2021.8
本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1. 答卷前，考生務(wù)必填寫答題卷上的有關(guān)項(xiàng)目.
2. 選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應(yīng)的位置上.
3. 非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動(dòng)的，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無(wú)效.
4. 請(qǐng)考生保持答題卷的整潔，考試結(jié)束后，將答題卷交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合， ， ，則
A. {2}B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4}
2. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)為，則雙曲線的一條漸近線方程為（ ）
A. B.
C. D.
4. 某個(gè)國(guó)家某種病毒傳播的中期，感染人數(shù)和時(shí)間（單位：天）在天里的散點(diǎn)圖如圖所示，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為感染人數(shù)和時(shí)間的回歸方程類型的是（ ）
A. B. C. D.
5. 設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
6. 向量，， 在邊長(zhǎng)為1正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若為與同方向的單位向量，則（ ）
A. 1.5B. 2C. -4.5D. -3
7. 某學(xué)生到工廠實(shí)踐，欲將一個(gè)底面半徑為2，高為3的實(shí)心圓錐體工件切割成一個(gè)圓柱體，并使圓柱體的一個(gè)底面落在圓錐體的底面內(nèi).若不考慮損耗，則得到的圓柱體的最大體積是
A. B. C. D.
8. 某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，，，則（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 為了解目前全市高一學(xué)生身體素質(zhì)狀況，對(duì)某校高一學(xué)生進(jìn)行了體能抽測(cè)，得到學(xué)生的體育成績(jī)，其中60分及以上為及格，90分及以上為優(yōu)秀，則下列說(shuō)法正確的是（ ）附：若，則，.
A. 該校學(xué)生體育成績(jī)的方差為10
B. 該校學(xué)生體育成績(jī)的期望為70
C. 該校學(xué)生體育成績(jī)的及格率不到
D. 該校學(xué)生體育成績(jī)的優(yōu)秀率超過(guò)
10. 關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 是偶函數(shù)
B. 在區(qū)間單調(diào)遞減
C. 在有4個(gè)零點(diǎn)
D. 的最小值為
11. 已知，是互不重合的直線，，是互不重合的平面，下列四個(gè)命題中正確的是（ ）
A. 若，，，，則
B. 若，，，則
C. 若，，，則
D. 若，，，則
12. 已知橢圓的左，右焦點(diǎn)是是橢圓上一點(diǎn)，若，則橢圓的離心率可以是（ ）
A B. C. D.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 函數(shù)的最小正周期為_(kāi)___________.
14. 第三屆進(jìn)博會(huì)招募志愿者，某校高一年級(jí)有3位同學(xué)報(bào)名，高二年級(jí)有6位同學(xué)報(bào)名，現(xiàn)要從報(bào)名的學(xué)生中選取5人，要求高一年級(jí)和高二年級(jí)的同學(xué)都有，則不同的選取方法種數(shù)為_(kāi)_______（結(jié)果用數(shù)值表示）
15. __________.
16. 已知函數(shù)，().若函數(shù)是偶函數(shù)，則___________；若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，則的一個(gè)取值是___________.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17. 在中，它的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，.
（Ⅰ）若，求的面積；
（Ⅱ）試問(wèn)能否成立？若能成立，求此時(shí)的周長(zhǎng)；若不能成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.
18. 某保險(xiǎn)公司擬推出某種意外傷害險(xiǎn)，每位參保人交付元參保費(fèi)，出險(xiǎn)時(shí)可獲得萬(wàn)元賠付，已知一年中的出險(xiǎn)率為，現(xiàn)有人參保.
（1）求保險(xiǎn)公司獲利在（單位：萬(wàn)元）范圍內(nèi)的概率（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后三位）；
（2）求保險(xiǎn)公司虧本的概率．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后三位）
附：.
19. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，令，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，，.
（1）求；
（2）求；
（3）求數(shù)列的前項(xiàng)之和.
20. 如圖圓錐的軸截面是等腰直角三角形，的中點(diǎn)為，是底面圓周上異于，的任一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，為母線上的一點(diǎn)，且.
（1）證明：平面；
（2）設(shè)二面角大小為，二面角的大小為，求的值.
21. 已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且.
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)，是拋物線上的不同兩點(diǎn)，且軸，直線與軸交于點(diǎn)，再在軸上截取線段，且點(diǎn)介于點(diǎn)點(diǎn)之間，連接，過(guò)點(diǎn)作直線的平行線，證明是拋物線的切線.
22 已知函數(shù)，其中，.
（1）證明：函數(shù)有唯一零點(diǎn)；
（2）設(shè)為函數(shù)的零點(diǎn).
①證明；
②寫出一個(gè)代數(shù)式，使，并證明這一結(jié)論.
南海區(qū)2022屆高三摸底測(cè)試
數(shù)學(xué)試題 答案版
2021.8
本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1. 答卷前，考生務(wù)必填寫答題卷上的有關(guān)項(xiàng)目.
2. 選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應(yīng)的位置上.
