專題10選擇性必修三綜合測試（三）-2020-2021學年高二數學下學期期中專項復習（人教A版選擇性必修第三冊）-試卷下載-教習網

?專題10選擇性必修三綜合測試（三）

一、單選題
1．（2020·全國高三月考（文））某中學舉行“感恩、責任、信仰、奮斗”的十八歲成人禮儀式，其中有一項學生發(fā)言，準備從3名男生、2名女生中隨機選2人發(fā)言，則既有男生發(fā)言又有女生發(fā)言的概率為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
某中學舉行“感恩、責任、信仰、奮斗”的十八歲成人禮儀式，
其中有一項學生發(fā)言，準備從名男生、名女生中隨機選人發(fā)言，
基本事件總數，
既有男生發(fā)言又有女生發(fā)言包含的基本事件個數，
∴ 既有男生發(fā)言又有女生發(fā)言的概率．
故選：C
2．（2021·遼寧高一期末）某商場開通三種平臺銷售商品，五一期間這三種平臺的數據如圖1所示．該商場為了解消費者對各平臺銷售方式的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取了6%的顧客進行滿意度調查，得到的數據如圖2所示．下列說法正確的是（）

A．總體中對平臺一滿意的消費人數約為36
B．樣本中對平臺二滿意的消費人數為300
C．若樣本中對平臺三滿意的消費人數為120，則
D．樣本中對平臺一和平臺二滿意的消費總人數為54
【答案】D
【詳解】
樣本中對平臺一滿意的人數為，故A錯誤；
總體中對平臺二滿意的人數約為，故B錯誤；
對平臺三的滿意率為，所以，故C錯誤；
樣本中對平臺一和平臺二滿意的總人數為，故D正確．
故選：D
3．（2020·天津市南開中學濱海生態(tài)城學校高二期中）已知X的分布列為
X
﹣1
0
1
P

且Y＝aX+3，E（Y），則a為（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】
先求出（﹣1）01．
再由Y＝aX+3得．
∴a（）+3，解得a＝2．
故選：B．
4．（2019·黃梅國際育才高級中學高二月考）下面是2015年至2018年我國人口出生率、人口死亡率和人口自然增長率的柱狀圖：

注：人口出生率=×100%人口死亡率=×100%
人口自然增長率=人口出生率-人口死亡率
下面說法正確的是（）
A．2016年我國二孩政策的全面實施后，人口出生率不斷提升
B．2015年以來，隨著醫(yī)療水平不斷提升，我國人口死亡率顯著下降
C．2016年以來，我國人口增速逐漸放緩
D．2018年人口較2017年減少
【答案】C
【詳解】
解：對于，2016年以來，人口出生率并不是不斷提升的，錯誤；
對于，2015年以來，我國人口死亡率并沒有顯著下降，錯誤；
對于，由圖形知，2016年以來，我國人口增速逐漸放緩，正確；
對于，由圖形不能得出2018年人口較2017年減少，錯誤．
故選：．
5．（2020·福建高二期末）紅外線自動測溫門能有效避免測溫者與被測溫者的近距離接觸，降低潛在的病毒感染風險.為防控新冠肺炎，某廠生產的紅外線自動測溫門，其測量體溫誤差服從正態(tài)分布，從已經生產出的測溫門中隨機取出一件，則其測量體溫誤差在區(qū)間內的概率為（）
（附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
由題意可知
則，
即
故選：C
6．（2020·四川高二期末（理））的展開式中，二項式系數最大的項的系數是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
二項式系數分別為，其中最大，
所以第三項的系數是.
故選:A
7．（2021·全國高三專題練習）陜西省西安市周至縣的旅游景點樓觀臺，景區(qū)內有一處景點建筑，是按古典著作《連山易》中記載的金、木、水、火、土之間相生相克的關系，如圖所示，現從五種不同屬性的物質中任取兩種，則取出的兩種物質恰好是相生關系的概率為（）

