(1)以萬有引力定律為基礎(chǔ)的行星、衛(wèi)星勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型及其應(yīng)用；(2)雙星模型、估算天體的質(zhì)量和密度等；(3)以開普勒三定律為基礎(chǔ)的橢圓運(yùn)行軌道及衛(wèi)星的發(fā)射與變軌、能量等相關(guān)內(nèi)容；(4)萬有引力定律與地理、數(shù)學(xué)、航天等知識(shí)的綜合應(yīng)用。
例1．(2020?山東卷?7)我國將在今年擇機(jī)執(zhí)行“天問1號(hào)”火星探測任務(wù)。質(zhì)量為m的著陸器在著陸火星前，會(huì)在火星表面附近經(jīng)歷一個(gè)時(shí)長為t0、速度由v0減速到零的過程。已知火星的質(zhì)量約為地球的0.1倍，半徑約為地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小為g，忽略火星大氣阻力。若該減速過程可視為一個(gè)豎直向下的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，此過程中著陸器受到的制動(dòng)力大小約為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】忽略星球的自轉(zhuǎn)，根據(jù)萬有引力等于重力Geq \f(Mm,r2)＝mg，可得g火＝0.4g地＝0.4g，著陸器做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可知0＝v0－at0，根據(jù)牛頓第二定律得f－mg＝ma，聯(lián)立解得著陸器受到的制動(dòng)力大小， B正確。
【點(diǎn)睛】本題考查萬有引力定律與牛頓第二定律的綜合問題，關(guān)鍵是知道天體表面重力等于萬有引力，同時(shí)分析好運(yùn)到情況和受力情況。
例2．(2020?全國I卷?15)火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq \f(1,10)，半徑約為地球半徑的eq \f(1,2)，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為( )
A. 0.2 B. 0.4 C. 2.0 D. 2.5
【答案】B
【解析】根據(jù)F＝Geq \f(Mm,R2)得，故選B。
【點(diǎn)睛】本題考查萬有引力公式的應(yīng)用，比較簡單。
1．2019年5月17日，我國成功發(fā)射第45顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星，該衛(wèi)星屬于地球靜止軌道衛(wèi)星(同步衛(wèi)星)。該衛(wèi)星( )
A．入軌后可以位于北京正上方
B．入軌后的速度大于第一宇宙速度
C．發(fā)射速度大于第二宇宙速度
D．若發(fā)射到近地圓軌道所需能量較少
【答案】D
【解析】同步衛(wèi)星只能位于赤道正上方，A項(xiàng)錯(cuò)誤；由eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)知，衛(wèi)星的軌道半徑越大，衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度越小，因此入軌后的速度小于第一宇宙速度(近地衛(wèi)星的速度)，B項(xiàng)錯(cuò)誤；同步衛(wèi)星的發(fā)射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C項(xiàng)錯(cuò)誤；若發(fā)射到近地圓軌道，所需發(fā)射速度較小，所需能量較小，D項(xiàng)正確。
2．(多選)2020年6月23日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射北斗系統(tǒng)第55顆導(dǎo)航衛(wèi)星，至此北斗全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)星座部署全面完成。北斗導(dǎo)航系統(tǒng)第41顆衛(wèi)星為地球同步軌道衛(wèi)星，第49顆衛(wèi)星為傾斜地球同步軌道衛(wèi)星，它們的軌道半徑約為4.2×107 m，運(yùn)行周期都等于地球的自轉(zhuǎn)周期24 h。傾斜地球同步軌道平面與地球赤道平面成一定夾角，如圖所示。已知引力常量G＝6.67×10－11 N?m2/kg2，則下列說法正確的是( )
A．根據(jù)題目數(shù)據(jù)可估算出地球的質(zhì)量
B．同步軌道衛(wèi)星可能經(jīng)過北京上空
C．傾斜地球同步軌道衛(wèi)星一天2次經(jīng)過赤道正上方同一位置
D．傾斜地球同步軌道衛(wèi)星的運(yùn)行速度大于第一宇宙速度
【答案】AC
