（1）當時，求證：；
（2）如圖3，當時，延長交于點，求證：垂直平分；
（3）在旋轉過程中，求的面積的最大值，并寫出此時旋轉角的度數(shù)．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）的面積的最大值為，旋轉角的度數(shù)為
【解析】
【分析】
（1）利用 “SAS”證得△ACE△ABD即可得到結論；
（2）利用 “SAS”證得△ACE△ABD，推出∠ACE=∠ABD，計算得出AD=BC=，利用等腰三角形“三線合一”的性質即可得到結論；
（3）觀察圖形，當點D在線段BC的垂直平分線上時，的面積取得最大值，利用等腰直角三角形的性質結合三角形面積公式即可求解．
【詳解】
（1）根據(jù)題意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90，
∵∠CAE+∠BAE =∠BAD+∠BAE =90，
∴∠CAE=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，，
∴△ACE△ABD(SAS)，
∴CE=BD；
（2）根據(jù)題意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90，
在△ACE和△ABD中，，
∴△ACE△ABD(SAS)，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠AEC=90，且∠AEC=∠FEB，
∴∠ABD+∠FEB=90，
∴∠EFB=90，
∴CF⊥BD，
∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90，
∴BC=AB =，CD= AC+ AD=，
∴BC= CD，
∵CF⊥BD，
∴CF是線段BD的垂直平分線；
（3）中，邊BC的長是定值，則BC邊上的高取最大值時的面積有最大值，
∴當點D在線段BC的垂直平分線上時，的面積取得最大值，如圖：
∵∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90，DG⊥BC于G，
∴AG=BC=，∠GAB=45，
∴DG=AG+AD=，∠DAB=180-45=135，
∴的面積的最大值為：，
旋轉角．
【點睛】
本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，線段垂直平分線的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．
【典例2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點O為AB中點，點P為直線BC上的動點(不與點B、點C重合)，連接OC、OP，將線段OP繞點P逆時針旋轉60°，得到線段PQ，連接BQ.
(1)如圖①，當點P在線段BC上時，請直接寫出線段BQ與CP的數(shù)量關系；
(2)如圖②，當點P在CB延長線上時，(1)中結論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；
(3)如圖③，當點P在BC延長線上時，若∠BPO＝45°，AC＝eq \r(6)，請直接寫出BQ的長．
【答案】解：(1)CP＝BQ;
【解法提示】如解圖①，連接OQ，
①
由旋轉可知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°，
∴△POQ是等邊三角形，
∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，
在Rt△ABC中，O是AB中點，
∴OC＝OA＝OB，
∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，
∴∠COP＝∠BOQ，
在△COP和△BOQ中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(OC＝OB,∠COP＝∠BOQ，,OP＝OQ))
∴△COP≌△BOQ(SAS)，
∴CP＝BQ；
(2)成立，理由如下：
如解圖②，連接OQ，
圖②
由旋轉知PQ＝OP，∠OPQ＝60°，
∴△POQ是等邊三角形，
∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，
∵在Rt△ABC中，O是AB中點，
∴OC＝OA＝OB，
∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，
在△COP和△BOQ中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(OC＝OB,∠COP＝∠BOQ，,OP＝OQ))
∴△COP≌△BOQ(SAS)，
∴CP＝BQ；
(3)BQ＝eq \f(\r(6)－\r(2),2).
【解法提示】在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝eq \r(6)，
∴BC＝AC·tanA＝eq \r(2)，
如解圖③，過點O作OH⊥BC于點H，
③
∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AC，
∵O是AB中點，
∴CH＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(\r(2),2)，OH＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(\r(6),2)，
∵∠BPO＝45°，∠OHP＝90°，
∴∠BPO＝∠POH，∴PH＝OH＝eq \f(\r(6),2)，
∴CP＝PH－CH＝eq \f(\r(6),2)－eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)－\r(2),2)，
連接OQ，同(1)的方法得，BQ＝CP＝eq \f(\r(6)－\r(2),2).
