類型七 與面積有關的探究題【典例1】已知，△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°，點P是射線CB上一點(點P不與點B、C重合)，線段AP繞點A順時針旋轉90°得到線段AQ，連接QB交射線AC于點M.(1)如圖①，當AC＝BC，點P在線段CB上時，線段PB，CM的數(shù)量關系是________；(2)如圖②，當AC＝BC，點P在線段CB的延長線上時，(1)中的結論是否成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由；(3)如圖③，若＝，點P在線段CB的延長線上，CM＝2，AP＝13，求△ABP的面積．第1題圖【答案】解：(1)PB＝2CM；【解法提示】如解圖①，過點Q作QD⊥AC于點D，第1題解圖①QE⊥BC交BC的延長線于點E.∵AQ是由AP繞點A順時針旋轉90°得到的，∴AP＝AQ，且∠PAQ＝90°，∴∠PAC＋∠QAD＝90°，又∠PAC＋∠APC＝90°，∴∠QAD＝∠APC，∴△ACP≌△QDA(AAS)，∴AC＝QD＝CE，又∵△ABC為等腰直角三角形，∴AC＝BC＝EC，即點C為BE的中點，∴CM＝QE，即QE＝2CM，連接AE，∵AC＝CE＝BC，∴△ABE為等腰直角三角形，∴AE＝AB，∵∠BAE＝∠PAQ＝90°，∴∠BAP＝∠EAQ，又∵AP＝AQ，∴△APB≌△AQE(SAS)，∴BP＝QE＝2CM，∴PB＝2CM；(2)(1)中的結論PB＝2CM仍然成立； 證明：如解圖②所示，過點Q作QG⊥BC交BC的延長線于點G，過點A作AF⊥QG交QG的延長線于點F.第1題解圖②∵AQ是由AP繞點A順時針旋轉90°得到的，∴AP＝AQ，且∠PAQ＝90°，∴∠PAC＋∠CAQ＝90°，又∵∠QAF＋∠CAQ＝90°，∴∠PAC＝∠QAF，∴△PAC≌△QAF(AAS)，∴AC＝AF，∴四邊形AFGC為正方形，∴CG＝AC＝BC，即C為BG的中點，∴QG＝2CM，連接AG可得，△ABG為等腰直角三角形，∴AB＝AG，∠PAB＋∠BAQ＝∠QAG＋∠BAQ＝90°，∴∠PAB＝∠QAG，∴△PAB≌△QAG(SAS)，∴PB＝QG＝2CM，∴PB＝2CM；(3)    如解圖③所示，過點Q作QH⊥AC交AC的延長線于點H.第1題解圖③由題知，＝，設AC＝5a，BC＝2a，由(2)知，△ACP≌△QHA，∴QH＝AC＝5a，又∵△BCM∽△QHM，∴＝，∴＝，∴MH＝5，又∵AP＝AQ＝13，∴在Rt△AHQ中，根據(jù)勾股定理得：QH2＋AH2＝AQ2，∴(5a)2＋(5a＋2＋5)2＝132，化簡得：5a2＋7a－12＝0，即(a－1)(5a＋12)＝0，解得：a1＝1，a2＝－(舍)，∴BC＝2，AH＝CP＝12，AC＝5，∴BP＝PC－BC＝12－2＝10，∴S△ABP＝BP·AC＝×10×5＝25.【典例2】如圖，將OA= 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐標系中，動點M、N以每秒１個單位的速度分別從點A、C同時出發(fā)，其中點M沿AO向終點O運動，點N沿CB向終點B運動，當兩個動點運動了t秒時，過點N作NP⊥BC，交OB于點P，連接MP．  （1）點B的坐標為；用含t的式子表示點P的坐標為；（2）記△OMP的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式（0 < t < 6）；并求t為何值時，S有最大值？（3）試探究：當S有最大值時，在y軸上是否存在點T，使直線MT把△ONC分割成三角形和四邊形兩部分，且三角形的面積是△ONC面積的？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．    【答案】解：（1）（6，4）；（）.（其中寫對B點得1分）（2）∵S△OMP =×OM×，∴S =×（6 -t）×=+2t．   ＝（0 < t <6）．∴當時，S有最大值．（3）存在．由（2）得：當S有最大值時，點M、N的坐標分別為：M（3，0），N（3，4），則直線ON的函數(shù)關系式為：．設點T的坐標為（0，b），則直線MT的函數(shù)關系式為：，解方程組得∴直線ON與MT的交點R的坐標為．【典例3】如圖1，△ABC和△DCE都是等邊三角形．探究發(fā)現(xiàn)（1）△BCD與△ACE是否全等？若全等，加以證明；若不全等，請說明理由．拓展運用（2）若B、C、E三點不在一條直線上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的長．（3）若B、C、E三點在一條直線上（如圖2），且△ABC和△DCE的邊長分別為1和2，求△ACD的面積及AD的長．【答案】（1）全等，理由見解析；（2）BD＝；（3）△ACD的面積為，AD＝．【解析】【分析】（1）依據(jù)等式的性質(zhì)可證明∠BCD＝∠ACE，然后依據(jù)SAS可證明△ACE≌△BCD；（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理計算AE的長，可得BD的長；（3）過點A作AF⊥CD于F，先根據(jù)平角的定義得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函數(shù)可得AF的長，由三角形面積公式可得△ACD的面積，最后根據(jù)勾股定理可得AD的長．【詳解】解：（1）全等，理由是：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）如圖3，由（1）得：△BCD≌△ACE，∴BD＝AE，∵△DCE都是等邊三角形，∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，∴，∴BD＝；（3）如圖2，過點A作AF⊥CD于F，∵B、C、E三點在一條直線上，∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，在Rt△ACF中，sin∠ACF＝，∴AF＝AC×sin∠ACF＝，∴S△ACD＝，∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×，FD＝CD﹣CF＝，在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2＝，∴AD＝．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等，第（3）小題巧作輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．【典例4】閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點，這個交點稱為三角形的重心．（1）特例感知：如圖（一），已知邊長為2的等邊的重心為點，求與的面積．（2）性質(zhì)探究：如圖（二），已知的重心為點，請判斷、是否都為定值？如果是，分別求出這兩個定值：如果不是，請說明理由．（3）性質(zhì)應用：如圖（三），在正方形中，點是的中點，連接交對角線于點．①若正方形的邊長為4，求的長度；②若，求正方形的面積．【答案】（1），；（2）都是定值，，；（3）①；②12．【解析】【分析】（1）連接DE，利用相似三角形證明，運用勾股定理求出AD的長，運用三角形面積公式求解即可；（2）根據(jù)（1）的證明可求解；（3）①證明△CME∽△ABM得，再運用勾股定理求出BE的長即可解決問題；②分別求出S△BMC和S△ABM 即可.【詳解】（1）連接DE，如圖，∵點O是的重心，，是，C邊上的中線，為，邊上的中點，為的中位線，，，，，，，，；（2）由（1）可知，是定值；是定值；（3）①∵四邊形ABCD是正方形，，，為CD的中點，，即；②，且∴，，，，，又∴正方形ABCD的面積為：6+6=12．【點睛】本題考查的是三角形重心的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，解答此題的關鍵是靈活運用三角形重心的性質(zhì)．