【解析】根據(jù)Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，可得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，可估算出地球的質(zhì)量。A正確；由于地球同步衛(wèi)星相對地面靜止，因此一定自西向東運(yùn)動(dòng)，且軌道的圓心一定在地心上，故同步衛(wèi)星一定在地球赤道的正上方，不可能運(yùn)動(dòng)到北京的正上方，B錯(cuò)誤；傾斜同步衛(wèi)星若某時(shí)刻經(jīng)過赤道正上方某位置，經(jīng)過半個(gè)周期，恰好地球也轉(zhuǎn)了半個(gè)周期，因此又會(huì)經(jīng)過赤道上方的同一位置，C正確；由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))，由于軌道半徑越大，運(yùn)動(dòng)速度越小，第一宇宙速度是貼近地球表面運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的速度，同步衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)速度小于第一宇宙速度，D錯(cuò)誤。
3．若地球同步衛(wèi)星在赤道上空約為36000 km，地球的半徑約為6000 km，位于東經(jīng)121度赤道上空的同步衛(wèi)星把信息傳送到大興安嶺的某個(gè)接受站（處于東經(jīng)121度，北緯60度）大約用時(shí)（光速為3×108 m/s）( )
A．0.12 sB．0.14 sC．0.014 sD．0.13 s
【答案】D
【解析】設(shè)大興安嶺的該接受站到同步衛(wèi)星的距離為s，如圖所示，根據(jù)余弦定理可得，則所用時(shí)間，故選D。
4．(多選)2020年7月21日發(fā)生了土星沖日現(xiàn)象，如圖所示，土星沖日是指土星、地球和太陽幾乎排列成一線，地球位于太陽與土星之間。此時(shí)土星被太陽照亮的一面完全朝向地球，所以明亮而易于觀察。地球和土星繞太陽公轉(zhuǎn)的方向相同，軌跡都可近似為圓，地球一年繞太陽一周，土星約29.5年繞太陽一周。則（ ）
A．地球繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)的向心加速度大于土星繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)的向心加速度
B．地球繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)的運(yùn)行速度比土星繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)的運(yùn)行速度小
C．2019年沒有出現(xiàn)土星沖日現(xiàn)象
D．土星沖日現(xiàn)象下一次出現(xiàn)的時(shí)間是2021年
【答案】AD
【解析】地球的公轉(zhuǎn)周期比土星的公轉(zhuǎn)周期小，由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，可知地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑比土星的公轉(zhuǎn)軌道半徑??；又Geq \f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq \f(GM,r2)，可知行星的軌道半徑越大，加速度越小，則土星的向心加速度小于地球的向心加速度，選項(xiàng)A正確；由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))，知土星的運(yùn)行速度比地球的小，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；設(shè)T地＝1年，則T土＝29.5年，出現(xiàn)土星沖日現(xiàn)象則有(ω地－ω土)t＝2π，又ω＝eq \f(2π,T)，解得距下一次土星沖日所需時(shí)間t≈1.04年，選項(xiàng)C錯(cuò)誤、D正確。
5．我國首顆量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星于2016年8月16日1點(diǎn)40分成功發(fā)射。量子衛(wèi)星成功運(yùn)行后，我國將在世界上首次實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星和地面之間的量子通信，構(gòu)建天地一體化的量子保密通信與科學(xué)實(shí)驗(yàn)體系。假設(shè)量子衛(wèi)星軌道在赤道平面，如圖所示。已知量子衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的m倍，同步衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的n倍，圖中P點(diǎn)是地球赤道上一點(diǎn)，由此可知( )
A．同步衛(wèi)星與量子衛(wèi)星的運(yùn)行周期之比為eq \f(n3,m3)
B．同步衛(wèi)星與P點(diǎn)的速度之比為eq \r(\f(1,n))
C．量子衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的速度之比為eq \f(n,m)
D．量子衛(wèi)星與P點(diǎn)的速度之比為eq \r(\f(n3,m))
【答案】D