【典例3】在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,線段AD是BC邊上的中線,如圖1,將△ADC沿直線BC平移,使點D與點C重合,得到△FCE,如圖2,再將△FCE繞點C順時針旋轉,設旋轉角為α(0°＜α≤90°),連接AF,DE．
(1)在旋轉過程中,當∠ACE=150°時,求旋轉角α的度數(shù)；
(2)探究旋轉過程中四邊形ADEF能形成哪些特殊四邊形？請說明理由．
【解析】(1)由題意分析可知此問需分兩種情況討論：①點E和點D在直線AC兩側；②點E和點D在直線AC同側；(2)在旋轉過程中,總是存在AC=CE,DC=CE.由圖形的對稱性可知,將會出現(xiàn)兩種對角線相等的特殊四邊形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋轉的性質,較易證明．
【答案】：(1)在圖1中,∵∠BAC=90°,∠B=30°,
∴∠ACE=∠BAC+∠B=120°．
如圖2,當點E和點D在直線AC兩側時,由于∠ACE=150°,∴α=150°-120°=30°.當點E和點D在直線AC同側時,由于∠ACB=180°-∠BAC-∠B=60°,∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=150°-60°=90°.
∴α=180°-∠DCE=90°.∴旋轉角α為30°或90°;
(2)四邊形ADEF能形成等腰梯形和矩形．
∵∠BAC=90°,∠B=30°,∴AC=BC．
又∵AD是BC邊上的中線,∴AD=DC=BC=AC.∴△ADC為正三角形．
①當α=60°時,如圖3,∠ACE=120°+60°=180°.
∵CA=CE=CD=CF,
∴四邊形ADEF為矩形．
②當α≠60°時,∠ACF≠120°,∠DCE=360°-60°-60°-∠ACF≠120°．
顯然DE≠AF．∵AC=CF,CD=CE,
∴2∠FAC+∠ACF=2∠CDE+∠DCE=180°.
∵∠ACF+∠DCE=360°-60°-60°=240°,
∴∠FAC+∠CDE=60°.∴∠DAF+∠ADE=120°+60°=180°.∴AF∥DE．
又∵DE≠AF,AD=EF,∴四邊形ADEF為等腰梯形．
【典例4】已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．
（1）直接寫出線段EG與CG的數(shù)量關系；
（2）將圖1中△BEF繞B點逆時針旋轉45o，如圖2所示，取DF中點G，連接EG，CG．
你在（1）中得到的結論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．
（3）將圖1中△BEF繞B點旋轉任意角度，如圖3所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？（不要求證明）
F
B
A
C
E
圖3
D
F
B
A
D
C
E
G
圖2
F
B
A
D
C
E
G
圖1
【答案】解：（1）CG=EG
（2）（1）中結論沒有發(fā)生變化，即EG=CG．
證明：連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點．
F
B
A
D
C
E
G
M
N
N
圖 2
在△DAG與△DCG中，
∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴ △DAG≌△DCG．
∴ AG=CG．
在△DMG與△FNG中，
∵ ∠DGM=∠FGN，F(xiàn)G=DG，∠MDG=∠NFG，
∴ △DMG≌△FNG．
∴ MG=NG
F
B
A
D
C
E
圖3③
G
在矩形AENM中，AM=EN．
在Rt△AMG 與Rt△ENG中，
∵ AM=EN， MG=NG，
∴ △AMG≌△ENG．
∴ AG=EG．
∴ EG=CG．
（3）（1）中的結論仍然成立．
【典例5】如圖1，已知∠ABC=90°，△ABE是等邊三角形，點P為射線BC上任意一點（點P與點B不重合），連結AP，將線段AP繞點A逆時針旋轉60°得到線段AQ，連結
QE并延長交射線BC于點F.
