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高中數學全國高等學校招生統(tǒng)一考試模擬試卷
數學考試
考試時間：120分鐘 總分值：150分
第一卷 客觀題
第一卷的注釋
一、單項選擇題
1.集合 ， ，那么 〔??? 〕
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
2. ， ，那么〔??? 〕
A.?????????????????B.?????????????????C.?????????????????D.?
3.函數 的局部圖象大致為〔??? 〕
A.??????????????????B.?
C.????????????????D.?
4.當復數 時，實數 的值可以為〔??? 〕
A.?0??????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????C.?-1??????????????????????????????????????????D.?±1
5.如圖，在半徑為2的扇形 中， ， 是弧 上的一個三等分點， 分別是線段 ， 上的動點，那么 的最大值為〔??? 〕

A.??????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.?4?????????????????????????????????????????D.?
6.在矩形ABCD中，AB=2BC=2，點P在CD邊上運動(如圖甲)，現以AP為折痕將 折起，使得點D在平面ABCP內的射影 恰好落在AB邊上(如圖乙)．設 二面角D-AP-B的余弦值為 ，那么函數 的圖象大致是〔??? 〕

A.???????????????????????????????????????B.?
C.?????????????????????????????????????D.?
7.正確使用遠光燈對于夜間行車很重要.某家用汽車遠光燈(如圖)的縱斷面是拋物線的一局部,光源在拋物線的焦點處,假設燈口直徑是 ,燈深 ,那么光源到反光鏡頂點的距離是(??? )

A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
8.自2021年以來，一、二、三線的房價均呈現不同程度的上升趨勢，以房養(yǎng)老、以房為聘的理念深入人心，使得各地房產中介公司的交易數額日益增加．現將 房產中介公司2021-2021年4月份的售房情況統(tǒng)計如下列圖，根據2021-2021年，2021-2021年，2021-2021年的數據分別建立回歸直線方程 、 、 ，那么〔??? 〕

A.?， ????????????????????????????????B.?，
C.?， ????????????????????????????????D.?，
二、多項選擇題
9.太極圖被稱為“中華第一圖〞，閃爍著中華文明進程的光輝，它是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現了一種相互轉化，相對統(tǒng)一的和諧美.定義：能夠將圓O的周長和面積同時等分成兩個局部的函數稱為圓O的一個“太極函數〞，設圓O： ，那么以下說法中正確的選項是(??? )

A.?函數 是圓O的一個太極函數
B.?圓O的所有非常數函數的太極函數都不能為偶函數
C.?函數 是圓O的一個太極函數
D.?函數 的圖象關于原點對稱是 為圓O的太極函數的充要條件
10.設 是無窮數列，假設存在正整數k，使得對任意 ，均有 ，那么稱 是間隔遞增數列，k是 的間隔數，以下說法正確的選項是〔??? 〕
A.?公比大于1的等比數列一定是間隔遞增數列
B.? ，那么 是間隔遞增數列
C.? ，那么 是間隔遞增數列且最小間隔數是2
D.? ，假設 是間隔遞增數列且最小間隔數是3，那么
11.如圖，在直三棱柱 中， ， ，D，E，F分別為AC， ，AB的中點．那么以下結論正確的選項是〔??? 〕

A.?與EF相交????????????????????????????????????????????????????B.?平面DEF
C.?EF與 所成的角為 ????????????????????????????????D.?點 到平面DEF的距離為
12. ， ， ，假設 存在唯一零點，以下說法正確的有〔??? 〕
A.?在 上遞增
B.?圖象關于點 中心對稱
C.?任取不相等的實數 ，均有
D.?
三、填空題
13.雷神山醫(yī)院從開始設計到建成完工，歷時僅十天.完工后，新華社記者要對局部參與人員采訪.決定從300名機械車操控人員，160名管理人員和240名工人中按照分層抽樣的方法抽取35人，那么從工人中抽取的人數為________；
14. 的展開式中的常數項為60，那么 ________.
15.函數 的局部圖像，如下列圖，假設 ，那么 的值為________.