【解析】由開普勒第三定律得eq \f(r量3,T量2)＝eq \f(r同3,T同2)，又由題意知r量＝mR，r同＝nR，所以eq \f(T同,T量)＝eq \r(\f(r同3,r量3))＝eq \r(\f(?nR?3,?mR?3))＝eq \r(\f(n3,m3))，故A錯(cuò)誤；P為地球赤道上一點(diǎn)，P點(diǎn)角速度等于同步衛(wèi)星的角速度，根據(jù)v＝ωr，所以有eq \f(v同,vP)＝eq \f(r同,rP)＝eq \f(nR,R)＝eq \f(n,1)，故B錯(cuò)誤；根據(jù)Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))，所以eq \f(v量,v同)＝eq \r(\f(r同,r量))＝eq \r(\f(nR,mR))＝eq \r(\f(n,m))，故C錯(cuò)誤；綜合B、C，有v同＝nvP，eq \f(v量,nvP)＝eq \r(\f(n,m))，得eq \f(v量,vP)＝eq \r(\f(n3,m))，故D正確。
6．假設(shè)宇宙中有兩顆相距無限遠(yuǎn)的行星A和B，半徑分別為RA和RB。這兩顆行星周圍衛(wèi)星的軌道半徑的三次方(r3)與運(yùn)行周期的平方(T2)的關(guān)系如圖所示，T0為衛(wèi)星環(huán)繞行星表面運(yùn)行的周期。則( )
A．行星A的質(zhì)量大于行星B的質(zhì)量
B．行星A的密度小于行星B的密度
C．行星A的第一宇宙速度小于行星B的第一宇宙速度
D．當(dāng)兩行星的衛(wèi)星軌道半徑相同時(shí)，行星A的衛(wèi)星向心加速度小于行星B的衛(wèi)星向心加速度
【答案】A
【解析】根據(jù)eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2r,T2)，可得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，r3＝eq \f(GM,4π2)T2，由圖象可知，A的斜率大，所以A的質(zhì)量大，A項(xiàng)正確；由圖象可知當(dāng)衛(wèi)星在兩行星表面運(yùn)行時(shí)，周期相同，將M＝ρV＝ρ·eq \f(4,3)πR3代入上式可知兩行星密度相同，B項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)萬有引力提供向心力， 則eq \f(GMm,R2)＝eq \f(mv2,R)，所以v＝eq \r(\f(GM,R))＝eq \r(\f(4,3)πρGR2)，行星A的半徑大，所以行星A的第一宇宙速度也大，C項(xiàng)錯(cuò)誤；兩衛(wèi)星的軌道半徑相同時(shí)，它們的向心加速度a＝eq \f(GM,r2)，由于A的質(zhì)量大于B的質(zhì)量，所以行星A的衛(wèi)星向心加速度大，D項(xiàng)錯(cuò)誤。
7．引力波的發(fā)現(xiàn)證實(shí)了愛因斯坦100年前所做的預(yù)測。1974年發(fā)現(xiàn)了脈沖雙星間的距離在減小就已間接地證明了引力波的存在。如果將該雙星系統(tǒng)簡化為理想的圓周運(yùn)動(dòng)模型，如圖所示，兩星球在相互的萬有引力作用下，繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。由于雙星間的距離減小，則( )
A．兩星的運(yùn)動(dòng)周期均逐漸減小
B．兩星的運(yùn)動(dòng)角速度均逐漸減小
C．兩星的向心加速度均逐漸減小
D．兩星的運(yùn)動(dòng)線速度均逐漸減小
【答案】A
【解析】雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)具有相同的角速度，靠相互間的萬有引力提供向心力。根據(jù)Geq \f(m1m2,L2)＝m1r1ω2＝m2r2ω2，知m1r1＝m2r2，知軌道半徑比等于質(zhì)量之反比，雙星間的距離減小，則雙星的軌道半徑都變小，根據(jù)萬有引力提供向心力，知角速度變大，周期變小，故A正確，B錯(cuò)誤；根據(jù)Geq \f(m1m2,L2)＝m1a1＝m2a2知，L變小，則兩星的向心加速度均增大，故C錯(cuò)誤；根據(jù)Geq \f(m1m2,L2)＝m1eq \f(v12,r1)，解得v1＝eq \r(\f(Gm2r1,L2))，由于L平方的減小比r1的減小量大，則線速度增大，故D錯(cuò)誤。
8．(多選)如圖所示，有甲、乙兩顆衛(wèi)星分別在不同的軌道圍繞一個(gè)半徑為R、表面重力加速度為g的行星運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星甲、衛(wèi)星乙各自所在的軌道平面相互垂直，衛(wèi)星甲的軌道為圓，距離行星表面的高度為R，衛(wèi)星乙的軌道為橢圓，M、N兩點(diǎn)的連線為其橢圓軌道的長軸且M、N兩點(diǎn)間的距離為4R。則以下說法正確的是( )
A．衛(wèi)星甲的線速度大小為eq \r(2gR)
B．衛(wèi)星乙運(yùn)行的周期為4πeq \r(\f(2R,g))
C．衛(wèi)星乙沿橢圓軌道運(yùn)行經(jīng)過M點(diǎn)時(shí)的速度大于衛(wèi)星甲沿圓軌道運(yùn)行的速度
D．衛(wèi)星乙沿橢圓軌道運(yùn)行經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)的加速度小于衛(wèi)星甲沿圓軌道運(yùn)行的加速度
【答案】BCD