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
由金、木、水、火、土之間相生相克的關系可以看出，
現從五種不同屬性的物質中任取兩種，
基本事件總數，
取出的兩種物質恰好是相生關系包含的基本事件個數，
則取出的兩種物質恰好是相生關系的概率為.
故選：.
8．（2021·全國高三專題練習）在某場新冠肺炎疫情視頻會議中，甲?乙?丙?丁?戊五位疫情防控專家輪流發(fā)言，其中甲必須排在前兩位，丙?丁必須排在一起，則這五位專家的不同發(fā)言順序共有（）
A．8種 B．12種 C．20種 D．24種
【答案】C
【詳解】
當甲排在第一位時，共有種發(fā)言順序，
當甲排在第二位時，共有種發(fā)言順序，
所以一共有種不同的發(fā)言順序.
故選：C.
二、多選題
9．（2021·全國高三專題練習）如圖，在某城市中，、兩地之間有整齊的方格形道路網，其中、、、是道路網中位于一條對角線上的個交匯處.今在道路網、處的甲、乙兩人分別要到、處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達、處為止.則下列說法正確的是（）

A．甲從到達處的方法有種
B．甲從必須經過到達處的方法有種
C．甲、乙兩人在處相遇的概率為
D．甲、乙兩人相遇的概率為
【答案】BCD
【詳解】
A選項，甲從到達處，需要走步，其中有步向上走，步向右走，
則甲從到達處的方法有種，A選項錯誤；
B選項，甲經過到達處，可分為兩步：
第一步，甲從經過需要走步，其中步向右走，步向上走，方法數為種；
第二步，甲從到需要走步，其中步向上走，步向右走，方法數為種.
甲經過到達的方法數為種，B選項正確；
C選項，甲經過的方法數為種，乙經過的方法數也為種，
甲、乙兩人在處相遇的方法數為，
甲、乙兩人在處相遇的概率為，C選項正確；
D選項，甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在、、、處相遇，
若甲、乙兩人在處相遇，甲經過處，則甲的前三步必須向上走，乙經過處，則乙的前三步必須向左走，兩人在處相遇的走法種數為種；
若甲、乙兩人在處相遇，由C選項可知，走法種數為種；
若甲、乙兩人在處相遇，甲到處，前三步有步向右走，后三步只有步向右走，
乙到處，前三步有步向下走，后三步只有步向下走，
所以，兩人在處相遇的走法種數為種；
若甲、乙兩人在處相遇，甲經過處，則甲的前三步必須向右走，乙經過處，則乙的前三步必須向下走，兩人在處相遇的走法種數為種；
故甲、乙兩人相遇的概率，D選項正確.
故選：BCD.
10．（2021·全國高二課時練習）5人并排站成一行，如果甲、乙兩個人不相鄰，那么不同的排法種數可以是（）
A． B．60
C．72 D．
【答案】AC
【詳解】
先除去甲、乙兩人，將剩下的3人全排，共=3×2×1=6種不同的排法，
再將甲、乙兩人從產生的4個空中選2個插入共=12種不同的排法，
所以5人并排站成一行，如果甲、乙兩個人不相鄰，那么不同的排法種數是=6×12=72，故選：AC．
11．（2021·福建高二期末）某次數學考試的一道多項選擇題，要求是：“在每小題給出的四個選項中，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．”已知某選擇題的正確答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同學都不會做，下列表述正確的是（）
A．甲同學僅隨機選一個選項，能得3分的概率是
B．乙同學僅隨機選兩個選項，能得5分的概率是
C．丙同學隨機選擇選項，能得分的概率是
D．丁同學隨機至少選擇兩個選項，能得分的概率是
【答案】ABC
【詳解】
甲同學僅隨機選一個選項，共有4個基本事件，分別為，
隨機事件“若能得3分”中有基本事件，故“能得3分”的概率為，故A正確.
乙同學僅隨機選兩個選項，共有6個基本事件，
分別為：，
隨機事件“能得5分”中有基本事件，故“能得5分”的概率為，故B正確.
丙同學隨機選擇選項（丙至少選擇一項），
由A、B中的分析可知共有基本事件種，分別為：
選擇一項：；
選擇兩項：；
選擇三項或全選：，，
隨機事件“能得分”中有基本事件，
故“能得分”的概率為，故C正確.
丁同學隨機至少選擇兩個選項，有C的分析可知：共有基本事件11個，
