高三數(shù)學二模試卷一、單項選擇題1.圖中陰影局部所對應的集合是〔    〕  A.        B.        C.        D. 2.在復平面內，復數(shù) 〔 為虛數(shù)單位〕，那么 對應的點的坐標為〔    〕            A.                             B.                             C.                             D. 3.函數(shù) 為奇函數(shù)，那么 〔    〕            A. -1                                         B.                                          C.                                          D. 14.牙雕套球又稱“鬼工球〞，取鬼斧神工的意思，制作相當繁復，工藝要求極高.明代曹昭在?格古要論·珍奇·鬼工毬?中寫道：“嘗有象牙圓毬兒一箇，中直通一竅，內車數(shù)重，皆可轉動，故謂之鬼工毬〞.現(xiàn)有某“鬼工球〞，由外及里是兩層外表積分別為 和 的同心球〔球壁的厚度忽略不計〕，在外球外表上有一點 ，在內球外表上有一點 ，連接線段 .假設線段 不穿過小球內部，那么線段 長度的最大值是〔    〕  A. cm                                   B. 9cm                                   C. 3cm                                   D. 2cm5.二項式 的展開式的常數(shù)項為60，那么 的值為〔    〕            A. 2                                         B. -2                                         C. ±2                                         D. ±36.曲線 在 處的切線方程為〔    〕            A.                 B.                 C.                 D. 7.角 的頂點與坐標原點 重合，始邊與 軸的非負半軸重合，它的終邊與以 為圓心的單位圓相交于 點.假設 的橫坐標為 ，那么〔    〕            A.                  B.                  C.                  D. 8. ， 分別為雙曲線 ： 〔 ， 〕的左、右焦點， 為坐標原點，在雙曲線 存在點 ，使得 ，設 的面積為 .假設 ，那么該雙曲線的離心率為〔    〕            A.                                        B.                                        C.                                        D. 二、多項選擇題9.某大學生暑假到工廠參加生產勞動，生產了100件產品，質檢人員測量其長度〔單位：厘米〕，將所得數(shù)據分成6組： ， ， ， ， ， ，得到如右所示的頻率分布直方圖，那么對這100件產品，以下說法中正確的選項是〔    〕  A.                                                             B. 長度落在區(qū)間 內的個數(shù)為35
C. 長度的眾數(shù)一定落在區(qū)間 內                  D. 長度的中位數(shù)一定落在區(qū)間 內10.函數(shù) 〔 〕的局部圖象如下列圖，那么 〔    〕 A.                  B.                  C.                  D. 11.兩種不同型號的電子元件〔分別記為 ， 〕的使用壽命均服從正態(tài)分布， ， ，這兩個正態(tài)分布密度曲線如下列圖〔    〕  參考數(shù)據：假設 ，那么 ， A. 
B. 
C. 
D. 對于任意的正數(shù) ，有 12.在長方體 中， ， ， 是線段 上的一動點，那么以下說法正確的選項是〔    〕            A. 平面
B. 與平面 所成角的正切值的最大值是
C. 的最小值為
D. 以 為球心， 為半徑的球面與側面 的交線長是 三、填空題13.寫出一個與向量 共線的向量：________.    14.設函數(shù) ，假設 ，那么 ________.    15.點 是拋物線 上的一個動點，那么點 到點 的距離與到拋物線的準線的距離之和的最小值為________.    16.斐波那契數(shù)列因意大利數(shù)學家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數(shù)列〞，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在實際生活中，很多花朵〔如梅花、飛燕草、萬壽菊等〕的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學等領域也有著廣泛的應用.斐波那契數(shù)列 滿足： ， ，那么 是斐波那契數(shù)列 中的第________ 項.    四、解答題17.在 中，內角 ， ， 的對邊分別為 ， ， ，且 .    〔1〕求角 ；    〔2〕假設 ， ，求 的面積.    18.數(shù)列 的前 項和為 ， ， .    〔1〕求證： 是等差數(shù)列；    〔2〕求數(shù)列 中最接近2021的數(shù).    19.為落實中央“堅持五育并舉，全面開展素質教育，強化體育鍛煉〞的指示精神，小明和小亮兩名同學每天利用課余時間進行羽毛球比賽.規(guī)定每一局比賽中獲勝方記2分，失敗方記0分，沒有平局，誰先獲得10分就獲勝，比賽結束.假設每局比賽小明獲勝的概率都是 .    〔1〕求比賽結束時恰好打了7局的概率；    〔2〕假設現(xiàn)在是小明6：2的比分領先，記 表示結束比賽還需打的局數(shù)，求 的分布列及期望.    20.如圖，在四邊形 中， ， ， ， .沿 將 翻折到 的位置，使得 .  〔1〕作出平面 與平面 的交線 ，并證明 平面 ；    〔2〕點 是棱 于異于 ， 的一點，連接 ，當二面角 的余弦值為 ，求此時三棱錐 的體積.    21.橢圓 ： 〔 〕的離心率為 ， 的長軸是圓 ： 的直徑.    〔1〕求橢圓的標準方程；    〔2〕過橢圓 的左焦點 作兩條相互垂直的直線 ， ，其中 交橢圓 于 ， 兩點， 交圓 于 ， 兩點，求四邊形 面積的最小值.    22.函數(shù) .    〔1〕當 時，討論 的單調性；    〔2〕設 是函數(shù) 的導函數(shù)，討論函數(shù) 在 上的零點個數(shù).   
