2021年高中數(shù)學(xué)人教版必修第一冊(cè)期末章節(jié)復(fù)習(xí)：第1單元《集合與常用邏輯用語(yǔ)》(基礎(chǔ)篇）（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?第1單元集合與常用邏輯用語(yǔ)（基礎(chǔ)篇）

基礎(chǔ)知識(shí)講解
一．子集與真子集
1.真子集是對(duì)于子集來(lái)說(shuō)的．
真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱(chēng)集合A是集合B的真子集．
也就是說(shuō)如果集合A的所有元素同時(shí)都是集合 B 的元素，則稱(chēng) A 是 B 的子集，
若 B 中有一個(gè)元素，而A 中沒(méi)有，且A 是 B 的子集，則稱(chēng) A 是 B 的真子集，
注：①空集是所有集合的子集；
②所有集合都是其本身的子集；
③空集是任何非空集合的真子集
2、真子集和子集的區(qū)別
子集就是一個(gè)集合中的全部元素是另一個(gè)集合中的元素，有可能與另一個(gè)集合相等；
真子集就是一個(gè)集合中的元素全部是另一個(gè)集合中的元素，但不存在相等；
注意集合的元素是要用大括號(hào)括起來(lái)的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；
另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般來(lái)說(shuō)，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以對(duì)于含有n個(gè)（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n個(gè)；真子集就有2n﹣1．但空集屬特殊情況，它只有一個(gè)子集，沒(méi)有真子集．
【技巧點(diǎn)撥】
注意真子集和子集的區(qū)別，不可混為一談，A?B，并且B?A時(shí)，有A＝B，但是A?B，并且B?A，是不能同時(shí)成立的；子集個(gè)數(shù)的求法，空集與自身是不可忽視的．
二．集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用
【技巧點(diǎn)撥】
1．按照子集包含元素個(gè)數(shù)從少到多排列．
2．注意觀察兩個(gè)集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性質(zhì)來(lái)判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系．
4．有時(shí)借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．

三．空集的定義、性質(zhì)及運(yùn)算
1.空集不是沒(méi)有；它是內(nèi)部沒(méi)有元素的集合，而集合是存在的．這通常是初學(xué)者的一個(gè)難理解點(diǎn)．
例如：{x|x2+1＝0，x∈R}＝?．雖然有x的表達(dá)式，但方程中根本就沒(méi)有這樣的實(shí)數(shù)x使得方程成立，所以方程的解集是空集．
2、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
【技巧點(diǎn)撥】
解答與空集有關(guān)的問(wèn)題，例如集合A∩B＝B?B?A，實(shí)際上包含3種情況：
①B＝?；
②B?A且B≠?；
③B＝A；往往遺漏B是?的情形
三．并集及其運(yùn)算
【基礎(chǔ)知識(shí)】
由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B．
符號(hào)語(yǔ)言：
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
圖形語(yǔ)言：．
運(yùn)算形狀：
①A∪B＝B∪A．②A∪?＝A．③A∪A＝A．④A∪B?A，A∪B?B．⑤A∪B＝B?A?B．⑥A∪B＝?，兩個(gè)集合都是空集．⑦A∪（?UA）＝U．⑧?U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．

【技巧方法】
解答并集問(wèn)題，需要注意并集中：“或”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；注意并集中元素的互異性．不能重復(fù)．

四．交集及其運(yùn)算
【基礎(chǔ)知識(shí)】
由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．
符號(hào)語(yǔ)言：
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．
當(dāng)兩個(gè)集合沒(méi)有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說(shuō)兩個(gè)集合沒(méi)有交集．
運(yùn)算形狀：
①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個(gè)集合沒(méi)有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．
【技巧方法】
解答交集問(wèn)題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無(wú)限集用數(shù)軸、韋恩圖．

五．補(bǔ)集及其運(yùn)算
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中所涉及的所有元素，那么就稱(chēng)這個(gè)集合為全集，通常記作U．（通常把給定的集合作為全集）．
對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱(chēng)為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱(chēng)為集合A的補(bǔ)集，記作?UA，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}．其圖形表示如圖所示的Venn圖．．
【技巧方法】
常用數(shù)軸以及韋恩圖幫助分析解答，補(bǔ)集常用于對(duì)立事件，否命題，反證法．

六．全集及其運(yùn)算
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中所涉及的所有元素，那么就稱(chēng)這個(gè)集合為全集，通常記作U．（通常把給定的集合作為全集）．全集是相對(duì)概念，元素個(gè)數(shù)可以是有限的，也可以是無(wú)限的．例如{1，2}；R；Q等等．

