一、單選題
1．（2021·浙江高一期末）要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（ ）
A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移
【答案】C
【分析】
根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律可得答案.
【詳解】
將的圖象向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位，可得函數(shù)的圖象.
故選：C
2．（2021·浙江高三其他模擬）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
確定函數(shù)的奇偶性，特殊的函數(shù)值及函數(shù)值的正負(fù)排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，得正確結(jié)論．
【詳解】
由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋱D象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)是奇函數(shù)，而選項(xiàng)A中的函數(shù)是偶函數(shù)，故排除選項(xiàng)A；又，故可排除選項(xiàng)B；又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故排除選項(xiàng)C．
故選：D．
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：
(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．
(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；
(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性；
(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.
3．（2021·浙江高一期末）已知是的邊上的中線，若，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用平面向量的線性運(yùn)算可求得結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)槭堑倪吷系闹芯€，所以為的中點(diǎn)，
所以
.
故選：B
4．（2021·江西高三其他模擬（文））已知兩個(gè)單位向量的夾角為，則下列向量是單位向量的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律可分別求得各選項(xiàng)中向量的模長(zhǎng)，由此可確定結(jié)果.
【詳解】
對(duì)于A，，A正確；
對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.
故選：A.
5．（2021·湖北武漢市·漢陽(yáng)一中高一開(kāi)學(xué)考試）已知，則的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
首先確定的正負(fù)，再計(jì)算的值.
【詳解】
，，，
，
，
即.
故選：A
6．（2021·四川高一開(kāi)學(xué)考試）已知，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
將分式化為整式后可得的值.
【詳解】
因?yàn)椋始矗?br>若，則，與平方和為1矛盾，
故即，
故選：D.
7．（2021·甘肅省永昌縣第一高級(jí)中學(xué)高一期末）設(shè)，，若函數(shù)恰好有三個(gè)不同的零點(diǎn)，分別為、、，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，先求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，結(jié)合函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．
【詳解】
由，得對(duì)稱(chēng)軸，
，由，解得，
當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸，時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸.
由得，
若函數(shù)恰好有三個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
作出函數(shù)的圖象如圖，得，則，
由圖象可知，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則，
點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則，
因此，.
故選：C．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正弦型函數(shù)的零點(diǎn)之和問(wèn)題的求解，解題的關(guān)鍵就是分析出正弦型函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性求解.
8．（2020·寧夏吳忠中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知向量是單位向量，＝(3，4)，且在方向上的投影為，則
A．36B．21C．9D．6
【答案】D
【分析】
根據(jù)公式把模轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，展開(kāi)后再根據(jù)和已知條件計(jì)算.
【詳解】
因?yàn)樵诜较蛏系耐队盀椋?br>所以，
.
故選D.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查向量模有關(guān)的計(jì)算，常用公式有，.
9．（2020·四川攀枝花市·高三月考（文））關(guān)于函數(shù)的下述四個(gè)結(jié)論中，正確的是（ ）
A．是奇函數(shù)
B．的最大值為
C．在有個(gè)零點(diǎn)
D．在區(qū)間單調(diào)遞增
【答案】D
【分析】
分析函數(shù)的奇偶性、最值、零點(diǎn)、單調(diào)性，對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.
【詳解】
，
所以是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，故A不正確.
，且當(dāng)時(shí)取得等號(hào)；
，且當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，
所以但等號(hào)無(wú)法取得，
即的最大值小于，故B不正確.
由是偶函數(shù)且，
可得在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)必為偶數(shù)，故C不正確.
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故D正確.
故選D.
【點(diǎn)睛】
本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，涉及奇偶性、最值、零點(diǎn)、單調(diào)性的.解選擇題要善于利用排除法，如選項(xiàng)B,可不必求出具體的最大值，只需判斷最大值是不是即可.
10．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知向量，，若，則（ ）
A．1B．－1C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)向量，，由得到 ，然后再由.求解.
【詳解】
因?yàn)橄蛄浚?br>所以，
即，所以
所以.
故選：A
【點(diǎn)睛】
本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.
二、多選題
11．（2020·山東德州市·高一期末）下列函數(shù)中，周期為，且在上為增函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】
求出周期和單調(diào)遞增區(qū)間可判斷A；求出周期為可判斷B；求出周期和單調(diào)遞增區(qū)間，可判斷C；求出周期和單調(diào)遞增區(qū)間，可判斷D.
【詳解】
對(duì)于A，函數(shù)的周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為，即，
當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在上為增函數(shù)，符合題意，正確；
對(duì)于B，函數(shù)的周期為，不合題意，故錯(cuò)誤；
對(duì)于C，函數(shù)的周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為，即，
時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在上不是增函數(shù)，不合題意，錯(cuò)誤；
對(duì)于D，函數(shù)的周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為，即，
時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在上是增函數(shù)，符合題意.
故選：AD.