【解析】衛(wèi)星甲繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力提供向心力，可計(jì)算出衛(wèi)星甲環(huán)繞中心天體運(yùn)動(dòng)的線速度大小為v＝eq \r(\f(gR,2))，A錯(cuò)誤；同理可計(jì)算出衛(wèi)星甲環(huán)繞的周期為T甲＝4πeq \r(\f(2R,g))，由衛(wèi)星乙橢圓軌道的半長軸等于衛(wèi)星甲圓軌道的半徑，根據(jù)開普勒第三定律可知，衛(wèi)星乙運(yùn)行的周期和衛(wèi)星甲運(yùn)行的周期相等，則T乙＝T甲＝4πeq \r(\f(2R,g))，B正確；衛(wèi)星乙沿橢圓軌道經(jīng)過M點(diǎn)時(shí)的速度大于沿軌道半徑為M至行星中心距離的圓軌道的衛(wèi)星的線速度，而軌道半徑為M至行星中心距離的圓軌道的衛(wèi)星的線速度大于衛(wèi)星甲在圓軌道上的線速度，C正確；衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)只受萬有引力，向心加速度a＝eq \f(GM,r2)，r越大，a越小，D正確。
9．(多選)宇航員在某星球表面以初速度2.0 m/s水平拋出一物體，并記錄下物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示，O為拋出點(diǎn)，若該星球半徑為4000 km，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2·kg－2，則下列說法正確的是( )
A．該星球表面的重力加速度為4.0 m/s2
B．該星球的質(zhì)量為2.4×1023 kg
C．該星球的第一宇宙速度為4.0 km/s
D．若發(fā)射一顆該星球的同步衛(wèi)星，則同步衛(wèi)星的繞行速度一定大于4.0 km/s
【答案】AC
【解析】根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律：h＝eq \f(1,2)gt2，x＝v0t，解得g＝4.0 m/s2，A正確；在星球表面，重力近似等于萬有引力，得M＝eq \f(gR2,G)≈9.6×1023 kg，B錯(cuò)誤；由eq \f(mv2,R)＝mg得第一宇宙速度為v＝eq \r(gR)＝4.0 km/s，C正確；第一宇宙速度為最大的環(huán)繞速度，D錯(cuò)誤。
10．開普勒第三定律指出：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等。該定律對一切具有中心天體的引力系統(tǒng)都成立。如圖，嫦娥三號(hào)探月衛(wèi)星在半徑為r的圓形軌道Ⅰ上繞月球運(yùn)行，周期為T。月球的半徑為R，引力常量為G。某時(shí)刻嫦娥三號(hào)衛(wèi)星在A點(diǎn)變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，在月球表面的B點(diǎn)著陸。A、O、B三點(diǎn)在一條直線上。求：
(1)月球的密度；
(2)在軌道Ⅱ上運(yùn)行的時(shí)間。
【解析】(1)由萬有引力充當(dāng)向心力：eq \f(GMm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r
月球的密度：ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)
聯(lián)立解得：ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)。
(2)橢圓軌道的半長軸：a＝eq \f(R＋r,2)
設(shè)橢圓軌道上運(yùn)行周期為T1，由開普勒第三定律有：eq \f(a3,T12)＝eq \f(r3,T2)
在軌道Ⅱ上運(yùn)行的時(shí)間為t＝eq \f(T1,2)
解得：。
11．由于地球的自轉(zhuǎn)，物體在地球上不同緯度處隨地球自轉(zhuǎn)所需向心力的大小不同，因此同一個(gè)物體在地球上不同緯度處重力大小也不同，在地球赤道上的物體受到的重力與其在地球兩極點(diǎn)受到的重力大小之比約為299∶300，因此我們通常忽略兩者的差異，可認(rèn)為兩者相等．而有些星球，卻不能忽略。假如某星球因?yàn)樽赞D(zhuǎn)的原因，一物體在該星球赤道上的重力與其在兩極點(diǎn)受到的重力大小之比為7∶8，已知該星球的半徑為R。(引力常量為G)
(1)求繞該星球運(yùn)動(dòng)的同步衛(wèi)星的軌道半徑r；
(2)若已知該星球赤道上的重力加速度大小為g，求該星球的密度ρ。
【解析】(1)設(shè)物體質(zhì)量為m，星球質(zhì)量為M，星球的自轉(zhuǎn)周期為T，物體在星球兩極時(shí)，萬有引力等于重力，即F萬＝Geq \f(Mm,R2)＝G極
物體在星球赤道上隨星球自轉(zhuǎn)時(shí)，向心力由萬有引力的一個(gè)分力提供，另一個(gè)分力就是重力G赤，有
F萬＝G赤＋Fn
因?yàn)镚赤＝eq \f(7,8)G極，所以Fn＝eq \f(1,8)·Geq \f(Mm,R2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2R
該星球的同步衛(wèi)星的周期等于星球的自轉(zhuǎn)周期T，則有Geq \f(Mm′,r2)＝m′eq \f(4π2,T2)r
聯(lián)立解得r＝2R。
(2)在星球赤道上，有eq \f(7,8)·Geq \f(Mm,R2)＝mg
解得M＝eq \f(8gR2,7G)
又因星球的體積V＝eq \f(4,3)πR3
所以該星球的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(6g,7GπR)。

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