答案解析局部一、單項選擇題1.【解析】【解答】圖中陰影局部所對應的集合是兩局部集合的并集， 即 ，故答案為：C 
【分析】根據題意由集合的韋恩圖示結合集合交、并、補的定義即可得出答案。2.【解析】【解答】因為 ，所以 ， 所以復數(shù) 所對應的點的坐標為 .故答案為：D. 
【分析】由復數(shù)的運算性質化簡整理再由復數(shù)的定義以及復數(shù)的幾何意義即可得出答案。3.【解析】【解答】解：函數(shù)的定義域為 且 因為 為奇函數(shù)，所以定義域關于原點對稱，那么 ，所以 ，因為 ，滿足 為奇函數(shù)，故答案為：D. 【分析】首先求出函數(shù)的定義域再由奇函數(shù)的定義計算出a的值即可。4.【解析】【解答】因為外球的外表積為 ，內球的外表積為 ， 所以外球的半徑為 ，內球的半徑為 ，如圖，以外球外表上一點 、內球外表上有一點 以及球心 作截面，因為線段 不穿過小球內部，所以當線段 與內球相切時線段 的長度最大，那么線段 最長為 ，故答案為：C. 【分析】根據題意由球的外表積公式求出半徑的值，結合題意所以當線段 與內球相切時線段 的長度最大，結合勾股定理計算出答案。5.【解析】【解答】 ，令 ，所以 . 令 ，解得 ，故答案為：C. 
【分析】首先由二項式定理求出二項展開式的通項公式，根據題意令求出r的值，并把其值代入到通項公式計算出結果即可。6.【解析】【解答】 ， ， ，故切線方程為 ，即 . 故答案為：A. 
【分析】根據題意對函數(shù)求導再把x=1代入導函數(shù)的解析式計算出導函數(shù)的值，即為切線的斜率再由點斜式求出直線的方程。7.【解析】【解答】由三角函數(shù)的定義，可知 ， ，那么 ， 、 均有兩解 故答案為：B. 
【分析】根據題意由任意角的三角函數(shù)的定義，結合題意代入數(shù)值計算出正余弦的值，再結合二倍角的正余弦以及正切公式計算出結果即可。8.【解析】【解答】由 ，得 . 設 ， .由 ，得 ，即 .又 ，即 ，所以 ，所以 ，故答案為：A. 【分析】根據題意由雙曲線的定義結合三角形內的幾何計算關系由勾股定理整理求出， 再由雙曲線里a、b、c的關系結合離心率的公式由整體思想求出答案即可。二、多項選擇題9.【解析】【解答】對于A，由頻率和為1，得 ，解得 ， 所以A符合題意.對于B，長度落在區(qū)間 內的個數(shù)為 ，所以B符合題意.對于C，頻率分布直方圖上不能判斷長度眾數(shù)所在區(qū)間，不一定落在區(qū)間 內，所以C不符合題意.對于D， 有45個數(shù)， 內有20個數(shù)，所以長度的中位數(shù)一定落在區(qū)間 內，所以D符合題意.故答案為：:ABD. 
【分析】根據題意 由頻率之和為1，即可求出b的值，利用區(qū)間[93，94〕的頻率乘以總數(shù)即可得到長度落在區(qū)間[93，94〕的個數(shù)，眾數(shù)不一定落在區(qū)間[93，94〕內，根據頻率的和即可判斷中位數(shù)一定落在區(qū)間[93，94〕內．10.【解析】【解答】根據圖象，可得 ，設 的最小正周期為 那么 ，解得 ，所以 .將最低點的坐標 代入 中得 ，那么 〔 〕解得 〔 〕，所以 .令 ，那么 故答案為：BC. 【分析】首先結合條件求出函數(shù)的周期進而求出的值，再由點的坐標代入函數(shù)的解析式計算出的值由此得到函數(shù)的解析式。11.【解析】【解答】對于A， ，A選項正確； 對于B，由正態(tài)分布密度曲線，可知 ，所以 ，B選項正確；對于C，由正態(tài)分布密度曲線，可知 ，所以 ，C選項錯誤；對于D，對于任意的正數(shù) ，由圖像知 表示的面積始終大于 表示的面積，所以 ，D選項正確故答案為：ABD. 【分析】 根據題意結合的性質由條件可得正態(tài)曲線關于x=μ對稱，且μ越大圖象越靠近右邊，σ越小圖象越瘦長，然后逐一分析四個選項得答案．12.【解析】【解答】對于A，在長方體 中， 且 ， 且 ， 且 ，所以，四邊形 為平行四邊形，那么 ，平面 ， 平面 ， 平面 ，同理可證 平面 ，，所以，平面 平面 ，平面 ，所以， 平面 ，A選項正確；對于B， 平面 ，所以， 與平面 所成角為 ，，所以，當 時， 與平面 所成角的正切值的最大，由勾股定理可得 ，由等面積法可得 ，所以， 的最大值為 ，B選項錯誤；對于C，將 沿 翻折與 在同一平面，如以下列圖所示：在 中， 為直角， ， ，在 中， ， ，由余弦定理可得 ，那么 為銳角，可得 ，，由余弦定理可得 ，此時 ，因此， 的最小值為 ，C選項正確；對于D，設 是以 為球心， 為半徑的球面與側面 的交線上的一點，由于 平面 ， 平面 ， ，，所以交線為以 為圓心， 為半徑的四分之一圓周，所以交線長是 ，D選項正確.故答案為：ACD. 