16.圓 ： ，從點 發(fā)出的光線，經直線 反射后，恰好經過圓心 ，那么入射光線的斜率為________.
第二卷 主觀題
第二卷的注釋
四、解答題
17.設 的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c且 ， .
〔1〕求 ；
〔2〕當 取最小值時，求 的面積.
18.數列 的前n項和為 ，各項均為正數的等比數列 的前n項和為 ，? ▲? ， 且 .
在① ；② ；③ 這三個條件中任選一個，補充在上面的問題中，并進行解答.
〔1〕求數列 和 的通項公式；
〔2〕設數列 的前n項和為 ，求證： .
注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.
19.如圖，在四棱錐 中， 平面 ，四邊形 是等腰梯形 分別是 的中點.

〔1〕證明：平面 平面 ；
〔2〕假設二面角 的大小為60°，求四棱錐 的體積.
20.某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網絡問卷調查，每一位市民僅有一次參加時機，通過隨機抽樣，得到參加問卷調查的1000人的得分〔總分值：100分〕數據，統(tǒng)計結果如下表所示．
組別







頻數
25
150
200
250
225
100
50
〔1〕此次問卷調查的得分 服從正態(tài)分布 ， 近似為這1000人得分的平均值〔同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表〕，請利用正態(tài)分布的知識求 ；
〔2〕在〔1〕的條件下，環(huán)保部門為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案.
〔ⅰ〕得分不低于 的可以獲贈 次隨機話費，得分低于 的可以獲贈 次隨機話費；
〔ⅱ〕每次贈送的隨機話費和相應的概率如下表.
贈送的隨機話費/元
20
40
概率


現市民甲要參加此次問卷調查，記 為該市民參加問卷調查獲贈的話費，求 的分布列及數學期望．
附： ，假設 ，那么 ， ， .
21.橢圓 的離心率 ， 為橢圓上一點.
〔1〕求橢圓 的方程；
〔2〕 為橢圓 的右焦點，過點 的直線 交橢圓(異于橢圓頂點)于 、 兩點，試判斷 是否為定值？假設是，求出該定值；假設不是，說明理由.
22.函數 ， ． 、 ，
〔1〕討論 的單調性；
〔2〕函數 的極大值為1，
①假設 ，設 ，證明： ；
②設 ，判斷函數 零點個數，并說明理由.

答案解析局部
一、單項選擇題
1.【解析】【解答】因為集合 ，
所以 ，
所以
故答案為：B

【分析】先求出集合B，然后進行交集的運算即可。
2.【解析】【解答】因為 ， ，所以 ，
又因為 ，因為 ，所以 ，
又因為 ，
所以 且 ，所以 ，所以 ，
故答案為：B.

【分析】利用對數函數的單調性可得， 再利用對數運算性質化簡， 即可得出結論。
3.【解析】【解答】由題意，函數 滿足 且 ，解得 且 ，排除B；
又由 ，所以函數 為奇函數，排除D；
當 時， ，排除A.
故答案為：C.

【分析】根據題意首先求出函數的定義域再由奇函數的定義f(-x)=f(x)即可判斷出該函數為奇函數，由奇函數圖象的性質得出圖像關于原點對稱由此排除D，再由特殊點法代入數值驗證即可排除選項B和選項A，由此得到答案。
4.【解析】【解答】當 時， ，所以 不滿足，A不正確.
當 時， ,所以 ，B不正確.
當 時， , ，滿足，C符合題意.
由上可知，D不正確.
故答案為：C

【分析】對各個選項逐一進行分析判斷，即可得到答案。
5.【解析】【解答】解析： ， 是弧 上的一個三等分點，故 ， ，

故當 時， 取最大值4，
故答案為：C。

【分析】利用 ， 是弧 上的一個三等分點，故 ， ，再利用三角形法那么結合數量積的運算法那么，從而利用數量積的定義結合幾何法，求出的最大值。
6.【解析】【解答】當 時，

作 于 ，連結 ，
因為 平面 ，
所以 是二面角D-AP-B的平面角，
可以求得 ， ，所以 ，
所以排除A、B；
當 時，

作 于 ，連結 ，
因為 平面 ，
所以 是二面角D-AP-B的平面角，
可以求得 ， ，
，排除C,
故答案為：D.
【分析】分別取 和 ，計算出二面角D-AP-B的余弦值為 和 ，比照圖象得到結果.
7.【解析】【解答】設拋物線方程為 ,
燈口直徑是 ,燈深
點 在拋物線 上



