y
∵M(jìn)C//AB且MC≠AB, ∴四邊形ABCM為梯形，,
AB=8,MC=5,AB邊上的高h(yuǎn) = yM = 3
∴
x
O
(3) 將點B（8,0）和點C（9，﹣3）代入 可得
M
A
C
B
，解得
由題意得，∵AD//BC, ∴ ，
又∵AD過（0,0），DC=AB=8，
設(shè)D(x,-3x) ,
解得(不合題意，舍去)，
∴∴點D的坐標(biāo)．
A
B
O
C
x
y
（第7題圖）
D
【典例7】如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于
點A和點B（1，0），與y軸相交于點C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式和頂點D的坐標(biāo)；
（2）求證：∠DAB=∠ACB；
（3）點Q在拋物線上，且△ADQ是以AD為
底的等腰三角形，求Q點的坐標(biāo)．
【答案】：（1）頂點坐標(biāo)D（－1，4）．（2）
（3）點Q的坐標(biāo)是，
【解析】：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入中，
得，解得．
∴拋物線的解析式是：．
∴頂點坐標(biāo)D（－1，4）．
（2）令，則，，，∴A（－3，0）
∴，∴∠CAO=∠OCA．
在中，．
∵，，，
∴，；
∴，是直角三角形且，
∴，
又∵∠DAC和∠OCB都是銳角，∴∠DAC=∠OCB．
∴，
即．
（3）令，且滿足，,0)，，4）
∵是以AD為底的等腰三角形，
∴，即，
化簡得：．
由，
解得，．
∴點Q的坐標(biāo)是，．
【典例8】如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別相交于點、，并與拋物線的對稱軸交于點，拋物線的頂點是點．
（1）求和的值；
（2）點是軸上一點，且以點、、為頂點的三角形與△相似，求點的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上是否存在點：它關(guān)于直線的對稱點恰好在軸上．如果存在，直接寫出點的坐標(biāo)，如果不存在，試說明理由．
圖8
x
y
1
1
O
【答案】：（1）b=1（2）點有兩個，其坐標(biāo)分別是和 （3）點的坐標(biāo)是或
【解析】：
（1） 由直線經(jīng)過點，可得.
由拋物線的對稱軸是直線，可得.
∵直線與軸、軸分別相交于點、，
∴點的坐標(biāo)是，點的坐標(biāo)是.
∵拋物線的頂點是點，∴點的坐標(biāo)是.
∵點是軸上一點，∴設(shè)點的坐標(biāo)是.
∵△BCG與△BCD相似，又由題意知，，
∴△BCG與△相似有兩種可能情況：
①如果，那么，解得，∴點的坐標(biāo)是.
②如果，那么，解得，∴點的坐標(biāo)是.
綜上所述，符合要求的點有兩個，其坐標(biāo)分別是和 ．
（3）點的坐標(biāo)是或.
【典例9】已知：如圖9，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的圖像與x軸交于點
A（3，0），與y軸交于點B，頂點C在直線上，將拋物線沿射線AC的方向平移，當(dāng)頂點C恰好落在y軸上的點D處時，點B落在點E處．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）求平移過程中線段BC所掃過的面積；
（3）已知點F在x軸上，點G在坐標(biāo)平面內(nèi)，且以點C、E、F、G為頂點的四邊形是矩形，求點F的坐標(biāo)．
備用圖
圖9
．
【答案】：（1）拋物線的解析式為
（2）12（3）有，，），．
【解析】：（1）∵頂點C在直線上，∴，∴．
將A（3，0）代入，得，
解得，．
∴拋物線的解析式為．
（2）過點C作CM⊥x軸，CN⊥y軸，垂足分別為M、N．
∵=，∴C（2，）
∵，∴∠MAC=45°，∴∠ODA=45°，
∴．
∵拋物線與y軸交于點B，∴B（0，），
∴．
∵拋物線在平移的過程中，線段BC所掃過的面積為平行四邊形BCDE的面積，
∴．
（3）聯(lián)結(jié)CE.
∵四邊形是平行四邊形，∴點是對角線與的交點，
即 .
（i）當(dāng)CE為矩形的一邊時，過點C作，交軸于點，
設(shè)點，在中，，
即 ，解得 ，∴點
同理，得點
（ii）當(dāng)CE為矩形的對角線時，以點為圓心，長為半徑畫弧分別交軸于點
、，可得 ，得點、
綜上所述：滿足條件的點有，，），．
【典例10】如圖，已知拋物線y=ax2+bx的頂點為C（1，），P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點，直線OP交該拋物線對稱軸于點B，直線CP交x軸于點A．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）如果點P的橫坐標(biāo)為m，試用m的代數(shù)式表示線段BC的長；
（3）如果△ABP的面積等于△ABC的面積，求點P坐標(biāo)．
(第10題圖)
y
P
O
x
C
B
A
【答案】：（1）拋物線的表達(dá)式為：y=x2-2x
（2） BC= m-2+1=m-1（3）P的坐標(biāo)為（）
(第10題圖)
y
P
O
x
C
B
A
【解析】：（1）∵拋物線y=ax2+bx的頂點為C（1，）
∴
解得：
∴拋物線的表達(dá)式為：y=x2-2x；
（2）∵點P 的橫坐標(biāo)為m，
∴P 的縱坐標(biāo)為：m2-2m
令BC與x軸交點為M，過點P作PN⊥x軸，垂足為點N
∵P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點，
∴PN= m2-2m，ON=m，O M=1
由得∴ BM=m-2
∵ 點C的坐標(biāo)為（1，），
∴ BC= m-2+1=m-1
（3）令P(t，t2-2t)
△ABP的面積等于△ABC的面積
∴AC=AP
過點P作PQ⊥BC交BC于點Q
∴CM=MQ=1
∴t2-2t=1
∴（舍去）
∴ P的坐標(biāo)為（）

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