隨機事件“能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率為，
故D錯.
故選：ABC.
12．（2021·山東煙臺市·高三一模）骰子通常作為桌上游戲的小道具.最常見的骰子是六面骰，它是一個質地均勻的正方體，六個面上分別寫有數字.現有一款闖關游戲，共有關，規(guī)則如下：在第關要拋擲六面骰次，每次觀察向上面的點數并做記錄，如果這次拋擲所出現的點數之和大于，則算闖過第關，假定每次闖關互不影響，則（）
A．直接挑戰(zhàn)第關并過關的概率為
B．連續(xù)挑戰(zhàn)前兩關并過關的概率為
C．若直接挑戰(zhàn)第關，設“三個點數之和等于”，“至少出現一個點”，則
D．若直接挑戰(zhàn)第關，則過關的概率是
【答案】ACD
【詳解】
對于A項，，所以兩次點數之和應大于，
即直接挑戰(zhàn)第關并過關的概率為，
故A正確；
對于B項，，所以挑戰(zhàn)第一關通過的概率，
則連續(xù)挑戰(zhàn)前兩關并過關的概率為，故B錯誤；
對于C項，由題意可知，拋擲3次的基本事件有，
拋擲3次至少出現一個點的共有種，
故,而事件AB包括：含5,5,5的1種，
含4,5,6的有6種，共7種，故,
所以,故C正確；
對于D項，當n=4時，，基本事件有個，
而“4次點數之和大于20”包含以下35種情況：
含5,5,5,6的有4種，含5,5,6,6的有6種，
含6,6,6,6的有1種，含4,6,6,6的有4種，
含5,6,6,6的有4種，含4,5,6,6的有12種，
含3,6,6,6的有4種，所以，
故D正確.
故選：ACD.
三、填空題
13．（2020·全國高三專題練習）若n是正整數，則除以9的余數是____________.
【答案】0或7
【詳解】
根據二項式定理可知，，
又
所以當n為偶數時，除以9的余數為0；當n為奇數時，除以9的余數為7.
故答案為：0或7
14．（2020·全國高三專題練習）用、、、、、、、組成沒有重復數字的八位數，要求與相鄰，與相鄰，而與不相鄰，則這樣的八位數共有_______個．
【答案】
【詳解】
與相鄰，則捆綁成一個元素，注意內部排列有種可能，
與相鄰，則捆綁成一個元素，注意內部排列有種可能，
與不相鄰，則用、、、當隔板，有五個空，
注意隔板的排列，共有種可能，
利用分步乘法原理，共有
．
故答案為：1920.
15．（2020·云南昆明一中高三（理））某班6名同學去A，B，C，D四個城市參加社會調查，要求將這6名同學分成四組，每組去一個城市，其中兩組各有兩名同學，另外兩組各有1名同學，則不同的分配方案的種數是__________．（用數字填寫答案）
【答案】1080
【詳解】
根據題意，這6人分成四組共有種不同的分組方案，
所以總共有種分配方案．
故答案為：1080．
12．（2021·浙江高三期末）袋子里裝有編號分別為“2，3，3，4，4，5”的6個大小、質量相同的小球，小明從袋子中一次任取2個球，若每個球被取到的機會均等，記取出的2個小球編號之和為，編號之差的絕對值為，記，則______；_____.
【答案】
【詳解】
的可能取值為:，的可能取值為:
的可能取值為:5,6,7,8,9,10,11,12.
的組合為或，即取的兩個球編號為：2和3，或3和3.
,
的組合為，取不到符合條件的兩個球，不成立；
的組合為或，或，取不到符合條件的兩個球，不成立；
的組合為或，或，或即取的兩個球編號為：2和4，或3和4，或4和4，三種組合，所以；
的組合為或，或或，取不到符合條件的兩個球，不成立；
的組合為或，或即取的兩個球編號為：2和5，或3和5，或5和4，三種組合，所以.
的組合為或，取不到符合條件的兩個球，不成立；
的組合為，取不到符合條件的兩個球，不成立；
故分布列如圖所示：

6
8
10
p

.
故答案為：；.
五、解答題
17．（2021·全國高三專題練習（理））為了推進分級診療，實現“基層首診，雙向轉診，急慢分治?上下聯(lián)動”的診療模式，某地區(qū)自2016年起全面推行家庭醫(yī)生簽約服務.已知該地區(qū)居民約為2000萬.從1歲到101歲的居民年齡結構的頻率分布直方圖如圖甲所示.為了解各年齡段居民簽約家庭醫(yī)生的情況，現調查了1000名年滿18周歲以上的居民，各年齡段被訪者簽約率如圖乙所示.