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性，解題關(guān)鍵點(diǎn)是熟練掌握三角函數(shù)的基本性質(zhì)、基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.
12．（2020·山東高三專(zhuān)題練習(xí)）下列關(guān)于平面向量的說(shuō)法中不正確的是（ ）
A．已知，均為非零向量，則存在唯-的實(shí)數(shù)，使得
B．若向量，共線，則點(diǎn)，，，必在同一直線上
C．若且，則
D．若點(diǎn)為的重心，則
【答案】BC
【分析】
利用向量共線的概念即可判斷A正確，B錯(cuò)誤；利用向量垂直的數(shù)量積關(guān)系即可判斷C錯(cuò)誤，利用三角形重心的結(jié)論即可判斷D正確，問(wèn)題得解.
【詳解】
對(duì)于選項(xiàng)A，由平面向量平行的推論可得其正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，向量，共線，只需兩向量方向相同或相反即可，點(diǎn)，，，不必在同一直線上，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，，則，不一定推出，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，由平面向量中三角形重心的推論可得其正確.
故選BC
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了平面向量共線（平行）的定義，考查了平行向量垂直的數(shù)量積關(guān)系，還考查了平面向量中三角形重心的推論，屬于中檔題．
三、填空題
13．（2020·湖南長(zhǎng)沙市·寧鄉(xiāng)一中高一月考）已知平面向量，滿足，若，則向量的夾角為_(kāi)_____.
【答案】
【分析】
由得到，然后根據(jù)數(shù)量積可得夾角的余弦值，進(jìn)而得到所求夾角的大小．
【詳解】
∵，，
∴，∴．
設(shè)向量的夾角為，則，
又，∴．
故答案為．
【點(diǎn)睛】
本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算及應(yīng)用，解題時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是忽視向量夾角的范圍，屬于容易題．
14．（2017·四川樂(lè)山市·高三一模（文））在三角形中，點(diǎn)滿足，，若，則__________．
【答案】
【解析】
依題意有，所以，所以.
15．（2020·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，，則，，的大小關(guān)系為_(kāi)_____.
【答案】
【分析】
同角三角函數(shù)關(guān)系知，又由的區(qū)間單調(diào)性知，根據(jù)的區(qū)間單調(diào)性知，即可知，，的大小關(guān)系
【詳解】
，而
∴
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查了比較三角函數(shù)值的大小，根據(jù)正弦函數(shù)、正切函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性及正弦函數(shù)的值域范圍，比較函數(shù)值的大小
16．（2019·云南省云天化中學(xué)高一期中）已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)當(dāng)時(shí)，滿足，則的取值范圍是_________________.
【答案】.
【分析】
畫(huà)出分段函數(shù)的圖象，作出直線，結(jié)合函數(shù)的圖象可得實(shí)數(shù)的取值范圍，再運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，可得和，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】
由題意，函數(shù)，
畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖所示，
令，則，
由圖象可知，設(shè)和函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，
可得
其中，則，解得，
且，則
所以
，其中，
設(shè)，則函數(shù)，函數(shù)單調(diào)遞增，
則，
所以的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，其中解答中正確作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，再利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合法，以及推理與運(yùn)算能力，試題有一定的綜合性，屬于中檔試題.
四、解答題
17．（2018·湖南長(zhǎng)沙市·高一期末）已知第二象限角的終邊與以原點(diǎn)為圓心的單位圓交于點(diǎn).
（1）寫(xiě)出三角函數(shù)的值；
（2）若，求的值.
【答案】(1) , ,;(2).
【詳解】
試題分析：（1）由三角函數(shù)定義，．（2）由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再由（1）中，代入三角函數(shù)值．
試題解析：（1）由三角函數(shù)的定義得，，
（2）
18．（2019·江西九江市·高一其他模擬）設(shè)函數(shù)，圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是
（1）求，；
（2）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（3）將函數(shù)的圖象向下平移1個(gè)長(zhǎng)度單位，再向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位，得到函數(shù)的圖象，試求函數(shù)的解析式，并用五點(diǎn)法作出其在區(qū)間上的圖象.
【答案】（1），；（2），；（3），圖象見(jiàn)解析；
【分析】
（1）利用三角函數(shù)的性質(zhì)求，即可；（2）根據(jù)（1）所得函數(shù)，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求的單調(diào)減區(qū)間；（3）由函數(shù)平移得到新三角函數(shù)的解析式，應(yīng)用五點(diǎn)作圖法作函數(shù)圖象；
【詳解】
（1）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是，知：且，
∴，，而，即；
（2）由（1）知：，
對(duì)于，在內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
∴對(duì)于，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，故單調(diào)遞減區(qū)間為，；
（3）將函數(shù)的圖象向下平移1個(gè)長(zhǎng)度單位，再向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位，知：
，
圖象如下：
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)中心求參數(shù)，由余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并應(yīng)用函數(shù)平移確定新函數(shù)解析式且利用五點(diǎn)作圖法畫(huà)圖象，屬于簡(jiǎn)單題.
