1. 會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖像，理解二次函數(shù)的性質(zhì)。
2. 利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決簡單的實(shí)際問題；能解決二次函數(shù)與其他知識(shí)結(jié)合的有關(guān)問題。
基礎(chǔ)知識(shí)回顧:
二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
應(yīng)用舉例:
招數(shù)一、利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，用最值的公式解決最值問題問題 ．
【例1】如果二次函數(shù)圖象對稱軸為直線，那么二次函數(shù)的最小值是____________;
【答案】﹣17
【解析】
由圖象的對稱軸為直線x=3，得
-．
解得k=-2，
∴二次函數(shù)解析式為y=．
∴y=(x-3)2-17,
∴二次函數(shù)的最小值是-17.
故答案為：-17.
【例2】已知二次函數(shù)y＝x2－2x＋2在m≤x≤m＋1時(shí)有最小值m，則整數(shù)m的值是（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．±1或2
【答案】C
招數(shù)二、解決與二次函數(shù)的增減性有關(guān)的最之問題時(shí)，簡便的方法是結(jié)合圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想直觀地得出結(jié)論，不限定自變量的取值范圍求最值．
【例3】如圖，拋物線y=ax2+bx(a＜0）過點(diǎn)E(10,0)，矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），點(diǎn)C，D在拋物線上．設(shè)A(t,0)，當(dāng)t=2時(shí)，AD=4．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的周長有最大值？最大值是多少？
（3）保持t=2時(shí)的矩形ABCD不動(dòng)，向右平移拋物線．當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且直線GH平分矩形的面積時(shí)，求拋物線平移的距離．
【答案】（1）；（2）當(dāng)t=1時(shí)，矩形ABCD的周長有最大值，最大值為；（3）拋物線向右平移的距離是4個(gè)單位．
（2）由拋物線的對稱性得，
，
當(dāng)時(shí)，，
矩形的周長
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，矩形的周長有最大值，最大值為；
（3）如圖，
【例4】已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象過點(diǎn)A（3，0），C（﹣1，0）．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)如圖，點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象的對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)B，當(dāng)PB+PC最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在第一象限內(nèi)的拋物線上有一點(diǎn)Q，當(dāng)△QAB的面積最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3；(2)P（1，2）；(3)當(dāng)m=時(shí)，S最大，此時(shí)Q（，）．
【解析】
（1）把點(diǎn)A（3，0）、C（-1，0）代入y=-x2+bx+c中，
得，解得，
則拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；
（3）設(shè)Q（m，-m2+2m+3），△QAB的面積為S，如圖，連接QA，QB，OQ．
則S=S△OBQ+S△AOQ-S△AOB
=×3m+×3（-m2+2m+3）-×3×3
=-m2+m
=-（m-）2+，
∴當(dāng)m═時(shí)，S最大，此時(shí)Q（，）．
招數(shù)三、二次函數(shù)的最值一定要結(jié)合實(shí)際問題中自變量的取值范圍確定，即限定自變量的取值范圍求最值．
【例5】當(dāng)﹣2≤x≤1時(shí)，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A．2 B．2或 C．2或或 D．2或或
【答案】B
招數(shù)四、由函數(shù)的最大值，確定的自變量的取值范圍。
【例6】（2017遼寧省錦州市）如圖，二次函數(shù)的圖象與y軸正半軸相交，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，1），下列結(jié)論：①abc＞0；②a=b；③a=4c﹣4；④方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，其中正確的結(jié)論是 ．（只填序號(hào)即可）．
解析：①∵根據(jù)圖示知，拋物線開口方向向下，∴a＜0．
由對稱軸在y軸的右側(cè)知b＞0，∵拋物線與y軸正半軸相交，∴c＞0，∴abc＜0．故①錯(cuò)誤；
②∵拋物線的對稱軸直線x=，∴a=﹣b．故②錯(cuò)誤；
③∵該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，1），∴1=，∴b2﹣4ac=﹣4a．∵b=﹣a，∴a2﹣4ac=﹣4a，∵a≠0，等式兩邊除以a，得a﹣4c=﹣4，即a=4c﹣4．故③正確；
④∵二次函數(shù)的最大值為1，即，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．故④正確．
綜上所述，正確的結(jié)論有③④．
故答案為：③④．
方法、規(guī)律歸納:
一、二次函數(shù)最值的方法與技巧：
1、若自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，則函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值或最小值。
2、若自變量的取值范圍是，若-在自變量的取值范圍內(nèi)，則當(dāng)x=-時(shí)，y=是其中的一個(gè)最值。另一個(gè)最值在或處取得。若不在自變量的取值范圍內(nèi)，則函數(shù)的最值即為函數(shù)在，時(shí)的函數(shù)值，且較大的為最大值，較小的為最小值，最大值和最小值是同時(shí)存在的。
二、解決最值應(yīng)用題要注意兩點(diǎn)
①設(shè)未知數(shù)，在 “當(dāng)某某為何值時(shí)，什么最大（最?。钡脑O(shè)問中，“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；
②求解最值時(shí)，一定要考慮頂點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)）的取值是否在 自變量的取值范圍內(nèi).
