2020—2021學(xué)年度茂名市普通高中高二年級教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，22題.全卷滿分150 分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、考號等填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則中元素的個數(shù)為（  ）A．           B．         C．         D． 2.已知命題，，則為（  ）A．，B．，C．，D．， 3.已知雙曲線的一條漸近線為第一象限與第三象限的角平分線，則的離心率為（  ）A．           B．         C．         D． 4.已知傾斜角為的直線與直線平行，則的值為（  ）A．          B．         C．         D． 5.冼夫人故里、放雞島、竇州古城、茂名森林公園這個景區(qū)均為廣東茂名市的熱門旅游景區(qū)，現(xiàn)有5名學(xué)生決定于今年暑假前往這個景區(qū)旅游，若每個景區(qū)至少有名學(xué)生前去，且每名學(xué)生只去一個景點(diǎn)，則不同的旅游方案種數(shù)為（  ）A．           B．         C．         D． 6.某圓柱的軸截面是周長為的矩形，則該圓柱的側(cè)面積的最大值是（  ）A．           B．  C．         D． 7.記的面積為，若， ，則的最大值為（  ）A．          B．         C．         D． 8.草地貪夜蛾是一種起源于美洲的繁殖能力很強(qiáng)的農(nóng)業(yè)害蟲，日增長率為，若只草地貪夜蛾經(jīng)過天后，數(shù)量落在區(qū)間內(nèi)，則的值可能為（參考數(shù)據(jù)：，）（  ）A．           B．        C．         D． 二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)滿足，則（  ）A．的虛部為           B．的共軛復(fù)數(shù)為 C．          D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限10.茂名市某單位在定點(diǎn)幫扶貧困村村的過程中，因地制宜，優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，使得該村人均年純收入逐年提高. 村村民，，，年這年的人均年純收入（單位：萬元）與年份代號之間的一組數(shù)據(jù)如表所示： 年份年份代號 人均年純收入 若與線性相關(guān)，且求得其線性回歸方程為，則下列說法錯誤的是（  ）A．人均純收人（單位：萬元）與年份代號負(fù)相關(guān)B．C．從2016年起，每經(jīng)過年，村民人均年純收入約增加萬元D．2023年村人均年純收人約為萬元11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，，則下列結(jié)論正確的是（  ）A．            B．         C．把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象D．把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)在上是減函數(shù)12.已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則使不等式成立的的值不可能為（  ）A．           B．         C．         D． 三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，，則向量，夾角的余弦值為                       ．14.已知等比數(shù)列的前項和為，，，則的值為                       ，若，則                       ．（本題第一空2分，第二空3分）15.已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，寫出一個滿足條件的函數(shù)                       ．16.在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形的直棱柱稱為“塹堵”.如圖，已知三棱柱是一“塹堵”，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).則三棱錐的外接球的表面積為                       ．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在①，②，③三個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面問題并解答.已知等差數(shù)列的前項和為，，                       ， 若，求數(shù)列的前項和.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18.在中，角，，的對邊分別為，，且.（1）求角的大??；（2）若的面積為，且的外接圓半徑為，試判斷的形狀，并說明理由.19.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.20.隨著智能手機(jī)的迅速普及，外賣點(diǎn)餐也開始成為不少人日常飲食中的一部分，但方便群眾生活的同時，部分外賣派送人員諸如服務(wù)態(tài)度差、派送不及時、包裝損壞等一系列問題也讓市民感到不滿，影響了整個行業(yè)的持續(xù)健康發(fā)展.市外賣行業(yè)協(xié)會為掌握本市外賣派送人員的服務(wù)質(zhì)量水平，隨機(jī)選取了名外賣派送人員，并針對他們的服務(wù)質(zhì)量細(xì)化打分（滿分分），根據(jù)他們的服務(wù)質(zhì)量得分分成以下組：，，，…，，統(tǒng)計得出以下頻率分布直方圖：（1）求這名外賣派送人員服務(wù)質(zhì)量的平均得分（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）市外賣派送人員的服務(wù)質(zhì)量得分（單位：分）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù).若市恰有萬名外賣派送人員，試估計這些外賣派送人員服務(wù)質(zhì)量得分位于區(qū)間的人數(shù)；（3）為答謝外賣派送人員積極參與調(diào)查，該協(xié)會決定給所抽取的這人一定的現(xiàn)金補(bǔ)助，并準(zhǔn)備了兩種補(bǔ)助方案.