高三數學二模試卷一、單選題1．已知集合，則（　?。?/span>A． B． C． D．2．定義在上的下列函數中，既是奇函數，又是增函數的是（　　）A． B． C． D．3．已知隨機變量，若，則（　?。?/span>A．0.7 B．0.4 C．0.3 D．0.24．某校安排高一年級（1）～（5）班共5個班去A，B，C，D四個勞動教育基地進行社會實踐，每個班去一個基地，每個基地至少安排一個班，則高一（1）班被安排到A基地的排法總數為（　?。?/span>A．24 B．36 C．60 D．2405．若函數與圖象的任意連續(xù)三個交點構成邊長為4的等邊三角形，則正實數（　?。?/span>A． B．1 C． D．π6．趙爽弦圖（如圖1）中的大正方形是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形拼接而成的，若直角三角形的兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，由大正方形面積等于4個直角三角形的面積與中間小正方形的面積之和可得勾股定理．仿照趙爽弦圖構造如圖2所示的菱形，它是由兩對全等的直角三角形和中間的矩形拼接而成的，設直角三角形的斜邊都為1，其中一對直角三角形含有銳角，另一對直角三角形含有銳角（位置如圖2所示）．借鑒勾股定理的推導思路可以得到結論（　?。?/span>A．B．C．D．7．已知拋物線E：，圓F：，直線l：（t為實數）與拋物線E交于點A，與圓F交于B，C兩點，且點B位于點C的右側，則△FAB的周長可能為（　?。?/span>A．4 B．5 C．6 D．78．存在函數使得對于都有，則函數可能為（　　）A． B．C． D．二、多選題9．已知復數z的共軛復數是，，i是虛數單位，則下列結論正確的是（　　）A．B．的虛部是0C．D．在復平面內對應的點在第四象限10．吹氣球時，記氣球的半徑r與體積V之間的函數關系為r（V），為r（V）的導函數．已知r（V）在上的圖象如圖所示，若，則下列結論正確的是（　?。?/span>A．B．C．D．存在，使得11．在所有棱長都相等的正三棱柱中，點A是三棱柱的頂點，M，N、Q是所在棱的中點，則下列選項中直線AQ與直線MN垂直的是（　　）A． B．C． D．12．如圖，已知扇形OAB的半徑為1，，點C、D分別為線段OA、OB上的動點，且，點E為上的任意一點，則下列結論正確的是（　　）A．的最小值為0 B．的最小值為C．的最大值為1 D．的最小值為0三、填空題13．已知雙曲線 ＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝± x，則它的離心率為　     　．   14．若直線和直線將圓的周長四等分，則　     　．15．若函數的最大值為1，則常數的一個取值為　                                                   　．16．十字貫穿體（如圖1）是美術素描學習中一種常見的教具．如圖2，該十字貫穿體由兩個全等的正四棱柱組合而成，且兩個四棱柱的側棱互相垂直，若底面正方形邊長為2，則這兩個正四棱柱公共部分所構成的幾何體的內切球的體積為　     　．四、解答題17．已知遞增等比數列的前n項和為，且滿足，．（1）求數列的通項公式．（2）若數列滿足，求數列的前15項和．18．小李下班后駕車回家的路線有兩條．路線1經過三個紅綠燈路口，每個路口遇到紅燈的概率都是；路線2經過兩個紅綠燈路口，第一個路口遇到紅燈的概率是，第二個路口遇到紅燈的概率是．假設兩條路線全程綠燈時的駕車回家時長相同，且每個紅綠燈路口是否遇到紅燈相互獨立．（1）若小李下班后選擇路線1駕車回家，求至少遇到一個紅燈的概率．（2）假設每遇到一個紅燈駕車回家時長就會增加1min，為使小李下班后駕車回家時長的累計增加時間（單位：min）的期望最小，小李應選擇哪條路線？請說明理由．19．如圖，已知△ABC內有一點P，滿足．（1）證明：．（2）若，，求PC．20．如圖1，在△ABC中，，DE是△ABC的中位線，沿DE將△ADE進行翻折，使得△ACE是等邊三角形（如圖2），記AB的中點為F．（1）證明：平面ABC．（2）若，二面角D-AC-E為，求直線AB與平面ACD所成角的正弦值．21．已知橢圓C：，點為橢圓的右焦點，過點F且斜率不為0的直線交橢圓于M，N兩點，當與x軸垂直時，．（1）求橢圓C的標準方程．（2），分別為橢圓的左、右頂點，直線，分別與直線：交于P，Q兩點，證明：四邊形為菱形．22．已知函數（且）的圖象與x軸交于P，Q兩點，且點P在點Q的左側．（1）求點P處的切線方程，并證明：時，．