本試卷共4頁，22小題，滿分150分?？荚囉脮r(shí)150分鐘。
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將答題卡交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．設(shè)集合，，則
A．B．
C．D．
2．已知，則
A．B．C．D．
3．已知圓錐的母線長為1，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為120°的扇形，則該圓錐的軸截面面積為
A．B．C．D．
4．下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是
A．B．C．D．
5．若，且，則
A．B．C．D．
6．已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，且成等差數(shù)列，則直線的斜率
A．B．C．D．
7．若過點(diǎn)可以作曲線的三條切線，則
A．B．
C．D．或
8．甲、乙、丙、丁等六名退休老黨員相約去觀看黨史舞臺劇《星火》，《星火》的票價(jià)為50元／人，每人限購一張票，甲、乙、丙三人各帶了一張50元鈔，其余三人各帶了一張100元鈔，他們六人排成一列到售票處買票，而售票處一開始沒有準(zhǔn)備50元零錢，那么他們六人共有多少種不同排隊(duì)順序能使購票時(shí)售票處不出現(xiàn)找不出錢的狀態(tài)．
A．720 B．360 C．180 D．90
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．某高中有學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人，希望獲得全體學(xué)生的身高信息，按照分層抽樣的原則抽取了容量為50的樣本，經(jīng)計(jì)算得到男生身高樣本均值為170 cm，方差為．17 cm2；女生身高樣本均值為160 cm，方差為30 cm2．下列說法中正確的是
A．男生樣本量為30 B．每個(gè)女生人樣的概率均為
C．所有樣本的均值為166 cm D．所有樣本的方差為22.2 cm2
10．已知，點(diǎn)滿足，則下列說法中正確的是
A．當(dāng)時(shí)，的最小值為1B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，的面積為定值D．當(dāng)時(shí)，
11．已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，，則下列說法中正確的是
A．點(diǎn)到直線的距離小于6 B．點(diǎn)到直線的距離大于2
C．的最大值為D．的最大值為
12．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則
A．的取值范圍為B．
C．D．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的最大值為 .
14．已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，且是等腰三角形，則橢圓的離心率為 .
15．的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為 .
16．將正三角形(1)的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為
底邊向外作正三角形，然后去掉底邊，得到圖(2)：將圖(2)
的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為底邊向外作正
三角形，然后去掉底邊，得到圖(3)；如此類推，將圖（n）
的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為底邊向外作三
角形，然后去掉底邊，得到圖(n+1)．上述作圖過程不斷的
進(jìn)行下去，得到的曲線就是美麗的雪花曲線．若圖(1)中正
三角形的邊長為1，則圖（n）的周長為 ，圖(n)的
面積為 ．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）
已知數(shù)列滿足，.
(1)記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
18．（12分）
有專家指出，與新冠病毒感染者密切接觸過的人，被感染的概率是9%. 王某被確診為新冠病毒感染者后，當(dāng)?shù)販?zhǔn)備對王某的密切接觸者共78人逐一進(jìn)行核酸檢測．
(1)設(shè)X為這78名密切接觸者中被感染的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望；
(2)核酸檢測并不是100%準(zhǔn)確，有可能出現(xiàn)假陰性（新冠病毒感染者的檢測結(jié)果為陰性，即漏診）或假陽性（非新冠病毒感染者的檢測結(jié)果為陽性，即誤診）．假設(shè)當(dāng)?shù)睾怂釞z測的靈敏度為98%（即假陰性率為2%），特異度為99%（即假陽性率為1%）．已知王某的一個(gè)密切接觸者趙某的核酸檢測結(jié)果為陽性，求他被感染的概率（結(jié)果保留3位有效數(shù)字）．
19．(12分)
已知中，，的平分線交于點(diǎn)，.
(1)若，求的長度；
(2)求面積的最小值．
20．(12分)
如圖，在三棱錐中，側(cè)面是等邊三角形，.
(1)證明：平面平面
(2)若，點(diǎn)在棱上，且二面角的大小為45°，求.
21．(12分)
在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為. 記點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線交曲線于兩點(diǎn)，交曲線于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為. 證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．
22．（12分）
已知函數(shù)，其中.
(1)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的值；
(2)討論方程的解的個(gè)數(shù)．
數(shù)學(xué)參考答案
選擇題（1-8小題每題5分，共40分；9-12題每小題5分，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。）
填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）
13．【答案】14．【答案】15．【答案】21016．【答案】；
解答題（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17． 【答案】（10分）
(1)依題意，，故. ………………………………1分
因?yàn)?，?br>所以
．………………………………… 3分
因此，是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為．…………5分
(2)解法一：因?yàn)椋?1)知. ………．6分
當(dāng)時(shí)，
…………7分
.