方案一：按每人服務(wù)質(zhì)量得分進(jìn)行補(bǔ)助，每分補(bǔ)助元；方案二：以抽獎的方式進(jìn)行補(bǔ)助，得分不低于中位數(shù)的可抽獎次，反之只能抽獎次.在每次抽獎中，若中獎，則補(bǔ)助元/次，若不中獎，則只補(bǔ)助元/次，且假定每次中獎的概率均為.問：哪一種補(bǔ)助方案補(bǔ)助總金額更低.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，即，則，.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22.已知圓與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的動直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，求證：.高二數(shù)學(xué)參考答案及解析一、選擇題1.解析：，故中元素的個數(shù)為.故選.2.解析：先變量詞，再否結(jié)論，故可知命題的否定為，.故選.3.解析：由題意可知雙曲線的一條漸近線方程為，即，所以的離心率.故選.4.解析：由已知得，故，故選.5.解析：不同的旅游方案種數(shù)為.故選.6.解析：設(shè)該圓柱的底面圓半徑為，高為，則，所以，該圓柱的側(cè)面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故選.7.解析：以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立，直角坐標(biāo)系，由橢圓的定義易知，點(diǎn)的軌跡是分別以，為左、右焦點(diǎn)的橢圓（不含長軸兩端點(diǎn)），且，，則，故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，.當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故選.8.解析：由題意得，兩邊取對數(shù)得，所以，且，即，對照各選項，只有符合.故選.二、多項選擇題9.解析：因為，所以的虛部為，的共軛復(fù)數(shù)為，它在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故正確，正確，正確；，故錯誤.故選.10.解析：由回歸直線的斜率為，得人均年純收人（單位：萬元）與年份代號正相關(guān)；錯誤；因為，所以，于是得，解得，正確；由每增加，約增，可知每經(jīng)過年，村民人均年純收人約增加萬元，正確；2023年的年份代號為，故，故可估計2023年村人均年純收人約為萬元，錯誤.故選.11.解析：設(shè)點(diǎn)在軸上的投影為，則，，.，，，，，又，，即，正確；正確；，錯誤；把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)為，當(dāng)時，，故函數(shù)在時為減函數(shù)，正確，故選.12.解析：設(shè) ，則.，，，即函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減.，，不等式等價于，即，解得.故不等式的解集為.故選.三、填空題13.解析：由，得，所以，所以.14.解析：由得，，.設(shè)公比為，若，則為正數(shù)，故，.15.（答案不唯一）解析：若，則，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時，顯然在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故的解析式可以是.16.解析：如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，且.所以，又，所以平面，連接，則，且，所以平面.設(shè)該球的球心為，設(shè)的外心為，連接，則平面，所以.連接，，，由是的外心得平面，所以，可得四邊形為矩形.，所以為等邊三角形，可知，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為.四、解答題17.解：設(shè)數(shù)列的公差為.若選①：由，，得解得，，所以.因為，所以.則.若選②：由，，得解得，，所以.因為，所以.則若選③：因為，所以，，所以，解得，則.因為滿足上式，所以.因為，所以則18.解：（1）由正弦定理及，得，，即，.，，即.，.（2）為等邊三角形.理由如下：，即， ，①的外接圓半徑為，.由余弦定理得，即，，②由①②得，為等邊三角形.19.解：（1）在梯形中，過點(diǎn)作于點(diǎn).由已知可知，，，.所以，即.①因為平面，平面，所以.②由①②及，得平面.又由平面，所以平面平面.（2）因為，，兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，以，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，則.平面的一個法向量為，所以，所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為：.20.解：（1）由題意知：中間值 概率 所以樣本平均數(shù)為.所以這名外賣派送人員服務(wù)質(zhì)量的平均得分為.（2）由（1）可知，故，所以，而.故萬名外賣派送人員中服務(wù)質(zhì)量得分位于區(qū)間的人數(shù)約為（人）.（3）按方案一：所補(bǔ)助的總費(fèi)用為（元）按方案二：設(shè)一個人所得補(bǔ)助為元，則的可能取值為，，，.由題意知，，，，，，所以的分布列為 ，估算補(bǔ)助的總金額為：（元）.，所以選擇方案二補(bǔ)助的總金額更低.21.解：（1）的定義域為，.當(dāng)時，令，得；令，得，或.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. （2）由，得，當(dāng)時，，即對恒成立.設(shè)，則.設(shè)，則.，，在上單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，.的取值范圍是.22.解：（1）由題意得圓心到弦的距離，則由拋物線和圓的對稱性可得，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，代入的方程可得，解得，所以的方程為.（2）法一：當(dāng)直線垂直于軸時，不適合題意；當(dāng)直線不垂直于軸時，設(shè)直線方程為，，.聯(lián)立方程，可得，，，要證明，只需要證，，.法二：當(dāng)直線垂直于軸時，不適合題意；當(dāng)直線不垂直于軸時，設(shè)直線方程為，，.要證明，只需要證點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)在直線上即可.直線方程為，即，聯(lián)立方程，可得，，，將代入，可得，點(diǎn)在直線上，. 

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