3. 非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動(dòng)的，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無(wú)效.
4. 請(qǐng)考生保持答題卷的整潔，考試結(jié)束后，將答題卷交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合， ， ，則
A. {2}B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4}
答案：D
2. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
3. 已知雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)為，則雙曲線的一條漸近線方程為（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
4. 某個(gè)國(guó)家某種病毒傳播的中期，感染人數(shù)和時(shí)間（單位：天）在天里的散點(diǎn)圖如圖所示，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為感染人數(shù)和時(shí)間的回歸方程類型的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
5. 設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
6. 向量，， 在邊長(zhǎng)為1正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若為與同方向的單位向量，則（ ）
A. 1.5B. 2C. -4.5D. -3
答案：D
7. 某學(xué)生到工廠實(shí)踐，欲將一個(gè)底面半徑為2，高為3的實(shí)心圓錐體工件切割成一個(gè)圓柱體，并使圓柱體的一個(gè)底面落在圓錐體的底面內(nèi).若不考慮損耗，則得到的圓柱體的最大體積是
A. B. C. D.
答案：A
8. 某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，，，則（ ）
A. B. C. D.
答案：A
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 為了解目前全市高一學(xué)生身體素質(zhì)狀況，對(duì)某校高一學(xué)生進(jìn)行了體能抽測(cè)，得到學(xué)生的體育成績(jī)，其中60分及以上為及格，90分及以上為優(yōu)秀，則下列說(shuō)法正確的是（ ）附：若，則，.
A. 該校學(xué)生體育成績(jī)的方差為10
B. 該校學(xué)生體育成績(jī)的期望為70
C. 該校學(xué)生體育成績(jī)的及格率不到
D. 該校學(xué)生體育成績(jī)的優(yōu)秀率超過(guò)
答案：BC
10. 關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 是偶函數(shù)
B. 在區(qū)間單調(diào)遞減
C. 在有4個(gè)零點(diǎn)
D. 的最小值為
答案：AC
11. 已知，是互不重合的直線，，是互不重合的平面，下列四個(gè)命題中正確的是（ ）
A. 若，，，，則
B. 若，，，則
C. 若，，，則
D. 若，，，則
答案：BD
12. 已知橢圓的左，右焦點(diǎn)是是橢圓上一點(diǎn)，若，則橢圓的離心率可以是（ ）
A B. C. D.
答案：BCD
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 函數(shù)的最小正周期為_(kāi)___________.
答案：
14. 第三屆進(jìn)博會(huì)招募志愿者，某校高一年級(jí)有3位同學(xué)報(bào)名，高二年級(jí)有6位同學(xué)報(bào)名，現(xiàn)要從報(bào)名的學(xué)生中選取5人，要求高一年級(jí)和高二年級(jí)的同學(xué)都有，則不同的選取方法種數(shù)為_(kāi)_______（結(jié)果用數(shù)值表示）
答案：120
15. __________.
答案：1
16. 已知函數(shù)，().若函數(shù)是偶函數(shù)，則___________；若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，則的一個(gè)取值是___________.
答案： ①. ②. 答案不唯一.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17. 在中，它的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，.
（Ⅰ）若，求的面積；
（Ⅱ）試問(wèn)能否成立？若能成立，求此時(shí)的周長(zhǎng)；若不能成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）不能成立，理由見(jiàn)解析.
18. 某保險(xiǎn)公司擬推出某種意外傷害險(xiǎn)，每位參保人交付元參保費(fèi)，出險(xiǎn)時(shí)可獲得萬(wàn)元賠付，已知一年中的出險(xiǎn)率為，現(xiàn)有人參保.
（1）求保險(xiǎn)公司獲利在（單位：萬(wàn)元）范圍內(nèi)的概率（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后三位）；
（2）求保險(xiǎn)公司虧本的概率．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后三位）
附：.
答案：（1）；（2）.
19. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，令，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，，.
（1）求；
（2）求；
（3）求數(shù)列的前項(xiàng)之和.
答案：（1）；（2）；（3）.
20. 如圖圓錐的軸截面是等腰直角三角形，的中點(diǎn)為，是底面圓周上異于，的任一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，為母線上的一點(diǎn)，且.
（1）證明：平面；
（2）設(shè)二面角大小為，二面角的大小為，求的值.
答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）1
21. 已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且.
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)，是拋物線上的不同兩點(diǎn)，且軸，直線與軸交于點(diǎn)，再在軸上截取線段，且點(diǎn)介于點(diǎn)點(diǎn)之間，連接，過(guò)點(diǎn)作直線的平行線，證明是拋物線的切線.
答案：（1）；（2）見(jiàn)解析.
22 已知函數(shù)，其中，.
（1）證明：函數(shù)有唯一零點(diǎn)；
（2）設(shè)為函數(shù)的零點(diǎn).
①證明；
②寫出一個(gè)代數(shù)式，使，并證明這一結(jié)論.
答案：（1）見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；②，證明見(jiàn)解析.

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