第5單元 三角函數(shù)（鞏固篇） 基礎(chǔ)知識(shí)講解一．運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值【基礎(chǔ)知識(shí)】 利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值的思路1．“負(fù)化正”，運(yùn)用公式三將任意負(fù)角的三角函數(shù)化為任意正角的三角函數(shù)．2．“大化小”，利用公式一將大于360°的角的三角函數(shù)化為0°到360°的三角函數(shù)，利用公式二將大于180°的角的三角函數(shù)化為0°到180°的三角函數(shù)．3．“小化銳”，利用公式六將大于90°的角化為0°到90°的角的三角函數(shù)．4．“銳求值”，得到0°到90°的三角函數(shù)后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由計(jì)算器求得．二．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì) 函數(shù)y＝sin xy＝cos xy＝tan x圖象定義域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R單調(diào)性遞增區(qū)間：（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）遞增區(qū)間：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）遞增區(qū)間：（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）最　值x＝2kπ+（k∈Z）時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）時(shí)，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z） 時(shí)，ymin＝﹣1無(wú)最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱性對(duì)稱中心：（kπ，0）（k∈Z）對(duì)稱軸：x＝kπ+，k∈Z對(duì)稱中心：（kπ+，0）（k∈Z）對(duì)稱軸：x＝kπ，k∈Z對(duì)稱中心：（，0）（k∈Z）無(wú)對(duì)稱軸周期2π2ππ 三．同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系【基礎(chǔ)知識(shí)】1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2α+cos2α＝1．（2）商數(shù)關(guān)系：＝tanα．2．誘導(dǎo)公式公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα3．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）tan（α+β）＝．（6）tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）sin 2α＝2sin_αcos_α；（2）cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）tan 2α＝．【技巧方法】誘導(dǎo)公式記憶口訣：    對(duì)于角“±α”（k∈Z）的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，“奇變偶不變”是指“當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變”．“符號(hào)看象限”是指“在α的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)α為銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號(hào)”．四．兩角和與差的三角函數(shù)【基礎(chǔ)知識(shí)】（1）cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）tan（α+β）＝．（6）tan（α﹣β）＝．五．二倍角的三角函數(shù)【基礎(chǔ)知識(shí)】二倍角的正弦其實(shí)屬于正弦函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：sin2α＝2sinα?cosα；其可拓展為1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其實(shí)屬于余弦函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其實(shí)屬于正切函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：tan2α＝．對(duì)于這個(gè)公式要求是能夠正確的運(yùn)用其求值化簡(jiǎn)即可．六．半角的三角函數(shù)【基礎(chǔ)知識(shí)】    半角的三角函數(shù)關(guān)系主要是指正切函數(shù)與正余弦函數(shù)之間的關(guān)系（正余弦的半角關(guān)系其實(shí)就是二倍角關(guān)系），其公式為：①tan＝＝＝；②tan＝＝＝．七．三角函數(shù)的積化和差公式【基礎(chǔ)知識(shí)】三角函數(shù)的積化和差公式：（1）sinαsinβ＝[cos（α﹣β）﹣cos（α+β）]    cosαcosβ＝[cos（α﹣β）+cos（α+β）]（2）sinαcosβ＝[sin（α+β）+sin（α﹣β）]   cosαsinβ＝[sin（α+β）﹣sin（α﹣β）]（3）tanαtanβ＝   tanαcotβ＝．八．三角函數(shù)的和差化積公式【基礎(chǔ)知識(shí)】三角函數(shù)的和差化積公式：（1）sinα+sinβ＝2sincos    sinα﹣sinβ＝2cossin（2）cosα+cosβ＝2coscos     cosα﹣cosβ＝﹣2sinsin（3）cosα+sinα＝sin（+α）＝cos（）    cosα﹣sinα＝cos（+α）＝sin（﹣α）習(xí)題演練一．選擇題（共12小題）1．sin 600°＋tan 240°的值等于（    ）A．－ B．C．－＋ D．＋【答案】B【解析】sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－，tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝，則 sin 600°＋tan 240°＝.故選：B.2．函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．【答案】D【解析】令， 因?yàn)?/span>，所以為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A,B;因?yàn)?/span>時(shí)，，所以排除選項(xiàng)C，選D.3．定義運(yùn)算，若，則等于（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由定義運(yùn)算知，即，又，又，，．4．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上是增函數(shù)的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】A選項(xiàng)，的定義域?yàn)?/span>，故A不滿足題意；D選項(xiàng)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)，故D不滿足題意；B選項(xiàng)，正切函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間是增函數(shù)，即B正確；C選項(xiàng)，正弦函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間是增函數(shù)；因此是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故C不滿足題意.故選：B.5．函數(shù)?(x)＝sin xcos x＋cos 2x的最小正周期和振幅分別是（    ）A．π，1 B．π，2C．2π，1 D．2π，2【答案】A【解析】?