當(dāng)時(shí)，
…………9分
.
因此，…………10分
解法二：當(dāng)時(shí)，
…………7分
.
當(dāng)時(shí)，
…………9分
由于也滿足上式，故
…………10分
18． 【答案】（12分）
(1)依題意，， ………………………………………………………2分
故. ………………………………………… …………4分
(2)設(shè)事件A為“核酸檢測結(jié)果為陽性”，事件B為“密切接觸者被感染”．
依題意，，，. ……………………6分
所以
…………………．9分
，
………11分
因此，已知密切接觸者趙某的核酸檢測結(jié)果為陽性的條件下，他被感染的概率為90.6%． ……………………………………………………………………………12分
19． 【答案】（12分）
(1)因?yàn)?，設(shè)，則. ………………2分
在中，由余弦定理，，…3分
由，可得，故．
……………………………4分
又， ………………………………………………5分
所以，. ……………………………………6分
(2)設(shè)，則，，
.
在中，由正弦定理，，故. …7分
在中，由正弦定理，，故. …8分
因此，
………………………10分
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，故面積的最小值為. …………12分
20． 【答案】（12分）
(1)設(shè)中點(diǎn)為，連接.
在等邊三角形中，有. ………………………………………………1分
在直角三角形中，有.
又，所以，進(jìn)而有，
即. …………………………………………………………………………3分
又，平面，平面，所以平面.
……………………………………………4分
又平面，所以平面平面. ………………………………5分
(2)不妨設(shè). 在直角三角形中，．在底面內(nèi)作，則由(1)可知兩兩垂直．以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. ……………………………………………………………6分
則，，，，
，，，. ………7分
設(shè)，
則.
設(shè)平面的法向量為，則
………………………………………………………………8分
令，則. ……………………………………10分
又是平面的一個(gè)法向量，所以
，……………11分
解得，即. ……………………………………………………………12分
21． 【答案】（12分）
(1)設(shè)，依題意，，……………………………………2分
化簡整理得曲線的方程為. …………………………………………4分
(2)設(shè).
①若直線都存在且不為零，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為.
由消去，整理得.
當(dāng)時(shí)，這個(gè)方程變?yōu)椋挥幸唤?，直線與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，
直線與曲線恒有兩個(gè)交點(diǎn)．
由韋達(dá)定理， ，……………………………………………………．5分
故線段的中點(diǎn)為.……………………………………………6分
同理，線段的中點(diǎn)為. ………………………………………7分
(i)若，則 ， ……………………………8分
直線的方程為，即.
………………………………………………………………9分
此時(shí)，直線恒過點(diǎn).
(ii)若，則，或，直線的方程為.
此時(shí)，直線也過點(diǎn). ………………………………………………………10分
②若直線中其中一條的斜率為0，另一條的斜率不存在，不妨設(shè)的斜率為0，則
，．此時(shí)，直線的方程為.
此時(shí)，直線也過點(diǎn). ………………………………………………………11分
綜上，直線過定點(diǎn). ………………………………………………………12分
22． 【答案】（12分）
(1)令，則，. …1分
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．…………………2分
①若，則，，符合題意：……………3分
②若，則，，不合題意：………4分
③若，則，，不合題意：…………．5分
綜上，. …………………………………………………………………………6分
(2)令，則. ………………7分
令，當(dāng)時(shí)，，與異號．
由于.
的最大值為. ………………………………………8分
①當(dāng)時(shí)，，故，此時(shí) 是增函數(shù)，又因?yàn)椋?，所以有唯一零點(diǎn).
…………………………………………………………9分
②當(dāng)時(shí)，，，.
令，則，是增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，
，即．因此，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，．結(jié)合的單調(diào)性，可得
令，則， 故當(dāng)時(shí)，
，進(jìn)而
，.
由于是在區(qū)間內(nèi)的最大值，是在區(qū)間內(nèi)的最小值，且，故
，. ……………………………10分
又因?yàn)?，，所以有且只有三個(gè)零點(diǎn)
，，. …………．11分
綜上，當(dāng)時(shí)，方程有且僅有1個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程有且僅有3個(gè)解．………………………………………………………12分題號
1
2
3
4
5
6
答案
D
A
B
C
C
D
題號
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
AC
AD
BCD
BCD
x
+
0
-
↗
↘
x
(0，xl)
xl
(x1，x2)
x2
（x2,+∞）
h′(x)
+
0
-
0
+
h(x)
↗
極大值
↘
極小值
↗

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