【答案】：5元,625元
【解析】：設每件價格降價元，利潤為元，
則：

當，（元）
答：價格提高5元，才能在半個月內(nèi)獲得最大利潤．
【典例2】黔東南州某超市購進甲、乙兩種商品，已知購進3件甲商品和2件乙商品，需60元；購進2件甲商品和3件乙商品，需65元．
（1）甲、乙兩種商品的進貨單價分別是多少？
（2）設甲商品的銷售單價為x（單位：元/件），在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：當11≤x≤19時，甲商品的日銷售量y（單位：件）與銷售單價x之間存在一次函數(shù)關系，x、y之間的部分數(shù)值對應關系如表：
請寫出當11≤x≤19時，y與x之間的函數(shù)關系式．
（3）在（2）的條件下，設甲商品的日銷售利潤為w元，當甲商品的銷售單價x（元/件）定為多少時，日銷售利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】（1）甲、乙兩種商品的進貨單價分別是10、15元/件；（2）y＝﹣2x+40（11≤x≤19）．（3）當甲商品的銷售單價定為15元/件時，日銷售利潤最大，最大利潤是50元．
【解析】
【分析】
（1）設甲、乙兩種商品的進貨單價分別是a、b元/件，然后列出二元一次方程組并求解即可；
（2）設y與x之間的函數(shù)關系式為y＝k1x+b1，用待定系數(shù)法求解即可；
（3）先列出利潤和銷售量的函數(shù)關系式，然后運用二次函數(shù)的性質求最值即可．
【詳解】
解：（1）設甲、乙兩種商品的進貨單價分別是a、b元/件，由題意得：
，
解得：．
∴甲、乙兩種商品的進貨單價分別是10、15元/件．
（2）設y與x之間的函數(shù)關系式為y＝k1x+b1，將（11，18），（19，2）代入得：
，解得：．
∴y與x之間的函數(shù)關系式為y＝﹣2x+40（11≤x≤19）．
（3）由題意得：
w＝（﹣2x+40）（x﹣10）
＝﹣2x2+60x﹣400
＝﹣2（x﹣15）2+50（11≤x≤19）．
∴當x＝15時，w取得最大值50．
∴當甲商品的銷售單價定為15元/件時，日銷售利潤最大，最大利潤是50元．
【點睛】
本題考查了二元一次方程組的應用、運用待定系數(shù)法則求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質求最值等知識點，弄懂題意、列出方程組或函數(shù)解析式是解答本題的關鍵．
【典例3】為倡導健康環(huán)保，自帶水杯已成為一種好習慣，某超市銷售甲，乙兩種型號水杯，進價和售價均保持不變，其中甲種型號水杯進價為25元/個，乙種型號水杯進價為45元/個，下表是前兩月兩種型號水杯的銷售情況：
（1）求甲、乙兩種型號水杯的售價；
（2）第三月超市計劃再購進甲、乙兩種型號水杯共80個，這批水杯進貨的預算成本不超過2600元，且甲種型號水杯最多購進55個，在80個水杯全部售完的情況下設購進甲種號水杯a個，利潤為w元，寫出w與a的函數(shù)關系式，并求出第三月的最大利潤．
【答案】（1）甲、乙兩種型號水杯的銷售單價分別為30元、55元；（2）w＝﹣5a+800，第三月的最大利潤為550元．
【解析】
【分析】
（1）設甲種型號的水杯的售價為每個元，乙種型號的水杯每個元，根據(jù)題意列出方程組求解即可，
（2）根據(jù)題意寫出利潤關于的一次函數(shù)關系式，列不等式組求解的范圍，從而利用一次函數(shù)的性質求利潤的最大值．
【詳解】
解：（1）設甲種型號的水杯的售價為每個元，乙種型號的水杯每個元，則

①②得：

把代入①得：

答：甲、乙兩種型號水杯的銷售單價分別為30元、55元；
（2）由題意得：甲種水杯進了個，則乙種水杯進了個，
所以：
又
由①得：，
所以不等式組的解集為：
其中為正整數(shù)，所以