相關試卷

2022年中考數(shù)學專題復習類型五 與平移有關的探究題（解析版）：

這是一份2022年中考數(shù)學專題復習類型五 與平移有關的探究題（解析版），共11頁。試卷主要包含了 平移的概念等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2022年中考數(shù)學專題復習類型三 與折疊有關的探究題（解析版）：

這是一份2022年中考數(shù)學專題復習類型三 與折疊有關的探究題（解析版），共12頁。

2022年中考數(shù)學專題復習類型四 與旋轉有關的探究題（解析版）：

這是一份2022年中考數(shù)學專題復習類型四 與旋轉有關的探究題（解析版），共17頁。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

2022年中考數(shù)學專題復習類型七 與面積有關的探究題（原卷版）

2022年中考數(shù)學專題復習類型七 與面積有關的探究題（原卷版）
2022年中考數(shù)學專題復習類型六 與圓有關的探究題（解析版）

2022年中考數(shù)學專題復習類型六 與圓有關的探究題（解析版）
2022年中考數(shù)學專題復習類型二 與動點有關的探究題（解析版）

2022年中考數(shù)學專題復習類型二 與動點有關的探究題（解析版）
類型七 與面積有關的探究題-2021年中考數(shù)學二輪復習重難題型突破

類型七 與面積有關的探究題-2021年中考數(shù)學二輪復習重難題型突破
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部