1.4　充分條件與必要條件
1．定義：若p?q且q?p，則記作__________，此時(shí)p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱____________．2．條件與結(jié)論的等價(jià)性：如果p是q的____________，那么q也是p的____________．3．概括：如果__________，那么p與q互為_(kāi)___________．
思考：命題按條件和結(jié)論的充分性、必要性可分哪幾類？
1．下列命題中是真命題的是(　　)①“x＞3”是“x＞4”的必要條件；②“x＝1”是“x2＝1”的必要條件；③“a＝0”是“ab＝0”的必要條件．A．①B．①②C．①③D．②③
2．“x＝0”是“x2＝0”的(　　)A．充分條件B．必要條件C．既不是充分條件也不是必要條件D．既是充分條件又是必要條件[解析]　因?yàn)楫?dāng)x＝0時(shí)x2＝0，當(dāng)x2＝0時(shí)，x＝0，所以“x＝0”是“x2＝0”的充要條件．
3．點(diǎn)P(x，y)是第二象限的點(diǎn)的充要條件是(　　)A．x＜0，y＜0B．x＜0，y＞0C．x＞0，y＞0D．x＞0，y＜0[解析]　P(x，y)在第二象限，等價(jià)于x＜0，y＞0．
4．設(shè)p：x＜3，q：－1＜x＜3，則p是q的(　　)A．充分必要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件[解析]　因?yàn)閧x|－1＜x＜3}{x|x＜3}，所以p是q的必要不充分條件．
5．從“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選一個(gè)合適的填空．(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的____________．(2)“x＜5”是“x＜3”的__________________．[解析]　(1)設(shè)A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以A＝B，“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要條件．(2)設(shè)A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＜3}，因?yàn)锳B，所以“x＜5”是“x＜3”的必要不充分條件．
　　　　(1)判斷下列各題中，p是否為q的充要條件？①在△ABC中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC；②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；③p：|x|＞3，q：x2＞9．
(2)已知p，q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么：①s是q的什么條件？②r是q的什么條件？③p是q的什么條件？
[解析]　(1)①在△ABC中，顯然有∠A＞∠B?BC＞AC，所以p是q的充要條件．②若a2＋b2＝0，則a＝b＝0，即p?q；若a＝b＝0，則a2＋b2＝0，即q?p，故p?q，所以p是q的充要條件．③由于p：|x|＞3?q：x2＞9，所以p是q的充要條件．
(2)①∵q是r的必要條件，∴r?q．∵s是r的充分條件，∴s?r，∴s?r?q，又∵q是s的充分條件，∴q?s．∴s是q的充要條件．②由r?q，q?s?r，知r是q的充要條件．③∵p是r的必要條件，∴r?p，∴q?r?p．∴p是q的必要條件．
[歸納提升]　判斷充分條件、必要條件及充要條件的四種方法(1)定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”的真假．(2)集合法：即利用集合的包含關(guān)系判斷．(3)等價(jià)法：即利用p?q與q?p的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件和結(jié)論是否定形式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．(4)傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由p1?p2?…?pn，可得p1?pn；充要條件也有傳遞性．
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】? (1)a，b中至少有一個(gè)不為零的充要條件是(　　)A．a(chǎn)b＝0B．a(chǎn)b＞0C．a(chǎn)2＋b2＝0D．a(chǎn)2＋b2＞0(2)如果甲是乙的必要條件，丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，那么(　　)A．丙是甲的充分不必要條件B．丙是甲的必要不充分條件C．丙是甲的充要條件D．丙是甲的既不充分又不必要條件
(3)設(shè)集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，則A?(A∩B)的充要條件為_(kāi)_____；一個(gè)充分不必要條件為_(kāi)___________________．[解析]　(1)a2＋b2＞0，則a，b不同時(shí)為零；a，b中至少有一個(gè)不為零，則a2＋b2＞0．
6≤a≤9(答案不唯一)　
　　　　設(shè)x，y∈R，求證：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件是xy≥0．
[解析]?、俪浞中裕喝绻鹸y≥0，則有xy＝0和xy＞0兩種情況，當(dāng)xy＝0時(shí)，不妨設(shè)x＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立．當(dāng)xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0時(shí)，又當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立．當(dāng)x＜0，y＜0時(shí)，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，所以等式成立．總之，當(dāng)xy≥0時(shí)，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，則|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，所以|xy|＝xy，所以xy≥0．綜上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件．
[歸納提升]　充要條件的證明策略(1)要證明一個(gè)條件p是否是q的充要條件，需要從充分性和必要性兩個(gè)方向進(jìn)行，即證明命題“若p，則q”為真且“若q，則p”為真．(2)在證明的過(guò)程中也可以轉(zhuǎn)化為集合的思想來(lái)證明，證明p與q的解集是相同的，證明前必須分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些條件推證到哪些結(jié)論．
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】? 證明：△ABC是等邊三角形的充要條件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，這里a，b，c是△ABC的三條邊．[解析]　(1)充分性(由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc?△ABC為等邊三角形)：因?yàn)閍2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，所以2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，所以a＝b，a＝c，b＝c，即a＝b＝c，故△ABC為等邊三角形；