（2）若關于x的方程（t為實數）有兩個正實根，證明：．答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】B8．【答案】D9．【答案】B,C10．【答案】B,D11．【答案】A,C12．【答案】B,C,D13．【答案】214．【答案】215．【答案】（答案不唯一，取，均可）16．【答案】17．【答案】（1）解：設的公比為q，則由，得．整理得．又，得．聯立得，消去，得．解得或．又因為為遞增等比數列，所以，．所以．（2）解：（方法一）當時，，則，，同理，列舉得，，，，，，，．記的前n項和為，則．所以數列的前15項和為92．（方法二）由，得，記的前n項和為，則．所以數列的前15項和為92．18．【答案】（1）解：設路線1遇到紅燈的個數的隨機變量為X，則，所以至少遇到一個紅燈的事件為，由對立事件概率公式，得，所以若小李下班后選擇路線1駕車回家，至少遇到一個紅燈的概率為．（2）解：設路線1累計增加時間的隨機變量為，則，所以，設路線2第i個路口遇到紅燈為事件（，2），則，，設路線2累計增加時間的隨機變量為，則的所有可能取值為0，1，2，則，，，所以．因為，所以為使小李下班后駕車回家時長的累計增加時間的期望最小，小李應選擇路線1．19．【答案】（1）證明：在△ABP中，由正弦定理得，即，要證明，只需證明，在△ABP中，，在△ABC中，，所以，所以，所以．（2）解：由（1）知，又因為，，所以，由已知得△ABC為等腰直角三角形，所以，則，所以在△PBC中，，由正弦定理得，即，即．由余弦定理得，由題意知，故解得，所以．20．【答案】（1）證明：如圖，取AC中點G，連接FG和EG，由已知得，且．因為F，G分別為AB，AC的中點，所以，且所以，且．所以四邊形DEGF是平行四邊形．所以．因為翻折的，易知．所以翻折后，．又因為，EA，平面AEC，所以平面AEC．因為，所以平面AEC．因為平面AEC，所以．因為ACE是等邊三角形，點G是AC中點，所以又因為，AC，平面ABC．所以平面ABC．因為，所以平面ABC．（2）解：（方法一）如圖，過點E作，以E為原點，EH、EC，ED所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系E-xyz，設，則，，，，則，，，因為平面AEC．所以是平面AEC的法向量，設面ACD的法向量為，則，即，解得．取，得．因為二面角D-AC-E為，所以，解得，所以，．記直線AB與平面ACD所成角為，則，所以直線AB與平面ACD所成角的正弦值為．（方法二）如圖，連接DG，因為平面AEC，平面AEC，所以．又因為，，DE，平面DEG．所以平面DEC．因為EG，平面DEG，所以，，所以∠DGE是二面角D-AC-E的平面角，故．由△ACE是邊長為2的等邊三角形，得，在RtDGE中，，所以，．過點F作，垂足為I，因為平面DEGF，平面ACD，所以平面平面ACD．又因為平面平面，平面DEGF，且，所以平面ACD．連接AI，則∠FAI即為直線AB與平面ACD所成的角．在Rt△DFG中，，，得，由等面積法得，解得．在RtAFG中，，，所以．在RtFAI中，，所以直線AB與平面ACD所成角的正弦值為．21．【答案】（1）解：由題可知．當與x軸垂直時，不妨設M的坐標為，所以，解得，．所以橢圓C的標準方程為．（2）證明：設的方程為，，，聯立得消去x，得，易知恒成立，由韋達定理得，，由直線的斜率為，得直線的方程為，當時，，由直線的斜率為，得直線的方程為，當時，，若四邊形為菱形，則對角線相互垂直且平分，下面證，因為，代入韋達定理得，所以，即PQ與相互垂直平分，所以四邊形為菱形．22．【答案】（1）證明：令，得．所以或．即或．因為點P在點Q的左側，所以，．因為，所以，得點P處的切線方程為，即．當時，，因為，且，所以，所以，即．所以，所以．（2）證明：不妨設，且只考慮的情形．因為，所以．所以點Q處的切線方程為，記，令，，設，則．所以單調遞增．又因為，所以，當時，；當時，．所以在上單調遞減，在上單調遞增．所以在時有極小值，也是最小值，即，所以當時，．設方程的根為，則．易知單調遞增，由，所以．對于（1）中，設方程的根為，則．易知單調遞減，由（1）知，所以．所以．因為，易知時，，故；當時，，所以，所以，所以．記，，則恒成立．所以單調遞增，因為，，所以存在使得．所以，當時．；當時，．所以在上單調遞減，在上單調遞增．因為，，由函數圖象知當方程（t為實數）有兩個正實根時，，所以．所以，即．

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