（1）如圖2，當BP=BA時，∠EBF= °，猜想∠QFC= °；
（2）如圖1，當點P為射線BC上任意一點時，猜想∠QFC的度數(shù)，并加以證明；
圖1
A
C
B
E
Q
F
P
（3）已知線段AB=，設BP=，點Q到射線BC的距離為y，求y關于的函數(shù)關系式．
圖2
A
B
E
Q
P
F
C
【答案】解: （1） 30° = 60°
（2）=60°
不妨設BP＞, 如圖1所示 ∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP
∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP ∴∠BAP=∠EAQ
在△ABP和△AEQ中 AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ
∴△ABP≌△AEQ（SAS） ∴∠AEQ=∠ABP=90°分
∴∠BEF
∴=60°
(事實上當BP≤時，如圖2情形，不失一般性結論仍然成立，不分類討論不扣分）
(3)在圖1中，過點F作FG⊥BE于點G
∵△ABE是等邊三角形 ∴BE=AB=，由（1）得30°
在Rt△BGF中， ∴BF= ∴EF=2
∵△ABP≌△AEQ ∴QE=BP= ∴QF=QE＋EF
過點Q作QH⊥BC，垂足為H
在Rt△QHF中，（x＞0）
即y關于x的函數(shù)關系式是：
【典例6】將正方形ABCD的邊AB繞點A逆時針旋轉至AB′，記旋轉角為α，連接BB′，過點D作DE垂直于直線BB′，垂足為點E，連接DB′，CE．
（1）如圖1，當α＝60°時，△DEB′的形狀為 ，連接BD，可求出的值為 ；
（2）當0°＜α＜360°且α≠90°時，
①（1）中的兩個結論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖2的情形進行證明；如果不成立，請說明理由；
②當以點B′，E，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出的值．
【分析】（1）由旋轉的性質得出AB＝AB'，∠BAB'＝60°，證得△ABB'是等邊三角形，可得出△DEB'是等腰直角三角形．證明△BDB'∽△CDE，得出．
（2）①得出∠EDB'＝∠EB'D＝45°，則△DEB'是等腰直角三角形，得出，證明△B'DB∽△EDC，由相似三角形的性質可得出．
②分兩種情況畫出圖形，由平行四邊形的性質可得出答案．
【解答】解：（1）∵AB繞點A逆時針旋轉至AB′，
∴AB＝AB'，∠BAB'＝60°，
∴△ABB'是等邊三角形，
∴∠BB'A＝60°，
∴∠DAB'＝∠BAD﹣∠BAB'＝90°﹣60°＝30°，
∵AB'＝AB＝AD，
∴∠AB'D＝∠ADB'，
∴∠AB'D＝＝75°，
∴∠DB'E＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∵DE⊥B'E，
∴∠B'DE＝90°﹣45°＝45°，
∴△DEB'是等腰直角三角形．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝45°，
∴，
同理，
∴，
∵∠BDB'+∠B'DC＝45°，∠EDC+∠B'DC＝45°，
∴BDB'＝∠EDC，
∴△BDB'∽△CDE，
∴．
故答案為：等腰直角三角形，．
（2）①兩結論仍然成立．
證明：連接BD，
∵AB＝AB'，∠BAB'＝α，
∴∠AB'B＝90°﹣，
∵∠B'AD＝α﹣90°，AD＝AB'，
∴∠AB'D＝135°﹣，
∴∠EB'D＝∠AB'D﹣∠AB'B＝135°﹣＝45°，
∵DE⊥BB'，
∴∠EDB'＝∠EB'D＝45°，
∴△DEB'是等腰直角三角形，
∴，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴，∠BDC＝45°，
∴，
∵∠EDB'＝∠BDC，
∴∠EDB'+∠EDB＝∠BDC+∠EDB，
即∠B'DB＝∠EDC，
∴△B'DB∽△EDC，
∴．
②＝3或1．
若CD為平行四邊形的對角線，
點B'在以A為圓心，AB為半徑的圓上，取CD的中點．連接BO交⊙A于點B'，
過點D作DE⊥BB'交BB'的延長線于點E，
由（1）可知△B'ED是等腰直角三角形，
∴B'D＝B'E，
由（2）①可知△BDB'∽△CDE，且BB'＝CE．