（1）估計該地區(qū)年齡在71~80歲且已簽約家庭醫(yī)生的居民人數；
（2）若以圖中年齡在71~80歲居民簽約率作為此地區(qū)該年齡段每個居民簽約家庭醫(yī)生的概率，則從該地區(qū)年齡在71~80歲居民中隨機抽取三人，以已簽約家庭醫(yī)生的居民為變量X，求這三人中恰有二人已簽約家庭醫(yī)生的概率；并求變量X的數學期望和方差.
【答案】（1）萬；（2）這三人中恰有二人已簽約庭醫(yī)生的概率為，數學期望，方差.
【詳解】
（1）由題知該地區(qū)居民約為2000萬，由圖1知，該地區(qū)年齡在71~80歲的居民人數為萬.由圖2知.年齡在71~80歲的居民簽概率為0.7.所以該地區(qū)年齡在71~80歲且已簽約家庭醫(yī)生的居民人數為萬.
（2）由題知此地區(qū)年齡段在71~80的每個居民簽約家庭醫(yī)生的概率為，且每個居民之間是否簽約是獨立的，所以設“從該地區(qū)年齡在71~80歲居民中隨機抽取三人”為事件B，隨機變量為X，這三人中恰有二人已簽約庭醫(yī)生的概率為.
數學期，方差.
18．（2021·安徽高二期末（理））我國北方廣大農村地區(qū)、一些城鎮(zhèn)以及部分大中城市的周邊區(qū)域，還在大量采用分散燃煤和散燒煤取暖，既影響了居民基本生活的改善,也加重了北方地區(qū)冬季的霧霾天氣.推進北方地區(qū)冬季清潔取暖，是重大民生工程、民心工程，關系北方地區(qū)廣大群眾溫暖過冬，關系霧霾天能不能減少，是能源生產和消費革命、農村生活方式革命的重要內容.2017年9月國家發(fā)改委制定了煤改氣、煤改電價格扶植新政策，從而使得煤改氣、煤改電用戶大幅度增加，下面條形圖反映了某省2018年1～7月份煤改氣、煤改電的用戶數量.

（1）在給定坐標系中作出煤改氣、煤改電用戶數量y隨月份t變化的散點圖，并用散點圖和相關系數說明y與t之間具有線性相關性；
（2）建立y關于t的回歸方程（系數精確到0.01），預測11月份該省煤改氣、煤改電的用戶數量.
參考數據：.
參考公式：相關系數.
回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：.
【答案】（1）散點圖見解析，y與t的線性相關性相當高，理由見解析；（2），2.02萬戶.
【詳解】
（1）作出散點圖如圖所示：

由條形圖數據和參考數據得
，
，
.
因為y與t的相關系數近似為0.99，說明y與t的線性相關性相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系.
（2）由及（1）得，
，所以，y關于t的回歸方程為：.
將代入回歸方程得：，
所以預測11月份該省煤改氣、煤改電的用戶數量達到2.02萬戶.
19．（2021·山東高三專題練習）為確保我國如期全面建成小康社會，實現第一個百年奮斗目標打下了堅實的基礎．在產業(yè)扶貧政策的大力支持下，某玩具廠對原有的生產線進行技術升級，為了更好地對比升級前和升級后的效果，其中甲生產線繼續(xù)使用舊的生產模式，乙生產線采用新的生產模式．質檢部門隨機抽檢了甲、乙兩條生產線的各100件玩具，在抽取的200件玩具中，根據檢測結果將它們分為“A”、“B”、“C”三個等級，等級都是合格品，C等級是次品，統(tǒng)計結果如表所示：
等級
A
B
C
頻數
100
75
25
（表二）