實(shí)戰(zhàn)演練:
1、二次函數(shù)的最大值是，則____．
【答案】
2.如圖所示，點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB＝1，分別以AC和CB為一邊作正方形，用S表示這兩個(gè)正方形的面積之和，下列判斷正確的是( )
A．當(dāng)點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，S最小 B．當(dāng)點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，S最大
C．當(dāng)點(diǎn)C為AB的三等分點(diǎn)時(shí)，S最小 D．當(dāng)點(diǎn)C為AB的三等分點(diǎn)時(shí)，S最大
【答案】A
3.二次函數(shù)（a、b、c是常數(shù)，且a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．4ac＜b2 B．a(chǎn)bc＜0 C．b+c＞3a D．a(chǎn)＜b
4、拋物線與直線y=-x+5一個(gè)交點(diǎn)A（2，m），另一個(gè)交點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)P是線段AB上異于A、B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P做x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)E；
（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在這樣的點(diǎn)P，使線段PE長度最大？若存在求出最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在說明理由；
（3）求當(dāng)ΔPAE為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】（1）；(2) 當(dāng)P時(shí)，PE長度的最大值為
（3）.
（2）設(shè)P的橫坐標(biāo) m,
則
.
.
m=時(shí),
當(dāng)P時(shí)，PE長度的最大值為
5、如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，4）．
（1）求二次函數(shù)的解析式和直線BD的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，求線段PM長度的最大值；
∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，
6、（2017畢節(jié)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）是否存在點(diǎn)P，使△POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PBC面積最大，求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)和△PBC的最大面積．
（2）作OC的垂直平分線DP，交OC于點(diǎn)D，交BC下方拋物線于點(diǎn)P，如圖1，
（3）∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴可設(shè)P（t，t2﹣3t﹣4），
過P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F，如圖2，
∵B（4，0），C（0，﹣4），
∴直線BC解析式為y=x﹣4，
∴F（t，t﹣4），
∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，
∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF?OE+PF?BE=PF?（OE+BE）=PF?OB=（﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+8，
∴當(dāng)t=2時(shí)，S△PBC最大值為8，此時(shí)t2﹣3t﹣4=﹣6，
∴當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣6）時(shí)，△PBC的最大面積為8．
7、如圖，
過拋物線上一點(diǎn)A作x軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣1，在AB上任取一點(diǎn)P，連結(jié)OP，作點(diǎn)C關(guān)于直線OP的對稱點(diǎn)D，連結(jié)BD，則線段BD的最小值為______.