隨的增大而減小，
當時，第三月利潤達到最大，最大利潤為：元．
【點睛】
本題考查的是二元一次方程組的應用，一次函數(shù)的應用，不等式組的應用，掌握以上知識是解題的關鍵．
【典例4】“節(jié)能環(huán)保，綠色出行”意識的增強，越來越多的人喜歡騎自行車出行，也給自行車商家?guī)砩虣C．某自行車行經(jīng)營的A型自行車去年銷售總額為8萬元．今年該型自行車每輛售價預計比去年降低200元．若該型車的銷售數(shù)量與去年相同，那么今年的銷售總額將比去年減少10%，求：
（1）A型自行車去年每輛售價多少元；
（2）該車行今年計劃新進一批A型車和新款B型車共60輛，且B型車的進貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍．已知，A型車和B型車的進貨價格分別為1500元和1800元，計劃B型車銷售價格為2400元，應如何組織進貨才能使這批自行車銷售獲利最多．
【答案】(1) 2000元；（2） A型車20輛，B型車40輛．
【解析】
【分析】
（1）設去年A型車每輛售價x元，則今年售價每輛為（x﹣200）元，由賣出的數(shù)量相同列出方程求解即可；
（2）設今年新進A型車a輛，則B型車（60﹣a）輛，獲利y元，由條件表示出y與a之間的關系式，由a的取值范圍就可以求出y的最大值．
【詳解】
解：（1）設去年A型車每輛售價x元，則今年售價每輛為（x﹣200）元，由題意，得
，
解得：x=2000．
經(jīng)檢驗，x=2000是原方程的根．
答：去年A型車每輛售價為2000元；
（2）設今年新進A型車a輛，則B型車（60﹣a）輛，獲利y元，由題意，得
y=a+（60﹣a），
y=﹣300a+36000．
∵B型車的進貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍，
∴60﹣a≤2a，
∴a≥20．
∵y=﹣300a+36000．
∴k=﹣300＜0，
∴y隨a的增大而減小．
∴a=20時，y最大=30000元．
∴B型車的數(shù)量為：60﹣20=40輛．
∴當新進A型車20輛，B型車40輛時，這批車獲利最大．
【點睛】
本題考查分式方程的應用；一元一次不等式的應用．
【典例5】端午節(jié)前夕，某商鋪用620元購進50個肉粽和30個蜜棗粽，肉粽的進貨單價比蜜棗粽的進貨單價多6元．
（1）肉粽和蜜棗粽的進貨單價分別是多少元？
（2）由于粽子暢銷，商鋪決定再購進這兩種粽子共300個，其中肉粽數(shù)量不多于蜜棗粽數(shù)量的2倍，且每種粽子的進貨單價保持不變，若肉粽的銷售單價為14元，蜜棗粽的銷售單價為6元，試問第二批購進肉粽多少個時，全部售完后，第二批粽子獲得利潤最大？第二批粽子的最大利潤是多少元？
【答案】（1）肉粽得進貨單價為10元，蜜棗粽得進貨單價為4元；（2）第二批購進肉粽200個時，全部售完后，第二批粽子獲得利潤最大，最大利潤為1000元．
【解析】
【分析】
（1）設肉粽和蜜棗粽的進貨單價分別為x、y元，根據(jù)題意列方程組解答；
（2）設第二批購進肉粽t個，第二批粽子得利潤為W，列出函數(shù)關系式再根據(jù)函數(shù)的性質解答即可.
【詳解】
（1）設肉粽和蜜棗粽的進貨單價分別為x、y元，則根據(jù)題意可得：
.
解此方程組得：.
答：肉粽得進貨單價為10元，蜜棗粽得進貨單價為4元；
（2）設第二批購進肉粽t個，第二批粽子得利潤為W，則
，
∵k=2>0，
∴W隨t的增大而增大，
由題意，解得，
∴當t=200時，第二批粽子由最大利潤，最大利潤,
答：第二批購進肉粽200個時，全部售完后，第二批粽子獲得利潤最大，最大利潤為1000元.
【點睛】
此題考查二元一次方程組的實際應用，不等式的實際應用，一次函數(shù)解決實際問題，一次函數(shù)的性質，正確理解題意列出方程組或函數(shù)、不等式解決問題是關鍵.
【典例6】某公司經(jīng)營甲、乙兩種特產(chǎn)，其中甲特產(chǎn)每噸成本價為10萬元，銷售價為10.5萬元；乙特產(chǎn)每噸成本價為1萬元，銷售價為1.2萬元．由于受有關條件限制，該公司每月這兩種特產(chǎn)的銷售量之和都是100噸，且甲特產(chǎn)的銷售量都不超過20噸．
（1）若該公司某月銷售甲、乙兩種特產(chǎn)的總成本為235萬元，問這個月該公司分別銷售甲、乙兩種特產(chǎn)各多少噸？
（2）求該公司一個月銷售這兩種特產(chǎn)所能獲得的最大總利潤．
【答案】（1）甲特產(chǎn)15噸，乙特產(chǎn)85噸；（2）26萬元．
【解析】
【分析】
（1）設這個月該公司銷售甲特產(chǎn)噸，則銷售乙特產(chǎn)噸，根據(jù)題意列方程解答；
（2）設一個月銷售甲特產(chǎn)噸，則銷售乙特產(chǎn)噸，且，根據(jù)題意列函數(shù)關系式，再根據(jù)函數(shù)的性質解答.
【詳解】
解：（1）設這個月該公司銷售甲特產(chǎn)噸，則銷售乙特產(chǎn)噸，
依題意，得，
解得，則，
經(jīng)檢驗符合題意，
所以，這個月該公司銷售甲特產(chǎn)15噸，乙特產(chǎn)85噸；
（2）設一個月銷售甲特產(chǎn)噸，則銷售乙特產(chǎn)噸，且，
公司獲得的總利潤，
因為，所以隨著的增大而增大，
又因為，
所以當時，公司獲得的總利潤的最大值為26萬元，
故該公司一個月銷售這兩種特產(chǎn)能獲得的最大總利潤為26萬元.
【點睛】
此題考查一元一次方程的實際應用、一次函數(shù)的性質等基礎知識，考查運算能力、應用意識，考查函數(shù)與方程思想，正確理解題意，根據(jù)問題列方程或是函數(shù)關系式解答問題.
【典例7】某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調查反映：每漲價1元，每星期少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？
【答案】：65元
【解析】：設漲價（或降價）為每件元，利潤為元，
為漲價時的利潤，為降價時的利潤
則：