七．交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算
【基礎(chǔ)知識(shí)】
集合交換律　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．　　
集合結(jié)合律 ?。ˋ∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．　　
集合分配律　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．　　
集合吸收律　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．　　
集合求補(bǔ)律　A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．

八．Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算
【基礎(chǔ)知識(shí)】
用平面上一條封閉曲線的內(nèi)部來(lái)代表集合，這個(gè)圖形就叫做Venn圖（韋恩圖）．集合中圖形語(yǔ)言具有直觀形象的特點(diǎn)，將集合問(wèn)題圖形化，利用Venn圖的直觀性，可以深刻理解集合的有關(guān)概念、運(yùn)算公式，而且有助于顯示集合間的關(guān)系．
運(yùn)算公式：card（A∪B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∩B）的推廣形式：
card（A∪B∪C）＝card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A∩B）﹣card（B∩C）﹣card（A∩C）+card（A∩B∩C），
或利用Venn圖解決．公式不易記住，用Venn圖來(lái)解決比較簡(jiǎn)潔、直觀、明了．

【技巧方法】
在解題時(shí)，弄清元素與集合的隸屬關(guān)系以及集合之間的包含關(guān)系，結(jié)合題目應(yīng)很好地使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，利用直觀圖示幫助我們理解抽象概念．Venn圖解題，就必須能正確理解題目中的集合之間的運(yùn)算及關(guān)系并用圖形準(zhǔn)確表示出來(lái)．
九．充分條件、必要條件、充要條件
【基礎(chǔ)知識(shí)】
1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時(shí)，可表示為p?q，稱(chēng)p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實(shí)上，與“p?q”等價(jià)的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說(shuō)，q對(duì)于p是必不可少的，所以說(shuō)q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價(jià)于x?q，則x?p一定成立．
2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱(chēng)條件p是q成立的充要條件，或稱(chēng)條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．
【技巧方法】
判斷充要條件的方法是：
①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；
②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；
③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；
④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．
⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要，誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．

十．全稱(chēng)量詞和全稱(chēng)命題
【基礎(chǔ)知識(shí)】
命題
全稱(chēng)命題 xM，p（x）
特稱(chēng)命題 xM，p（x）

表述
方法
①所有的xM，使p（x）成立
①存在xM，使p（x）成立
②對(duì)一切xM，使p（x）成立
②至少有一個(gè)xM，使p（x）成立
③對(duì)每一個(gè)xM，使p（x）成立
③對(duì)有些xM，使p（x）成立
④任給一個(gè)xM，使p（x）成立
④對(duì)某個(gè)xM，使p（x）成立
⑤若xM，則p（x）成立
⑤有一個(gè)xM，使p（x）成立

【技巧方法】
要求我們會(huì)判斷含有一個(gè)量詞的全稱(chēng)命題和一個(gè)量詞的特稱(chēng)命題的真假；正確理解含有一個(gè)量詞的全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題和含有一個(gè)量詞的特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，并能利用數(shù)學(xué)符號(hào)加以表示．應(yīng)熟練掌握全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題的判定方法．

十一．存在量詞和特稱(chēng)命題
【基礎(chǔ)知識(shí)】
命題
全稱(chēng)命題x∈M，p（x）
特稱(chēng)命題x0∈M，p（x0）
表述方法
①所有的x∈M，使p（x）成立
①存在?x0∈M，使p（x0）成立
②對(duì)一切x∈M，使p（x）成立
②至少有一個(gè)x0∈M，使p（x0）成立
③對(duì)每一個(gè)x∈M，使p（x）成立
③某些x∈M，使p（x）成立
④對(duì)任給一個(gè)x∈M，使p（x）成立
④存在某一個(gè)x0∈M，使p（x0）成立
⑤若x∈M，則p（x）成立
⑤有一個(gè)x0∈M，使p（x0）成立

【技巧方法】
短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞．符號(hào)：?
特稱(chēng)命題：含有存在量詞的命題．符號(hào)：“?”．
存在量詞：對(duì)應(yīng)日常語(yǔ)言中的“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”、“有個(gè)”、“某個(gè)”、“有些”、“有的”等詞，用符號(hào)“?”表示．