【答案】2
如圖1中，
由題意點(diǎn)D在以O(shè)為圓心OC為半徑的圓上，
∴當(dāng)O、D、B共線時(shí)，BD的最小值=OB-OD=-3=2．
故答案為：2
8、如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（1，0）、C（﹣2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N，其頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△APC的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在對稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使△ANM的周長最?。舸嬖?，請求出M點(diǎn)的坐標(biāo)和△ANM周長的最小值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）當(dāng)x＝﹣時(shí)，△APC的面積取最大值，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）；（3）在對稱軸上存在一點(diǎn)M（﹣1，2），使△ANM的周長最小，△ANM周長的最小值為3．
（2）過點(diǎn)P作PE∥y軸交x軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CQ∥y軸交x軸于點(diǎn)Q，如圖1所示．
（3）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1．
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，3），
∴點(diǎn)C，N關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．
令直線AC與拋物線的對稱軸的交點(diǎn)為點(diǎn)M，如圖2所示．
∵點(diǎn)C，N關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此時(shí)△ANM周長取最小值．
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣x+1＝2，
∴此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，2）．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，3），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，3），
∴AC＝ ＝3，AN＝ ＝，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．
∴在對稱軸上存在一點(diǎn)M（﹣1，2），使△ANM的周長最小，△ANM周長的最小值為3+．
9、（2017四川省涼山州）為了推進(jìn)我州校園籃球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，2017年四川省中小學(xué)生男子籃球賽于2月在西昌成功舉辦．在此期間，某體育文化用品商店計(jì)劃一次性購進(jìn)籃球和排球共60個(gè)，其進(jìn)價(jià)與售價(jià)間的關(guān)系如下表：
（1）商店用4200元購進(jìn)這批籃球和排球，求購進(jìn)籃球和排球各多少個(gè)？
（2）設(shè)商店所獲利潤為y（單位：元），購進(jìn)籃球的個(gè)數(shù)為x（單位：個(gè)），請寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；
（3）若要使商店的進(jìn)貨成本在4300元的限額內(nèi)，且全部銷售完后所獲利潤不低于1400元，請你列舉出商店所有進(jìn)貨方案，并求出最大利潤是多少？
（3）設(shè)購進(jìn)籃球x個(gè)，則購進(jìn)排球（60﹣x）個(gè)，根據(jù)進(jìn)貨成本在4300元的限額內(nèi)且全部銷售完后所獲利潤不低于1400元，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍，取其整數(shù)即可得出各購進(jìn)方案，再結(jié)合（2）的結(jié)論利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．
試題解析：（1）設(shè)購進(jìn)籃球m個(gè)，排球n個(gè)，根據(jù)題意得：，解得：．
答：購進(jìn)籃球40個(gè)，排球20個(gè)．
10、為迎接“世界華人炎帝故里尋根節(jié)”，某工廠接到一批紀(jì)念品生產(chǎn)訂單，按要求在15天內(nèi)完成，約定這批紀(jì)念品的出廠價(jià)為每件20元，設(shè)第x天（1≤x≤15，且x為整數(shù)）每件產(chǎn)品的成本是p元，p與x之間符合一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：
任務(wù)完成后，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)工人李師傅第x天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)y（件）與x（天）滿足如下關(guān)系：y=，
設(shè)李師傅第x天創(chuàng)造的產(chǎn)品利潤為W元．
（1）直接寫出p與x，W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍：
（2）求李師傅第幾天創(chuàng)造的利潤最大？最大利潤是多少元？
（3）任務(wù)完成后．統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)平均每個(gè)工人每天創(chuàng)造的利潤為299元．工廠制定如下獎(jiǎng)勵(lì)制度：如果一個(gè)工人某天創(chuàng)造的利潤超過該平均值，則該工人當(dāng)天可獲得20元獎(jiǎng)金．請計(jì)算李師傅共可獲得多少元獎(jiǎng)金？
【答案】（1）W=；（2）李師傅第8天創(chuàng)造的利潤最大，最大利潤是324元；（3）李師傅共可獲得160元獎(jiǎng)金．
（2）當(dāng)1≤x＜10時(shí)，
W=﹣x2+16x+260=﹣（x﹣8）2+324，
∴當(dāng)x=8時(shí)，W取得最大值，此時(shí)W=324，
當(dāng)10≤x≤15時(shí)，
W=﹣20x+520，
∴當(dāng)x=10時(shí)，W取得最大值，此時(shí)W=320，
∵324＞320，
∴李師傅第8天創(chuàng)造的利潤最大，最大利潤是324元；
（3）當(dāng)1≤x＜10時(shí)，
令﹣x2+16x+260=299，得x1=3，x2=13，
當(dāng)W＞299時(shí)，3＜x＜13，
∵1≤x＜10，
∴3＜x＜10，
當(dāng)10≤x≤15時(shí)，
令W=﹣20x+520＞299，得x＜11.05，
∴10≤x≤11，
由上可得，李師傅獲得獎(jiǎng)金的月份是4月到11月，李師傅共獲得獎(jiǎng)金為：20×（11﹣3）=160（元），
即李師傅共可獲得160元獎(jiǎng)金．二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
圖象
[來源:Z&X&X&K]
[來源:Z§X§X§K][來源:Z#xx#k.Cm]
開口
向上
向下
對稱軸
x＝
頂點(diǎn)坐標(biāo)
增減性
當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＜時(shí)，y隨x的增大而減小.
當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x＜時(shí)，y隨x的增大而增大.
最值
x=，y最?。?
x=，y最大＝.
天數(shù)（x）
1
3
6
10
每件成本p（元）
7.5
8.5
10
12

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