(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，所以振幅為1，最小正周期為T＝＝＝π，故選：A．6．設(shè)，則的大小關(guān)系為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】以為圓心作單位圓，與軸正半軸交于點(diǎn)，作交單位圓第一象限于點(diǎn)，做軸，作軸交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如下圖所示：由三角函數(shù)線的定義知，，，，因?yàn)?/span>，∴∴故選：C7．若，，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，因?yàn)?/span>，，所以，，因?yàn)?/span>，，所以，，則．故選：C8．已知函數(shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（    ）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度8C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】B【解析】因?yàn)?/span>要得到函數(shù) x的圖象，只需將f（x）＝sin2x圖象向右平移個(gè)單位即可，故選：B．9．函數(shù)，的最小正周期為（    ）A． B． C． D．4【答案】C【解析】解：，，，則函數(shù)的最小正周期為．故選：．10．關(guān)于函數(shù)，，，且在上單調(diào)，有下列命題：（1）的圖象向右平移個(gè)單位后關(guān)于軸對(duì)稱（2）（3）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱（4）在上單調(diào)遞增其中正確的命題有（        ）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】，或或或或因?yàn)?/span>在上單調(diào)，所以因此或，（驗(yàn)證舍去）或的圖象向右平移個(gè)單位得，不關(guān)于軸對(duì)稱，（1）錯(cuò)；，（2）對(duì)；，（3）錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，（4）對(duì)；故選：B11．函數(shù)，的圖象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：函數(shù)，則函數(shù)是奇函數(shù)，排除D，當(dāng)時(shí)，，則，排除B，C，故選：A．12．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中圖象最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為和，圖象在y軸上的截距為，給出下列四個(gè)結(jié)論：①的最小正周期為；②的最大值為2；③；④為奇函數(shù)．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由圖象，得函數(shù)的最小正周期，①正確．，即，又，所以，結(jié)合，得，即，又，所以，即，所以函數(shù)的最大值為2，②正確．又，所以③正確．,為奇函數(shù)，所以④正確．故選D．二．填空題（共6小題）13．________.【答案】【解析】∵，，∴故答案為14．將函數(shù)y=的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后的圖象中與y軸最近的對(duì)稱軸的方程是____.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)故答案為：15．已知，則______．【答案】【解析】因?yàn)?/span>，則．16．已知，，且，則的值等于__________.【答案】【解析】由于，所以，，由于，，.17．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后與函數(shù)的圖象重合，則下列結(jié)論正確的是______.①的一個(gè)周期為；        ②的圖象關(guān)于對(duì)稱；③是的一個(gè)零點(diǎn)；    ④在單調(diào)遞減；【答案】①②③【解析】解：函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后與函數(shù)的圖象重合，，的一個(gè)周期為，故①正確；的對(duì)稱軸滿足：，，當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于對(duì)稱，故②正確；由，得，是的一個(gè)零點(diǎn)，故③正確；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故④錯(cuò)誤．故答案為：①②③．18．已知函數(shù)，點(diǎn)是直線與函數(shù)的圖象自左至右的某三個(gè)相鄰交點(diǎn)，若，則 _____【答案】3【解析】作出示意圖如圖所示：由，則，則，故的周期，得，即，且，可得，且，得,則，得，則.故答案為：3三．解析題（共6小題）19．若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)和與之相鄰的對(duì)稱軸之間的距離為，且當(dāng)時(shí)，取得最小值.（1）求的解析式；（2）若，求的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意，函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)和與之相鄰的對(duì)稱軸之間的距離為，可得的周期，即，解得，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，取得最小值，所以，所以，解得，因?yàn)?/span>，所以，所以.（2）因?yàn)?/span>，可得，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以函數(shù)的值域是.20．設(shè).（1）若，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）的零點(diǎn)是或；（2）．【解析】（1）由，令，則，即或，，解得或，∴的零點(diǎn)是或.（2）由可得，所以，（1）當(dāng)時(shí)，易得，由恒成立可得，，即，解得，（2）當(dāng)時(shí)，可得，由恒成立可得，即，解得，綜上可得，的取值范圍是．21．已知函數(shù).（Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若在區(qū)間上的最大值為，求的最小值.【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ），所以的最小正周期為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因?yàn)?/span>，所以.要使得在上的最大值為，即在上的最大值為1.所以，即.所以的最小值為.22．已知函數(shù).（Ⅰ）化簡(jiǎn)；（Ⅱ）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1），∴∴（2）由，知：，即又，所以23．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求的解析式．（2）寫出的遞增區(qū)間．【答案】（1）；（2），．【解析】解：（1）易知，，∴，∴，將點(diǎn)代入得，，，∴，，∵，∴，∴；（2）由，，解得，，∴的遞增區(qū)間為，．24．已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值，并求出取得最值時(shí)的值.【答案】（1）；單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）最大值為，；最小值為，.【解析】（1），所以，該函數(shù)的最小正周期為.解不等式，得.因此，函數(shù)最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），.當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，即. 

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