2.1.2 一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系
一、選擇題
1．若、是方程的兩個(gè)根，則的值為( )
A．B．-1C．3D．-3
【答案】A
【解析】
因?yàn)?、是方程的兩個(gè)根，
所以
所以=2-1=1
故選A
2．若，，則以，為根的一元二次方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
∵，
∴，
而，
∴，
∴，
∴以，為根的一元二次方程為．
故選：A．
3．若代數(shù)式2x2-5x與代數(shù)式x2-6的值相等，則x的值是( )
A．-2或3B．2或3C．-1或6D．1或-6.
【答案】B
【解析】
因?yàn)檫@兩個(gè)代數(shù)式的值相等，
所以有： 2x2-5x=x2-6，
x2-5x+6=0，
(x-2)(x-3)=0，
x-2=0或x-3=0，
∴x=2或3．
所以選B
4．x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣3m2＝0的兩根，則下列說法不正確的是（ ）
A．x1+x2＝2mB．x1x2＝﹣3m2C．x1﹣x2＝±4mD．＝﹣3
【答案】D
【解析】
∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2m﹣3m2=0的兩根，
∴x1+x2=2m，x1x2=﹣3m2，|x1﹣x2||4m|=±4m，
解方程x2﹣2mx﹣3m2=0得：x=3m或﹣m，
∴3或．
故選D．
5．若是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 ( )
A．2018B．2017C．2016D．2015
【答案】B
【解析】
∵是方程的根，
∴，
∴，
∴.
∵是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，
∴
故選B.
6.關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一個(gè)根為﹣3，則另一根為（ ）
A．1B．﹣2C．2D．3
【答案】A
【解析】
設(shè)方程x2+kx﹣3＝0的另一個(gè)根為a，
∵關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一個(gè)根為﹣3，
∴由根與系數(shù)的關(guān)系得：﹣3a＝﹣3，
解得：a＝1，
即方程的另一個(gè)根為1，
故選：A．
7.關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為12，則的值為（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【解析】
設(shè)，是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴或，
∴，
故選A．
8．已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是( )
A．2023B．2021C．2020D．2019
【答案】A
【解析】
，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，，，
∴；
故選A．
9．若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（ ）
A．B．且C．D．且
【答案】D
【解析】
（k-2）x2-2kx+k-6=0，
∵關(guān)于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有實(shí)數(shù)根，
∴，
解得：且k≠2．
故選D．
二、填空題
10．若方程的兩根是則的值為________．
【答案】5
【解析】
根據(jù)題意得，所以.故答案為5.
11．已知、是方程的兩根，則______________
【答案】2
【解析】
∵x1、x2是方程x2?2x?1＝0的兩根，
∴x1＋x2＝2，x1×x2＝?1，
∴x12＋x22＝（x1＋x2）2?2x1x2＝22?2×（?1）＝6．
故答案為：6．
12．已知a，b是方程x2+2017x+2=0的兩個(gè)根，則（2+2019a+a2）（2+2019b+b2）的值為______．
【答案】8．
【解析】
∵a，b是方程x2+2017x+2=0的兩個(gè)根，
∴2+2017a+a2=0，2+2017b+b2=0，ab=2，
∴（2+2019a+a2）（2+2019b+b2）=（2+2017a+2a+a2）（2+2017b+2b+b2）=4ab=8，
故答案為：8．
13．若a、b是關(guān)于一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩實(shí)數(shù)根，則的值為_____．
【答案】
【解析】
∵a、b是關(guān)于一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根，
∴ ，
∴ ，
故答案為：．
三、解答題
14．關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根是，求該一元二次方程的另一個(gè)根及的值．
【答案】該一元二次方程的另一個(gè)根是－4，的值為10.
【解析】
設(shè)方程的另一個(gè)根為.
依題意得，解得
又，所以.
故該一元二次方程的另一個(gè)根是－4，的值為10.
15.已知關(guān)于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2．
（1）求k的取值范圍；（2）若x1﹣3x2＝2，求k的值．
【答案】（1）k＞﹣1；（2）k＝3．
【解析】
（1）△＝（﹣2k）2﹣4（k2﹣k﹣1）＝4k+4＞0，
∴k＞﹣1；
（2）∵，
∴，
∵x1?x2＝k2﹣k﹣1，
∴（3k+1）（k﹣1）＝k2﹣k﹣1，
∴k1＝3，k2＝﹣1，
∵k＞﹣1，[來源:學(xué)?？?。網(wǎng)Z。X。X。K]
∴k＝3．
16．按指定的方法解方程
(直接開平方法)
(配方法)
(因式分解法)
(公式法)
【答案】(1)，；(2)，；(3)，；(4)．[來【解析】
方程變形得：，
開方得：或，
解得：，；
方程變形得：，
配方得：，即，
開方得：或，
解得：，；
方程變形得：，
分解因式得：，
解得：，；
這里，，，
∵，
∴．
17．已知x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+(3a-1)x+2a2-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，使得(3x1-x2)(x1-3x2)=-80成立，求其實(shí)數(shù)a的可能值
【答案】a=-.
【解析】
∵x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+(3a-1)x+2a2-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，a=1，b=(3a-1)，c=2a2-1，
∴x1+x2=-=-(3a-1)，x1?x2==2a2-1，
∵(3x1-x2)(x1-3x2)=-80，
∴3x12-10x1x2+3x22=-80，即3(x1+x2)2-16x1x2=-80，
∴3[-(3a-1)]2-16(2a2-1)=-80，
∴5a2+18a-99=0，
∴a=3或-，
當(dāng)a=3時(shí)，方程x2+(3a-1)x+2a2-1=0的△＜0，
∴不合題意，舍去
∴a=-
18．已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根.
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)m=2時(shí)，方程的根為，求代數(shù)式的值.
【答案】（1）；（2）1.
【解析】
（1）△=
∵原方程有實(shí)根，∴△=
解得
（2）當(dāng)m=2時(shí)，方程為x2+3x+1=0，
∴x1+x2=-3，x1x2=1，
∵方程的根為x1，x2，
∴x12+3x1+1=0，x22+3x2+1=0，
∴（x12+2x1）（x22+4x2+2）
=（x12+2x1+x1-x1）（x22+3x2+x2+2）
=（-1-x1）（-1+x2+2）
=（-1-x1）（x2+1）
=-x2-x1x2-1-x1
=-x2-x1-2
=3-2
=1．
19．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．
（1）若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若方程兩實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，且滿足x12+x22＝31+|x1x2|，求實(shí)數(shù)m的值．
【答案】（1）m≥﹣；（2）m＝2．
【解析】
（1）根據(jù)題意得（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，
解得m≥﹣；
（2）根據(jù)題意x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2+2，
因?yàn)閤1x2＝m2+2＞0，
所以x12+x22＝31+x1x2，
即（x1+x2）2﹣3x1x2﹣31＝0，
所以（2m+3）2﹣3（m2+2）﹣31＝0，
整理得m2+12m﹣28＝0，解得m1＝﹣14，m2＝2，
而m≥﹣；
所以m＝2．

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