【分析】 利用棱柱的結構特征，通過平面與平面平行，推出直線與平面平行，判斷出選項A正確；利用直線與平面所成角由此判斷出選項B錯誤；判斷A1P+PC的最小值，判斷出選項C正確；通過交線的軌跡，判斷出選項D正確，由此得出答案。三、填空題13.【解析】【解答】與向量 共線的向量為 〔寫出其中一個即可〕. 取 ，可得出一個與向量 共線的向量為 .故答案為： 〔答案不唯一，滿足 即可〕. 
【分析】由向量共線的坐標公式代入數(shù)值計算出的值由此得出結果即可。14.【解析】【解答】∵ ， ∴ .當 時，即 時， ，那么 ，與 相矛盾，應舍去.當 ，即 時， ，那么 ，即 ，滿足 時.故答案為： . 
【分析】由分段函數(shù)的性質選擇適宜的解析式計算出a的值即可。15.【解析】【解答】設點 在拋物線的準線的投影為點 ，拋物線的焦點為 ，那么 . 依拋物線的定義，知點 到該拋物線的準線的距離為 ，那么點 到點 的距離與到該拋物線的準線的距離之和.故答案為： . 【分析】根據題意 設點P在拋物線的準線的投影為點M，然后由拋物線的定義可得|PM|=|PF|，再利用三點共線即可求解．16.【解析】【解答】依題意，得 ， 故答案為：2022 
【分析】根據題意由條件的遞推公式整理化簡計算出答案即可。四、解答題17.【解析】【分析】(1)結合正弦定理整理化簡的代數(shù)式即可得到， 再由余弦定理代入數(shù)值計算出cosC的值，結合角的取值范圍即可求出角C的值。
(2)由余弦定理整理得到關于a與b的方程組求解出其值，再把數(shù)值代入到三角形的面積公式計算出結果即可。18.【解析】【分析】(1)根據題意由數(shù)列前n項和公式整理得到數(shù)列的通項公式，由此判斷出數(shù)列為等差數(shù)列。
(2)由(1)的結論即可得出數(shù)列的通項公式，結合數(shù)列的通項公式由二次函數(shù)的性質即可得出數(shù)列的單調性，由此代入數(shù)值計算出結果即可。19.【解析】【分析】(1)根據題意由條件結合n次重復獨立試驗的概率公式，代入數(shù)值計算出結果即可。
(2)根據題意求出X的取值，再由n次重復獨立試驗的概率公式計算出對應的X的概率值，由此得到X的概率分布列，再把數(shù)值代入到期望公式計算出答案即可。20.【解析】【分析】(1)根據題意作出輔助線由勾股定理計算出線線垂直，再由線面垂直的判定定理即可得出線面垂直，然后由線面垂直的性質定理得出線線垂直，結合線面垂直即可得證出結論。
(2)根據題意建立空間直角坐標系求出各個點的坐標以及向量和平面法向量的坐標，再由數(shù)量積的坐標公式即可求出平面的法向量的坐標，同理即可求出平面的法向量；結合空間數(shù)量積的運算公式代入數(shù)值即可求出夾角的余弦值，由此計算出的值進而得出 點 是 的中點 ，結合中點的性質把數(shù)值代入到體積公式計算出結果即可。

 21.【解析】【分析】(1)根據題意由橢圓的性質結合離心率的公式以及條件代入數(shù)值求出a與b的值由此求出橢圓的方程。
〔2〕分三種情況：①當過點F的直線l1的斜率不存在時，②當過點F的直線l1的斜率為0時，③當過點F的直線l1的斜率存在且不為0時  ， 求出四邊形的面積公式結合根本不等式計算出最小值即可。22.【解析】【分析】 〔1〕根據題意對f〔x〕求導，利用導數(shù)與單調性的關系求解即可；
〔2〕結合條件對a分類討論，利用導數(shù)可得函數(shù)f′〔x〕的單調性，結合零點存在性定理即可求解零點個數(shù)．

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