合格品
次品
合計
甲
80

乙

5

合計

在相關政策扶持下，確保每件合格品都有對口銷售渠道，但從安全起見，所有的次品必須由廠家自行銷毀．
（1）請根據所提供的數據，完成上面的列聯(lián)表（表二），并判斷是否有的把握認為產品的合格率與技術升級有關？
（2）每件玩具的生產成本為20元，等級產品的出廠單價分別為m元、40元．若甲生產線抽檢的玩具中有35件為A等級，用樣本的頻率估計概率，若進行技術升級后，平均生產一件玩具比技術升級前多盈利12元，則A等級產品的出產單價為多少元？
附：，其中．

0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）列聯(lián)表見解析；有的把握認為產品的合格率與技術升級有關；（2）60元.
【詳解】
解：（1）根據所提供的數據，可得列聯(lián)表：

合格品
次品
合計
甲
80
20
100
乙
95
5
100
合計
175
25
200
設產品的合格率與技術升級無關．
由，
可得．
，故有的把握認為產品的合格率與技術升級有關．
（2）法一：甲生產線抽檢的產品中有35件等級，45件等級，20件等級，
對于甲生產線，單件產品利潤的取值可能為，
的分布列如下：

20

則，
乙生產線抽檢的產品中有65件等級，30件等級，5件等級；
對于乙生產線，單位產品利潤的取值可能為，
的分布列如下：

20

則，
依題意．，
，所以，等級產品的出產單價為60元．
法二：甲生產線抽檢的產品中有35件等級，45件等級，20件等級，
乙生產線抽檢的產品中有65件等級，30件等級，5件等級；
因為用樣本的頻率估計概率
所以對于甲生產線，單件產品的利潤
對于乙生產線，單件產品的利潤
依題意．，
，所以，等級產品的出產單價為60元．
20．（2020·江蘇高二期中）已知函數，其中．
（1）若，求的值；
（2）若，求的最大值；
（3）若，求證：．
【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.
【詳解】
（1），時，
，
令，得，
令，得，
兩式相加可得．
（2），，
不妨設為中的最大值，則
，，解得：，或6，
中最大值為．
（3）若，，
，
因為
所以．

．
21．（2021·甘肅高三（理））2020年1月15日教育部制定出臺了《關于在部分高校開展基礎學科招生改革試點工作的意見》（也稱“強基計劃”），《意見》宣布：2020年起不再組織開展高校自主招生工作，改為實行強基計劃.強基計劃上要選拔培養(yǎng)有志于服務國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質優(yōu)秀或基礎學科拔尖的學生.據悉強基計劃的?？加稍圏c高校自主命題，?？歼^程中通過筆試后才能進入面試環(huán)節(jié).已知甲、乙兩所大學的筆試環(huán)節(jié)都設有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立.若某考生報考甲大學，每門科目通過的概率均為，該考生報考乙大學，每門科目通過的概率依次為，其中.
（1）若，分別求出該考生報考甲、乙兩所大學在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；
（2）強基計劃規(guī)定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中通過科目數的數學期望為依據作出決策，當該考生更希望通過乙大學的筆試時，求的范圍.
【答案】（1），；（2）.
【詳解】
（1）設該考生報考甲大學恰好通過一門筆試科目為事件，則，
該考生報考乙大學恰好通過一門筆試科目為事件，則；
（2）設該考生報考甲大學通過的科目數為，根據題意可知，，則，
報將乙大學通過的科目數為，隨機變量滿足概率為：
，
，
，
，
隨機變量的分布列：

，
因為該考生更希望通過乙大學的筆試，，則，
所以的范圍為：.
22．（2021·全國高三專題練習（理））甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結束．除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是．假設各局比賽結果相互獨立．
（1）分別求甲隊以3∶0，3∶1，3∶2勝利的概率．
（2）若比賽結果為3∶0或3∶1，則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結果為3∶2，則勝利方得2分，對方得1分．求乙隊得分X的分布列．
【答案】（1）；（2）答案見解析．
【詳解】
（1）設“甲隊以3∶0，3∶1，3∶2勝利”分別為事件A，B，C，
則P(A)＝，
P(B)＝，
P(C)＝.
（2）X的可能的取值為0，1，2，3．
則P(X＝0)＝P(A)＋P(B)＝，
P(X＝1)＝P(C)＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝.
所以X的分布列為
X
0
1
2
3
P

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