19．（2020·上海高三專(zhuān)題練習(xí)）已知向量的夾角為，且，設(shè)，
（1）若，求實(shí)數(shù)的值
（2）當(dāng)時(shí)，求與的夾角
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.
【答案】（1） ； （2） ；（3）存在，理由見(jiàn)解析
【分析】
(1)由得,分別代入計(jì)算即可.
(2)根據(jù)向量的夾角公式代入計(jì)算出余弦值再求角即可.
(3) 由則成立,代入進(jìn)行求解即可.
【詳解】
(1)因?yàn)楣?所以,
故
(2)當(dāng)時(shí), ,故,此時(shí)
故夾角為
(3)由則成立,所以.
因?yàn)椴还簿€,故 ,即存在使
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了向量的基本運(yùn)算,包括平行與垂直的應(yīng)用等.同時(shí)也考查了數(shù)量積以及向量夾角的算法,屬于中等題型.
20．（2020·江西南昌市·南昌十中高一月考）已知兩個(gè)非零向量，=，=，=．
（1）若2=，求k的值；
（2）若A、B、C三點(diǎn)共線，求k的值．
【答案】（1）-1（2）-1
【分析】
（1）根據(jù)即可得出，，由即可得出1+k＝0，從而求出k的值；
（2）根據(jù)A，B，C三點(diǎn)共線即可得出，從而可得出，根據(jù)平面向量基本定理即可得出，解出k即可．
【詳解】
解：（1）；
∴=；
∵；∴k+1=0；∴k=-1；
（2）∵A，B，C三點(diǎn)共線；
∴；∴；
∴；
∵不共線；∴由平面向量基本定理得，；
解得k=-1．
【點(diǎn)睛】
本題考查向量減法的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算，平面向量基本定理．
21．（2019·東北育才學(xué)校高一期中）如圖，已知函數(shù)，點(diǎn)分別是的圖象與軸、軸的交點(diǎn)，分別是的圖象上橫坐標(biāo)為、的兩點(diǎn)，且軸，．
（1）求，的值；
（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有唯一實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1），；（2）或
【分析】
（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可求解出最值點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而可得最小正周期，從而求得；代入最值點(diǎn)求得；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與在區(qū)間恰有唯一交點(diǎn)；將通過(guò)整理?yè)Q元到，；根據(jù)函數(shù)圖象求得結(jié)果.
【詳解】
（1）如上圖所示，由對(duì)稱(chēng)性可知： 點(diǎn)橫坐標(biāo)為，即
則

又
，又
（2）由（1）得：
則在區(qū)間恰有唯一實(shí)根
即與在區(qū)間恰有唯一交點(diǎn)
又
設(shè)，，則，圖象如下圖所示：
若與僅有一個(gè)交點(diǎn)，則或
【點(diǎn)睛】
本題考查已知三角函數(shù)圖象求解解析式、根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)求解參數(shù)取值范圍的問(wèn)題，關(guān)鍵是能將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式，結(jié)合函數(shù)的圖象求解出參數(shù)的范圍.
22．（2021·江蘇高一單元測(cè)試）平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（1，0），B（0，1），C（2，5），D是AC上的動(dòng)點(diǎn)，滿足．
（1）求的值；
（2）求cs∠BAC；
（3）若，求實(shí)數(shù)λ的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
試題分析：（1）由題意，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算法則，結(jié)合向量模的坐標(biāo)運(yùn)算，從而問(wèn)題可得解決；（2）根據(jù)向量數(shù)量積的定義，以及數(shù)量積、模的坐標(biāo)表示，進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算，從而問(wèn)題可得解；（3）根據(jù)共線坐標(biāo)的坐標(biāo)表示及運(yùn)算，結(jié)合垂直向量的坐標(biāo)運(yùn)算，從而問(wèn)題可得解.
試題解析：（1）因?yàn)椋?，所?br>（2）因?yàn)?br>所以
（3）)
因?yàn)?，所?br>即（λ+1）×1+（5λ﹣1）×（﹣1）=0，解得
點(diǎn)睛：此題主要考平面向量的坐標(biāo)表示，以及平面向量的模、共線、垂直、數(shù)量積、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算等有關(guān)方面的知識(shí)與技能，屬于中檔題型.通過(guò)坐標(biāo)表示平面向量數(shù)量積有有關(guān)運(yùn)算，揭示幾何圖形與代數(shù)運(yùn)算之間的內(nèi)聯(lián)系，明確數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形有機(jī)結(jié)合的學(xué)科.
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必刷卷03-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中仿真必刷模擬卷（北師大版2019）

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期中測(cè)試03-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)（北師大版2019必修第二冊(cè)）

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