專題01 因動點產(chǎn)生的面積問題-版突破中考數(shù)學(xué)壓軸之學(xué)霸秘笈大揭秘（教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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【類型綜述】
面積是平面幾何中一個重要的概念，關(guān)聯(lián)著平面圖形中的重要元素邊與角，由動點而生成的面積問題，是拋物線與直線形結(jié)合的覺形式，常見的面積問題有規(guī)則的圖形的面積（如直角三角形、平行四邊形、菱形、矩形的面積計算問題）以及不規(guī)則的圖形的面積計算，解決不規(guī)則的圖形的面積問題是中考壓軸題?？嫉念}型，此類問題計算量較大。有時也要根據(jù)題目的動點問題產(chǎn)生解的不確定性或多樣性。解決這類問題常用到以下與面積相關(guān)的知識：圖形的割補、等積變形、等比轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)方法. 面積的存在性問題常見的題型和解題策略有兩類：一是先根據(jù)幾何法確定存在性，再列方程求解，后檢驗方程的根．二是先假設(shè)關(guān)系存在，再列方程，后根據(jù)方程的解驗證假設(shè)是否正確．

【方法揭秘】
解決動點產(chǎn)生的面積問題，常用到的知識和方法，如下：
如圖1，如果三角形的某一條邊與坐標(biāo)軸平行，計算這樣“規(guī)則”的三角形的面積，直接用面積公式．
如圖2，圖3，三角形的三條邊沒有與坐標(biāo)軸平行的，計算這樣“不規(guī)則”的三角形的面積，用“割”或“補”的方法．

圖1 圖2 圖3
計算面積長用到的策略還有：
如圖4，同底等高三角形的面積相等．平行線間的距離處處相等．
如圖5，同底三角形的面積比等于高的比．
如圖6，同高三角形的面積比等于底的比．

圖4 圖5 圖6
【典例分析】
例1 如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸交于A(－1, 0)，B(4, 0)兩點，與y軸交于點C(0, 2)．點M(m, n)是拋物線上一動點，位于對稱軸的左側(cè)，并且不在坐標(biāo)軸上．過點M作x軸的平行線交y軸于點Q，交拋物線于另一點E，直線BM交y軸于點F．
（1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點坐標(biāo)；
（2）當(dāng)S△MFQ∶S△MEB＝1∶3時，求點M的坐標(biāo)．

思路點撥
1．設(shè)交點式求拋物線的解析式比較簡便．
2．把△MFQ和△MEB的底邊分別看作MQ和ME，分別求兩個三角形高的比，底邊的比（用含m的式子表示），于是得到關(guān)于m的方程．
3．方程有兩個解，慎重取舍．解壓軸題時，時常有這種“一石二鳥”的現(xiàn)象，列一個方程，得到兩個符合條件的解．
滿分解答
（1）因為拋物線與x軸交于A(－1, 0)，B(4, 0)兩點，設(shè)y＝a(x＋1)(x－4)．
代入點C(0, 2)，得2＝－4a．解得．
所以．
頂點坐標(biāo)為．

考點伸展
第（2）題S△MFQ∶S△MEB＝1∶3，何需點M一定要在拋物線上？
從上面的解題過程可以看到，△MFQ與△MEB的高的比與n無關(guān)，兩條底邊的比也與n無關(guān)．
如圖3，因此只要點E與點M關(guān)于直線x＝對稱，點M在直線的左側(cè)，且點M不在坐標(biāo)軸上，就存在S△MFQ∶S△MEB＝1∶3，點M的橫坐標(biāo)為1（如圖3）或－12（如圖4）．

圖3 圖4
例2如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于點、和點，動點從原點開始沿方向以每秒個單位長度移動，動點從點開始沿方向以每秒個單位長度移動，動點、同時出發(fā)，當(dāng)動點到達(dá)原點時，點、停止運動．

直接寫出拋物線的解析式：________；
求的面積與點運動時間的函數(shù)解析式；當(dāng)為何值時，的面積最大？最大面積是多少？
當(dāng)?shù)拿娣e最大時，在拋物線上是否存在點（點除外），使的面積等于的最大面積？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

思路點撥
（1）將點A（0，8）、B（8，0）代入拋物線y=-x2+bx+c即可求出拋物線的解析式為：y=-x2+3x+8；
（2）根據(jù)題意得：當(dāng)D點運動t秒時，BD=t，OC=t，然后由點A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，從而可得OD=8-t，然后令y=0，求出點E的坐標(biāo)為（-2，0），進(jìn)而可得OE=2，DE=2+8-t=10-t，然后利用三角形的面積公式即可求△CED的面積S與D點運動時間t的函數(shù)解析式為：S=-t2+5t，然后轉(zhuǎn)化為頂點式即可求出最值為：S最大=；[來源:]
（3）由（2）知：當(dāng)t=5時，S最大=，進(jìn)而可知：當(dāng)t=5時，OC=5，OD=3，進(jìn)而可得CD=，從而確定C（0，5），D（3，0）然后根據(jù)待定系數(shù)法求出直線CD的解析式為：y=-x+5，然后過E點作EF∥CD，交拋物線與點P，然后求出直線EF的解析式，與拋物線聯(lián)立方程組解得即可得到其中的一個點P的坐標(biāo)，然后利用面積法求出點E到CD的距離為，然后過點D作DN⊥CD，垂足為N，且使DN=，然后求出N的坐標(biāo)，然后過點N作NH∥CD，與拋物線交與點P，然后求出直線NH的解析式，與拋物線聯(lián)立方程組求解即可得到其中的另兩個點P的坐標(biāo)．