(2)必要性(由△ABC為等邊三角形?a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc)：因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以a＝b＝c，所以a2＋b2＋c2＝3a2，ab＋ac＋bc＝3a2，故a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc．綜上可知，結(jié)論得證．
　　　　已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，且q是p的充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)A．(－1,6)B．[－1,6]C．(－∞，－1)∪(6，＋∞)D．(－∞，－1]∪[6，＋∞)[分析]　可將p和q中所涉及的變量x的取值范圍解出來(lái)，根據(jù)充分條件，轉(zhuǎn)化為其構(gòu)成的集合之間的包含關(guān)系，建立關(guān)于參數(shù)a的不等式組，從而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
[歸納提升]　根據(jù)充分條件與必要條件求參數(shù)取值范圍的步驟如下：(1)記集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；(2)根據(jù)以下表格確定集合M與N的包含關(guān)系：
(3)根據(jù)集合M與N的包含關(guān)系建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)．(4)解不等式(組)求出參數(shù)的取值范圍．
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】? (1)(2021·重慶七校高二期末)已知p：－1＜x＜3，q：－1＜x＜m＋1，若q是p的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________．(2)(2021·上海徐匯區(qū)高一聯(lián)考)已知x∈R，p：x2＜x，q：x－a≤0，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．
[解析]　(1)由題意，p：－1＜x＜3，q：－1＜x＜m＋1，因?yàn)閝是p的必要不充分條件，即{x|－1＜x＜3}{x|－1＜x＜m＋1}，則m＋1＞3，解得m＞2，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m＞2}．(2)由x2＜x，得x(x－1)＜0，得0＜x＜1．由x－a≤0，得x≤a．設(shè)A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x≤a}，∵p是q的充分不必要條件，∴AB，∴a≥1．故實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≥1}．
誤將充分條件當(dāng)作充要條件　　　　給出下列各組條件：①p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；②p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；③p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有實(shí)根；④p：x＞2或x＜－1，q：x＜－1．其中p是q的充要條件的有(　　)A．1組B．2組C．3組D．4組
[錯(cuò)因分析]　誤將充分條件當(dāng)作充要條件，當(dāng)p?q時(shí)，我們只能判斷p是q的充分條件，只有p?q與q?p同時(shí)成立，才能稱p是q的充要條件．
[方法點(diǎn)撥]　對(duì)于兩個(gè)條件A，B，若A?B成立，則A是B的充分條件(B成立的充分條件是A)，B是A的必要條件；若B?A成立，則A是B的必要條件，B是A的充分條件；若A?B，則A，B互為充要條件．解題時(shí)最容易出錯(cuò)的就是顛倒了充分性與必要性．
充分條件、必要條件的證明充分條件與必要條件是高中數(shù)學(xué)的重要概念，與數(shù)學(xué)中其他知識(shí)的聯(lián)系較強(qiáng)，是高考的熱點(diǎn)之一，同時(shí)也是易錯(cuò)點(diǎn)，充要條件的證明是本節(jié)的難點(diǎn)．
　　　　(2021·江蘇連云港高二檢測(cè))已知ab≠0，求證：a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0．[解析]　(1)必要性：因?yàn)閍＋b＝1，所以a＋b－1＝0．所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0．
[歸納提升]　充要條件的證明思路(1)根據(jù)充要條件的定義，證明充要條件時(shí)要從充分性和必要性兩個(gè)方面分別證明：①充分性：把p當(dāng)作已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推出q；②必要性：把q當(dāng)作已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推出p．解題的關(guān)鍵是分清哪個(gè)是條件，哪個(gè)是結(jié)論，然后確定推出方向，至于先證明充分性還是先證明必要性則無(wú)硬性要求．(2)在證明過(guò)程中，若能保證每一步推理都有等價(jià)性(?)，也可以直接證明充要性．
1．設(shè)p：a，b都是偶數(shù)，q：a＋b是偶數(shù)，則p是q成立的(　　)A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分又不必要條件[解析]　a，b都是偶數(shù)可推出a＋b是偶數(shù)；當(dāng)a＋b是偶數(shù)時(shí)，a，b可以都是奇數(shù)，所以p是q的充分不必要條件．
2．若“x＜a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要條件，則a的取值范圍是(　　)A．a(chǎn)≥3B．a(chǎn)≤－1C．－1≤a≤3D．a(chǎn)≤3[解析]　因?yàn)椤皒＜a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要條件，故a≤－1．
3．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分又不必要條件[解析]　當(dāng)x＝1時(shí)，x2－2x＋1＝0成立；當(dāng)x2－2x＋1＝0時(shí)，即(x－1)2＝0，解得x＝1，所以x＝1是x2－2x＋1＝0的充要條件．
4．若“x＞2”是“x＞m”的必要不充分條件，則m的取值范圍是_________．[解析]　因?yàn)椤皒＞2”是“x＞m”的必要不充分條件，所以(m，＋∞)是(2，＋∞)的真子集，所以m＞2．
5．求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1的充要條件是a＋b＋c＝0．[解析]　先證必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1，∴x＝1滿足方程ax2＋bx＋c＝0，則a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0．再證充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，故方程 ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1．因此，關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1的充要條件是a＋b＋c＝0．

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

1.4 充分條件與必要條件

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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