光源到反射鏡頂點的距離為 .
故答案為： A.
【分析】先設出拋物線的標準方程,把點 代入拋物線方程求得 ,即光源到反射鏡頂點的距離,即可求得答案.
8.【解析】【解答】回歸直線分布在散點圖的附近， 表示回歸直線的斜率， 表示回歸直線在y軸上的截距，由圖可知，2021-2021年，y隨x的增加，迅速增加；2021-2021年，y隨x的增加，平緩增加，故 ；2021-2021年，y隨x的增加而減少，故 ；所以 ，由圖可知 .
故答案為：A．

【分析】回歸直線分布在散點圖的附近，由 ， 的幾何意義結合圖像即可判斷。
二、多項選擇題
9.【解析】【解答】A：因為 ，所以函數 是奇函數，它的圖象關于原點對稱，如以下列圖所示：

所以函數 是圓O的一個太極函數，故本說法正確；
B：如以下列圖所示：函數 是偶函數， 也是圓O的一個太極函數，故本說法不正確；

C：因為 是奇函數，所以它的圖象關于原點對稱，而圓 也關于原
點對稱，如以下列圖所示：因此函數 是圓O的一個太極函數，故本說法是正確的；

D：根據B的分析，圓O的太極函數可以是偶函數不一定關于原點對稱，故本說法不正確.
故答案為：AC

【分析】根據題意，結合“太極函數〞的定義，依次分析選項即可得到答案。
10.【解析】【解答】A. ，因為 ，所以當 時， ，故錯誤；
B. ，令 ，t在 單調遞增，那么 ，解得 ，故正確；
C. ，當 為奇數時， ，存在 成立，當 為偶數時， ，存在 成立，綜上： 是間隔遞增數列且最小間隔數是2，故正確；
D. 假設 是間隔遞增數列且最小間隔數是3，
那么 ， 成立，
那么 ，對于 成立，且 ，對于 成立，
即 ，對于 成立，且 ，對于 成立，
所以 ，且 ，
解得 ，故正確，.
故答案為：BCD。

【分析】利用數列 是無窮數列，假設存在正整數k，使得對任意 ，均有 ，那么稱 是間隔遞增數列，k是 的間隔數，從而利用等比數列的定義、數列的單調性、遞推關系、分類討論的方法，從而找出說法正確的選項。
11.【解析】【解答】對A，由圖知 平面 ， 平面 ，且 由異面直線的定義可知 與EF異面，A不符合題意；
對于B，在直三棱柱 中， ? ．
，F分別是AC，AB的中點，
， ? ．
又 平面DEF， 平面DEF，
? 平面 B符合題意；
對于C，由題意，建立如下列圖的空間直角坐標系，

那么 0， ， 0， ， 2， ， 0， ， 2， ， 0， ， 0， ， 0， ， 1， ．
1， ， 0， ．
， ， ．
與 所成的角為 ，C符合題意；
對于D，設向量 y， 是平面DEF的一個法向量．
0， ， 1， ，
由 ，即 ，得
取 ，那么 ， 0， ，
設點 到平面DEF的距離為d．
又 2， ，
，
點 到平面DEF的距離為 ，D符合題意．
故答案為：BCD

【分析】利用異面直線的位置關系，線面平行的判定方法，利用空間直角坐標系異面直線所成角和點到面的距離，對各個選項逐一判斷，即可得到答案。
12.【解析】【解答】由 知 在 上遞增，A選項正確；
，故 圖象關于點 中心對稱，B選項正確；
由 ，當 時， ， 遞增， 圖象下凸，此時 ，C選項錯誤﹔
對于D選項：
，注意到 ，故 的圖象關于點 中心對稱，而 ，那么 在 上有唯一零點等價于 在 無零點，
，
當 時，因為 ，那么 ，
于是 在 遞增，于是當 時， ，滿足題意﹔
當 時， ，由連續(xù)函數的性質可知，一定存在 ，使得 時 ，那么 在 單調遞減，于是 時 ，
而 時， ， ， ，

