1.函數(shù)的單調(diào)性 (1)單調(diào)函數(shù)的定義
f(x1)f(x2)
(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是　　　　　　　或　　　　　　,那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,　　　　　叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.?
注意:從單調(diào)函數(shù)的定義可以看出,函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù),是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的.有的函數(shù)在其定義域的一個(gè)區(qū)間上是增函數(shù),而在另一個(gè)區(qū)間上不是增函數(shù).例如,函數(shù)y=x2,當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí)是增函數(shù),當(dāng)x∈(-∞,0]時(shí)是減函數(shù).
3.常用結(jié)論(1)函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論
(3)設(shè)?x1,x2∈D(x1≠x2),則(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在D上單調(diào)遞增;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同;若k0)在公共定義域內(nèi)與y=-f(x),y= 的單調(diào)性相反.
1.下列結(jié)論正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)函數(shù)y= 在(-∞,0)∪(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù). (　　)(2)函數(shù)f(x)=lg5(2x+1)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞). (　　)(3)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)為增函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的遞增區(qū)間為[0,+∞). (　　)
2.已知函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,且為奇函數(shù),若f(1)=-1,則滿足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范圍是(　　)A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]
4.(教材例題改編P31例4)已知 ,x∈[2,6],則f(x)的最大值為　　　　?,最小值為　　　　.?
5.函數(shù) 的最大值為　　　　　.?
思考判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法有哪些?
解題心得1.判斷函數(shù)單調(diào)性的四種方法:(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性,如已知f(x),g(x)為增函數(shù),則-f(x)為減函數(shù),f(x)+g(x)為增函數(shù).(2)定義法:一般步驟為設(shè)元→作差→變形→判斷符號(hào)→得出結(jié)論.其關(guān)鍵是作差變形,為了便于判斷差的符號(hào),通常將差變成因式連乘(除)或平方和的形式,再結(jié)合變量的范圍、假定的兩個(gè)自變量的大小關(guān)系及不等式的性質(zhì)作出判斷.(3)圖象法:若f(x)是以圖象形式給出的,或f(x)的圖象易作出,則可由圖象的上升或下降確定它的單調(diào)性.(4)導(dǎo)數(shù)法:利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性.2.證明函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法:(1)定義法,基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷.(2)可導(dǎo)函數(shù)可以利用導(dǎo)數(shù)證明.
3.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法:復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的單調(diào)性,應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)y=f(t)和內(nèi)層函數(shù)t=g(x)的單調(diào)性判斷,遵循“同增異減”的原則.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),則f(x)是(　　)A.奇函數(shù),且在區(qū)間(0,1)內(nèi)是增函數(shù)B.奇函數(shù),且在區(qū)間(0,1)內(nèi)是減函數(shù)C.偶函數(shù),且在區(qū)間(0,1)內(nèi)是增函數(shù)D.偶函數(shù),且在區(qū)間(0,1)內(nèi)是減函數(shù)
例2求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)y=-x2+2|x|+1;思考求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有哪些方法?
解題心得求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與確定單調(diào)性的方法一致,常用以下方法:(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性,即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù),求單調(diào)區(qū)間.(2)定義法:先求定義域,再利用單調(diào)性定義，求單調(diào)區(qū)間.(3)圖象法:如果f(x)是以圖象形式給出的,或者f(x)的圖象易作出,那么可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間.(4)導(dǎo)數(shù)法:利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(2)函數(shù)f(x)=(3-x2)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-3,1)D.(-∞,-3)和(1,+∞)
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)下列函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù)的是(　　)
考向一　利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域或最值思考函數(shù)最值的幾何意義是什么?如何利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域或最值?
考向二　利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小
思考如何利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小?
考向三　利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式例5設(shè)f(x)是定義在R上的增函數(shù),若f(1-ax-x2)≤f(2-a)對(duì)任意a∈ [-1,1]恒成立,則x的取值范圍為　　　　　　　　　　　　　　.?思考如何解與函數(shù)有關(guān)的不等式?
考向四　利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值(或范圍)例6(1)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿足f(2|a-1|)>f(- ),則a的取值范圍是　　　　　　　.?(2)已知函數(shù)f(x)=x2-2ax-3在區(qū)間[1,2]上具有單調(diào)性,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　　　　　　　　　　.?思考如何利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值(或范圍)?
(-∞,1]∪[2,+∞)
(2)函數(shù)f(x)=x2-2ax-3的圖象開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為直線x=a,畫出草圖,如圖所示.由圖象可知,函數(shù)在區(qū)間(-∞,a]和[a,+∞)上都具有單調(diào)性,因此要使函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上具有單調(diào)性,只需a≤1或a≥2,從而a∈(-∞,1]∪[2,+∞).
解題心得1.函數(shù)最值的幾何意義:函數(shù)的最大值對(duì)應(yīng)圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo),函數(shù)的最小值對(duì)應(yīng)圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).利用單調(diào)性求解最值問(wèn)題,應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性求解.2.比較函數(shù)值的大小,應(yīng)先將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),再利用函數(shù)的單調(diào)性解決.3.求解含“f”的不等式,應(yīng)先將不等式轉(zhuǎn)化為f(M)0,且a≠1,p=lga(a3+1),q=lga(a2+1),則p,q的大小關(guān)系是(　　)A.p=qB.pqD.當(dāng)a>1時(shí),p>q;當(dāng)0q.
(2)∵當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2,當(dāng)x0,

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6.1 函數(shù)的單調(diào)性

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