當，即：定價為65元時，（元）


當，即：定價為57.5元時，（元）
綜合兩種情況，應定價為65元時，利潤最大．
【典例8】某商店購進一批單價為20元的日用品，如果以單價30元銷售，那么半個月內(nèi)可以售出400件．根據(jù)銷售經(jīng)驗，提高單價會導致銷售量的減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應減少20件．如何提高售價，才能在半個月內(nèi)獲得最大利潤？
【答案】：5元
【解析】：設每件價格提高元，利潤為元，
則：


當，（元）
答：價格提高5元，才能在半個月內(nèi)獲得最大利潤．
【典例9】某旅行社組團去外地旅游，30人起組團，每人單價800元．旅行社對超過30人的團給予優(yōu)惠，即旅行團每增加一人，每人的單價就降低10元．你能幫助分析一下，當旅行團的人數(shù)是多少時，旅行社可以獲得最大營業(yè)額？
【答案】：55人
【解析】：設旅行團有人，營業(yè)額為元，
則：


當，（元）
答：當旅行團的人數(shù)是55人時，旅行社可以獲得最大營業(yè)額．
【典例10】某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(元)與產(chǎn)品的日銷售量(件)之間的關系如下表：
若日銷售量是銷售價的一次函數(shù)．
⑴求出日銷售量(件)與銷售價(元)的函數(shù)關系式；
⑵要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？
【答案】：（1）．（2）25元，225元
【解析】：⑴設一次函數(shù)表達式為．
則 解得，
即一次函數(shù)表達式為．
⑵ 設每件產(chǎn)品的銷售價應定為元，
所獲銷售利潤為元



當，（元）
答：產(chǎn)品的銷售價應定為25元時，每日獲得最大銷售利潤為225元．
【典例11】超市購進一批20元/千克的綠色食品，如果以30元/千克銷售，那么每天可售出400千克．由銷售經(jīng)驗知，每天銷售量(千克)與銷售單價(元)
(）存在如下圖所示的一次函數(shù)關系式．
⑴試求出與的函數(shù)關系式；
⑵設超市銷售該綠色食品每天獲得利潤P元，當銷售單價為何值時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？
⑶根據(jù)市場調查，該綠色食品每天可獲利潤不超過4480元，現(xiàn)該超市經(jīng)理要求每天利潤不得低于4180元，請你幫助該超市確定綠色食品銷售單價的范圍(直接寫出答案)．
【答案】：（1）．（2）4500（3）31≤x≤34或36≤x≤39．
【解析】：⑴設y=kx+b由圖象可知，
，
即一次函數(shù)表達式為．
⑵