，
由零點存在性定理，在區(qū)間 上 一定還存在零點，與矛盾.
故 ，
故答案為：ABD。

【分析】利用求導的方法判斷出函數 的單調性；因為，故 圖象關于點 中心對稱；利用求導的方法判斷出函數的單調性，再利用函數的單調性推出；利用，注意到 ，故 的圖象關于點 中心對稱，而 ，那么 在 上有唯一零點等價于 在 無零點，再利用求導的方法判斷出函數f(x)的單調性，再由零點存在性定理，在區(qū)間 上 一定還存在零點，與矛盾，故 ，從而找出說法正確的選項。
?
三、填空題
13.【解析】【解答】因為機械車操控人員，管理人員和工人的數量比為： ，
所以按照分層抽樣的方法抽取35人，從工人中抽取的人數為： ，
故答案為：12
【分析】根據分層抽樣的性質進行求解即可.
14.【解析】【解答】 的展開式通項公式為： ，
當 時，即當 時該項為常數項，
因為 的展開式中的常數項為60，
所以 ，
故答案為：

【分析】利用二項式定理的通項公式即可得出。
15.【解析】【解答】由函數圖像可得： ，所以 .
故答案為： .
【分析】根據三角函數圖像，以及周期公式，得到 ，即可求出結果.
16.【解析】【解答】解：圓 的圓心 ，
如圖過 作直線 的對稱點 ，設 ，

由 ， ，解得 ， ，
即 ，
連接 ，與 相交于點 ，可得光線的入射光線 ，
那么入射光線的斜率為 ，
故答案為：-2．

【分析】求得圓心C的坐標，過C作直線的對稱點 ，設 ，由兩直線垂直的條件和中點坐標公式，解方程可得的坐標，再由兩點的斜率公式計算的斜率可得所求。
四、解答題
17.【解析】【分析】〔1〕根據正弦定理可得 ?，?，進而得出 ，從而可求出 ?，?， 然后即可求出 的值；
〔2〕根據余弦定理即可得出 ， 從而得出 ， 從而可得出 ??時，??取最小值，進而可求出對應的?的面積?。
18.【解析】【分析】〔1〕先利用 求得 ， 再利用所選條件及題設求得等比數列的首項與公比， 即可求得 ；
〔2〕先由〔1〕求得， 再利用錯位相減法求得 ?，進而證明結論。
19.【解析】【分析】〔1〕 連接?， 可得四邊形??為平行四邊形，那么 ， 再由得到 ， 由 平面?， 得 ?, 進一步得到 平面??，從而得到平面??平面?；
〔2〕 連接?， 可得 ?，建立空間直角坐標系， 設?， 分別求出平面?與 平面?的法向量?，由二面角??的大小 列式求得的值，那么四棱錐?的體積可求。
20.【解析】【分析】〔1〕以每組數據的中間值為代表值，以每組數據頻率為權加權平均得到原那么處理即可；
〔2〕 隨機變量??的可能取值有20、40、60、80， 分別求出對應概率，列出分布列求期望即可。
21.【解析】【分析】(1)根據題意由橢圓的離心率和點在橢圓上以及橢圓里a、b、c的關系即可得到關于a、b、c的方程組求解出a、b、c的值，由此求出橢圓的方程。
(2)根據題意由斜截式設出直線的方程再聯(lián)立直線與橢圓的方程消去x得到關于y的一元二次方程，結合韋達定理即可求出關于m的兩根之和與兩根之積的代數式，再把數值代入到弦長公式求出同理也可求出,結合代入到得到關于m的代數式整理化簡即可得出結果。

?
22.【解析】【分析】(1)首先求出函數的定義域在對其求導，結合導函數的正負情況即可得出原函數的單調性以及單調區(qū)間。
(2)由(1)的結論可知函數f(x)的極大值令其等于1即可求出a的取值， ① 首先對函數f(x)求導結合導函數的性質等差原函數的單調性，由函數的單調性即可得出；令b=2求出函數g(x)，作差求出， 構造函數對其求導結合導函數的性質得到原函數的單調性進而得到， 由不等式的性質即可得證結論。
② 由函數零點與方程的關系得到在 上解的個數 ，構造函數對其求導，結合導函數的性質即可得到導函數的正負情況，由此得到函數的單調性以及零點存在的情況，由此得出存在唯一的零點。

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