習(xí)題演練
一．選擇題（共12小題）
1．設(shè)全集，集合，則（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由題意結(jié)合補(bǔ)集的定義可知：，則.
故選：C.
2．設(shè)集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a=（）
A．–4 B．–2 C．2 D．4
【答案】B
【解析】
求解二次不等式可得：，
求解一次不等式可得：.
由于，故：，解得：.
故選：B.
3．設(shè)集合，，，則
A．{2} B．{2，3} C．{-1，2，3} D．{1，2，3，4}
【答案】D
【解析】
因?yàn)椋?br /> 所以.
故選D．
4．已知集合M＝{－1,0}，則滿足M∪N＝{－1,0,1}的集合N的個(gè)數(shù)是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．8
【答案】C
【解析】
因?yàn)橛蒑∪N={-1，0，1}，得到集合M?M∪N，且集合N?M∪N，又M={0，-1}，所以元素1∈N，則集合N可以為{1}或{0，1}或{-1，1}或{0，-1，1}，共4個(gè)．故選C
5.設(shè)，則“”是“” 的
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
分析：求解三次不等式和絕對(duì)值不等式，據(jù)此即可確定兩條件的充分性和必要性是否成立即可.
詳解：求解不等式可得，
求解絕對(duì)值不等式可得或，
據(jù)此可知：“”是“” 的充分而不必要條件.
本題選擇A選項(xiàng).
6．設(shè)，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
求解二次不等式可得：或，
據(jù)此可知：是的充分不必要條件.
故選：A.
7．已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【解析】

當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
所以共有9個(gè)，
故選：A.
8．下列命題錯(cuò)誤的是（）
A．命題“若，則”的逆否命題為“若，則”
B．命題“，”的否定是“，”
C．若“且”為真命題，則，均為真命題
D．“”是“”的充分不必要條件
【答案】B
【解析】
對(duì)于A中，根據(jù)逆否命題的概念，可得命題“若，則”的逆否命題為“若，則”，所以A正確的；
對(duì)于B中，根據(jù)全稱(chēng)命題與存在性命題的關(guān)系，可得命題“，”的否定是“，”，所以B不正確；
對(duì)于C中，根據(jù)復(fù)合命題的真假判定方法，若“且”為真命題，則，均為真命題，所以C是正確的；
對(duì)于D中，不等式，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件，所以D正確.
綜上可得，命題錯(cuò)誤為選項(xiàng)B.
故選：B.
9．已知集合A={x|x-1≥0}，B={0，1，2}，則A∩B=（）
A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}
【答案】C
【解析】
由題意得A={x|x≥1}，B={0，1，2}，
∴A∩B={1，2}．
故選：C
10．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
集合，
集合，
若，則，解得，故選C.
11．已知全集，集合，，則（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
，則
故選：A
12．設(shè)全集為R，集合，，則集合　　
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【解析】
因?yàn)椋颍?br /> ；或．
故選D
二．填空題（共6小題）
13．已知集合，，則_____.
【答案】.
【解析】
由題知，.
14．若命題“使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____，
【答案】
【解析】
由題意得若命題“”是假命題，
則命題“，”是真命題，
則需,故本題正確答案為．
15．已知命題或，命題或，若是的充分非必要
條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________
【答案】
【解析】
因?yàn)槭堑某浞址潜匾獥l件，所以是的真子集，故解得：，又因?yàn)?，所以，綜上可知，故填.
àà
16．設(shè)集合，集合，若，則實(shí)數(shù)_____.
【答案】-3
【解析】
因?yàn)榧希?，A={0,3}，故m= -3.
17．已知命題“不等式”為真命題，則的取值范圍為_(kāi)______.
【答案】
【解析】
解：令，則對(duì)稱(chēng)軸為，
要使不等式恒成立，即，
當(dāng)時(shí)解得；
當(dāng)時(shí)解得；
當(dāng)時(shí)解得；
綜上可得：
故答案為：
18．命題 “”的否定是_____.
【答案】
【解析】
命題“”的否定是“”.
故答案為：.
三．解析題（共6小題）
19．設(shè)全集為R，集合或.
（1）求，；
（2）已知，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
（1）因?yàn)槿癁镽，集合或，所以，
利用數(shù)軸法得，；
（2）因?yàn)?，所以且?br /> 即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
20．已知，，其中．
若，且為真，求x的取值范圍；
若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
解：由，解得，所以；
又，因?yàn)椋獾?，所以?br /> （1）當(dāng)時(shí)，，
又為真，，都為真，
解得．
所以的取值范圍為．
（2）由是的充分不必要條件，即，，表示“推不出”
其逆否命題為，，
由于，，
所以，．
實(shí)數(shù)的取值范圍為．
21．己知
（1）若是真命題，求對(duì)應(yīng)的取值范圍；
（2）若是的必要不充分條件，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）為真命題，即，解得
（2）根據(jù)（1）知：，
是的必要不充分條件
當(dāng)時(shí)，，故滿足，即；
當(dāng)時(shí)，，滿足條件；
當(dāng)時(shí)，，故滿足，即.
綜上所述：
22．設(shè)集合，不等式的解集為B．
當(dāng)時(shí)，求集合A，B；
當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）A={x|-1

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