∵ ∴P有最大值．
當時，（元）
（或通過配方，，也可求得最大值）
答：當銷售單價為35元/千克時，每天可獲得最大利潤4500元．
⑶∵

∴31≤x≤34或36≤x≤39．
【典例12】某果品批發(fā)公司為指導今年的櫻桃銷售，對往年的市場銷售情況進行了調查統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)：
（1）在如圖的直角坐標系內(nèi)，作出各組有序數(shù)對（x，y）所對應的點．連接各點并觀察所得的圖形，判斷y與x之間的函數(shù)關系，并求出y與x之間的函數(shù)關系式；
（2）若櫻桃進價為13元/千克，試求銷售利潤P（元）與銷售價x（元/千克）之間的函數(shù)關系式，并求出當x取何值時，P的值最大？
【答案】：（1）y=-500x+14500．（2）21元，32000元
【解析】：（1）由圖象可知，y是x的一次函數(shù)，
設y=kx+b，
∵點（25，2000），（24，2500）在圖象上，
∴ ，
∴y=-500x+14500．
（2）P=(x-13)·y=(x-13)·(-500x+14500)
=-500(x-21)2+32000
∴P與x的函數(shù)關系式為P=-500x2+21000x-188500，
當銷售價為21元/千克時，能獲得最大利潤，最大利潤為32000元．
【典例13】有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養(yǎng)，最多只能存活兩天．如果放養(yǎng)在塘內(nèi)，可以延長存活時間，但每天也有一定數(shù)量的蟹死去．假設放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個體質量基本保持不變，現(xiàn)有一經(jīng)銷商，按市場價收購這種活蟹1000 kg放養(yǎng)在塘內(nèi)，此時市場價為每千克30元，據(jù)測算，此后每千克活蟹的市場價每天可上升1元，但是，放養(yǎng)一天需支出各種費用為400元，且平均每天還有10 kg蟹死去，假定死蟹均于當天全部銷售出，售價都是每千克20元．
(1)設x天后每千克活蟹的市場價為p元，寫出p關于x的函數(shù)關系式；
(2)如果放養(yǎng)x天后將活蟹一次性出售，并記1000 kg蟹的銷售總額為Q元，寫出Q關于x的函數(shù)關系式．
(3)該經(jīng)銷商將這批蟹放養(yǎng)多少天后出售，可獲最大利潤(利潤=Q－收購總額)？
【答案】：（1）p=30+x,（2）Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x2+900x+30000.（3）25天
【解析】：(1)由題意知：p=30+x,
(2)由題意知：活蟹的銷售額為(1000－10x)(30+x)元,
死蟹的銷售額為200x元.
∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x2+900x+30000.
(3)設總利潤為W元
則：W=Q－1000×30－400x=－10x2+500x
=－10(x2－50x) =－10(x－25)2+6250.
當x=25時，總利潤最大，最大利潤為6250元．
答：這批蟹放養(yǎng)25天后出售，可獲最大利潤．
【典例14】政府出臺了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增加．某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)副產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價為20元/千克．市場調查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量ｗ(千克)與銷售價ｘ(元/千克)有如下關系：ｗ=－2ｘ＋80．設這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為ｙ(元) ．
(1)求ｙ與ｘ之間的函數(shù)關系式；
(2)當銷售價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少?
(3)如果物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不得高于28元/千克，該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為多少元?
【答案】：（1）（2）30,200（3）25元
【解析】：