∴＝+1＝+1＝+1＝+1＝3．
若CD為平行四邊形的一邊，如圖3，
點E與點A重合，
∴＝1．
綜合以上可得＝3或1．
【點評】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質，等腰直角三角形的判定與性質，旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．
【典例7】如圖1，已知，，點D在上，連接并延長交于點F．
（1）猜想：線段與的數(shù)量關系為_____；
（2）探究：若將圖1的繞點B順時針方向旋轉，當小于時，得到圖2，連接并延長交于點F，則（1）中的結論是否還成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（3）拓展：圖1中，過點E作，垂足為點G．當?shù)拇笮“l(fā)生變化，其它條件不變時，若，，直接寫出的長．

【答案】(1)AF=EF；(2)成立，理由見解析；(3)12
【解析】
【分析】
(1) 延長DF到G點，并使FG=DC，連接GE，證明△ACF△EDG，進而得到△GEF為等腰三角形，即可證明AF=GE=EF；
(2)證明原理同(1)，延長DF到G點，并使FG=DC，連接GE，證明△ACF△EDG，進而得到△GEF為等腰三角形，即可證明AF=GE=EF；
(3)補充完整圖后證明四邊形AEGC為矩形，進而得到∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°即可求解．
【詳解】
解：(1)延長DF到G點，并使FG=DC，連接GE，如下圖所示
∵，
∴DE=AC，BD=BC，
∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠ADF，
∴∠ADF=∠DCB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠EDB=90°，
∴∠ADF+∠FDE=90°，
∴∠ACD=∠FDE，
又延長DF使得FG=DC，
∴FG+DF=DC+DF，
∴DG=CF，
在△ACF和△EDG中，
，
∴△ACF△EDG(SAS)，
∴GE=AF，∠G=∠AFC，
又∠AFC=∠GFE，
∴∠G=∠GFE
∴GE=EF
∴AF=EF，
故AF與EF的數(shù)量關系為：AF=EF.
故答案為：AF=EF；
(2)仍舊成立，理由如下：
延長DF到G點，并使FG=DC，連接GE，如下圖所示
設BD延長線DM交AE于M點，
∵，
∴DE=AC，BD=BC，
∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠MDF，
∴∠MDF=∠DCB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠EDB=90°，
∴∠MDF+∠FDE=90°，
∴∠ACD=∠FDE，
又延長DF使得FG=DC，
∴FG+DF=DC+DF，
∴DG=CF，
在△ACF和△EDG中，
，
∴△ACF△EDG(SAS)，
∴GE=AF，∠G=∠AFC，
又∠AFC=∠GFE，
∴∠G=∠GFE
∴GE=EF，
∴AF=EF，
故AF與EF的數(shù)量關系為：AF=EF.
故答案為：AF=EF；
(3)如下圖所示：
∵BA=BE，
∴∠BAE=∠BEA，
∵∠BAE=∠EBG,
∴∠BEA=∠EBG，
∴AECG，
∴∠AEG+∠G=180°，
∴∠AEG=90°，
∴∠ACG=∠G=∠AEG=90°，
∴四邊形AEGC為矩形，
∴AC=EG，且AB=BE，
∴Rt△ACBRt△EGB(HL)，
∴BG=BC=6，∠ABC=∠EBG，
又∵ED=AC=EG，且EB=EB，
∴Rt△EDBRt△EGB(HL)，
∴DB=GB=6，∠EBG=∠ABE，
∴∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°，
∴∠BAC=30°，
∴在Rt△ABC中由30°所對的直角邊等于斜邊的一半可知：
．
故答案為：．
【點睛】
本題屬于四邊形的綜合題，考查了三角形全等的性質和判定，矩形的性質和判定，本題的關鍵是延長DF到G點并使FG=DC，進而構造全等，本題難度稍大，需要作出合適的輔助線．

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