當，（元）
(1)與之間的的函數(shù)關系式為；
(2)當銷售價定為30元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是200元．
(3) ，
（不合題意，舍去）
答：該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為25元．
【典例15】研究所對某種新型產(chǎn)品的產(chǎn)銷情況進行了研究，為投資商在甲、乙兩地生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品提供了如下成果：第一年的年產(chǎn)量為(噸)時，所需的全部費用(萬元）與滿足關系式，投入市場后當年能全部售出，且在甲、乙兩地每噸的售價，（萬元）均與滿足一次函數(shù)關系．（注：年利潤＝年銷售額－全部費用）
（1）成果表明，在甲地生產(chǎn)并銷售噸時，，請你用含的代數(shù)式表示甲地當年的年銷售額，并求年利潤（萬元）與之間的函數(shù)關系式；
（2）成果表明，在乙地生產(chǎn)并銷售噸時，（為常數(shù)），且在乙地當年的最大年利潤為35萬元．試確定的值；
（3）受資金、生產(chǎn)能力等多種因素的影響，某投資商計劃第一年生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品18噸，根據(jù)（1），（2）中的結果，請你通過計算幫他決策，選擇在甲地還是乙地產(chǎn)銷才能獲得較大的年利潤？
【答案】：（1）．
（2）15
【解析】：（1）甲地當年的年銷售額為萬元；
．
（2）在乙地區(qū)生產(chǎn)并銷售時，
年利潤．
由，解得或．
經(jīng)檢驗，不合題意，舍去，．
（3）在乙地區(qū)生產(chǎn)并銷售時，年利潤，
將代入上式，得（萬元）；將代入，
得（萬元）．，應選乙地．
【典例16】某農(nóng)谷生態(tài)園響應國家發(fā)展有機農(nóng)業(yè)政策，大力種植有機蔬菜，某超市看好甲、乙兩種有機蔬菜的市場價值，經(jīng)調查甲種蔬菜進價每千克元，售價每千克16元；乙種蔬菜進價每千克元，售價每千克18元．
（1）該超市購進甲種蔬菜10千克和乙種蔬菜5千克需要170元；購進甲種蔬菜6千克和乙種蔬菜10千克需要200元．求，的值．
（2）該超市決定每天購進甲、乙兩種蔬菜共100千克，且投入資金不少于1160元又不多于1168元，設購買甲種蔬菜千克，求有哪幾種購買方案．
（3）在（2）的條件下，超市在獲得的利潤取得最大值時，決定售出的甲種蔬菜每千克捐出元，乙種蔬菜每千克捐出元給當?shù)馗＠?，若要保證捐款后的利潤率不低于20%，求的最大值．
【答案】（1）的值為10，的值為14；（2）有3種購買方案，方案1：購買甲種蔬菜58千克，乙種蔬菜42千克；方案2：購買甲種蔬菜59千克，乙種蔬菜41千克；方案3：購買甲種蔬菜60千克，乙種蔬菜40千克；（3）的最大值為1.8．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)“購進甲種蔬菜15千克和乙種蔬菜20千克需要430元；購進甲種蔬菜10千克和乙種蔬菜8千克需要212元”，即可得出關于m，n的二元一次方程組，解之即可得出結論；
（2）根據(jù)總價＝單價×數(shù)量結合投入資金不少于1160元又不多于1168元，即可得出關于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍，再結合x為正整數(shù)即可得出各購買方案；
（3）求出（2）中各購買方案的總利潤，比較后可得出獲得最大利潤時售出甲、乙兩種蔬菜的重量，再根據(jù)總利潤＝每千克利潤×銷售數(shù)量結合捐款后的利潤率不低于20%，即可得出關于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結論．
【詳解】
（1）依題意，得：，
解得：.
答：的值為10，的值為14.
（2）設購買甲種蔬菜千克，則購買乙種蔬菜千克，
依題意，得：，
解得：.
∵為正整數(shù)，
∴，
∴有3種購買方案，
方案1：購買甲種蔬菜58千克，乙種蔬菜42千克；
方案2：購買甲種蔬菜59千克，乙種蔬菜41千克；
方案3：購買甲種蔬菜60千克，乙種蔬菜40千克.
（3）設超市獲得的利潤為元，
則.
∵，
∴隨的增大而增大，
∴當時，取得最大值，最大值為.
依題意，得：，
解得：.
答：的最大值為1.8．
【點睛】
本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式組；（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式．
銷售單價x（元/件）
11
19
日銷售量y（件）
18
2
時間
銷售數(shù)量（個）
銷售收入（元）（銷售收入＝售價×銷售數(shù)量）
甲種型號
乙種型號
第一月
22
8
1100
第二月
38
24
2460
x（元）
15
20
30
…
y（件）
25
20
10
…
銷售價x（元/千克）
…
25
24
23
22
…
銷售量y（千克）
…
2000
2500
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