滿分解答
例3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線y＝ax2＋bx－3交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的縱坐標(biāo)為3．點P是直線AB下方的拋物線上的一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，作PD⊥AB于點D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．
①用含m的代數(shù)式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；[
②連結(jié)PB，線段PC把△PDB分成兩個三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個三角形的面積比為9∶10？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．

思路點撥
1．第（1）題由于CP//y軸，把∠ACP轉(zhuǎn)化為它的同位角．
2．第（2）題中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）題已經(jīng)做好了鋪墊．
3．△PCD與△PCB是同底邊PC的兩個三角形，面積比等于對應(yīng)高DN與BM的比．
4．兩個三角形的面積比為9∶10，要分兩種情況討論．
滿分解答
（1）設(shè)直線與y軸交于點E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．
在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以．所以．
因為PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此．
將A(－2,0)、B(4,3)分別代入y＝ax2＋bx－3，得
解得，．

考點伸展
第（3）題的思路是：△PCD與△PCB是同底邊PC的兩個三角形，面積比等于對應(yīng)高DN與BM的比．
而，
BM＝4－m．
①當(dāng)S△PCD∶S△PCB＝9∶10時，．解得．
②當(dāng)S△PCD∶S△PCB＝10∶9時，．解得．
例4如圖，已知二次函數(shù)的圖象過點O(0,0)、A(4，0)、B()，M是OA的中點．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)P是拋物線上的一點，過P作x軸的平行線與拋物線交于另一點Q，要使四邊形PQAM是菱形，求點P的坐標(biāo)；
（3）將拋物線在軸下方的部分沿軸向上翻折，得曲線OB′A（B′為B關(guān)于x軸的對稱點），在原拋物線x軸的上方部分取一點C，連結(jié)CM，CM與翻折后的曲線OB′A交于點D，若△CDA的面積是△MDA面積的2倍，這樣的點C是否存在？若存在求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

思路點撥
1．設(shè)交點式或頂點式求拋物線的解析式都比較簡便．
2．先確定四邊形PQAM是平行四邊形，再驗證它是菱形．
3．把△CDA與△MDA的面積比，轉(zhuǎn)化為△MCA與△MDA的面積比，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為點C與點D的縱坐標(biāo)的比．
滿分解答

（3）如圖3，作CE⊥x軸于E，作DF⊥x軸于F．
我們把面積進(jìn)行兩次轉(zhuǎn)換：
如果△CDA的面積是△MDA面積的2倍，那么△MCA的面積是△MDA面積的3倍．
而△MCA與△MDA是同底三角形，所以高的比CE∶DF＝3∶1，即yC∶yD＝3∶1．
因此ME∶MF＝3∶1．設(shè)MF＝m，那么ME＝3m．
原拋物線的解析式為，所以翻折后的拋物線的解析式為．
所以D，C．
根據(jù)yC∶yD＝3∶1，列方程．
整理，得3m2＝4．解得．所以．
所以點C的坐標(biāo)為（如圖3），或（如圖4）．

圖2 圖3 圖4
考點伸展
第（1）題可以設(shè)拋物線的頂點式：
由點O(0,0), A(4，0)，B()的坐標(biāo)，可知點B是拋物線的頂點．
可設(shè)，代入點O(0,0)，得．
例5如圖，直線l經(jīng)過點A(1，0)，且與雙曲線(x＞0)交于點B(2，1)．過點(p＞1)作x軸的平行線分別交曲線(x＞0)和(x＜0)于M、N兩點．
（1）求m的值及直線l的解析式；
（2）若點P在直線y＝2上，求證：△PMB∽△PNA；
（3）是否存在實數(shù)p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，請求出所有滿足條件的p的值；若不存在，請說明理由．

思路點撥
1．第（2）題準(zhǔn)確畫圖，點的位置關(guān)系盡在圖形中．
2．第（3）題把S△AMN＝4S△AMP轉(zhuǎn)化為MN＝4MP，按照點M與線段NP的位置關(guān)系分兩種情況討論．
滿分解答

由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三點的位置關(guān)系，可知△PNA為等腰直角三角形．
所以△PMB∽△PNA．

圖2 圖3 圖4

考點伸展
在本題情景下，△AMN能否成為直角三角形？
情形一，如圖5，∠AMN＝90°，此時點M的坐標(biāo)為（1，2），點P的坐標(biāo)為（3，2）．
情形二，如圖6，∠MAN＝90°，此時斜邊MN上的中線等于斜邊的一半．
不存在∠ANM＝90°的情況．

圖5 圖6
例6 如圖1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜邊AB上的高，點E在斜邊AB上，過點E作直線與△ABC的直角邊相交于點F，設(shè)AE＝x，△AEF的面積為y．
（1）求線段AD的長；
（2）若EF⊥AB，當(dāng)點E在斜邊AB上移動時，
①求y與x的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量x的取值范圍）；
②當(dāng)x取何值時，y有最大值？并求出最大值．
（3）若點F在直角邊AC上（點F與A、C不重合），點E在斜邊AB上移動，試問，是否存在直線EF將△ABC的周長和面積同時平分？若存在直線EF，求出x的值；若不存在直線EF，請說明理由．

圖1 備用圖
思路點撥
1．第（1）題求得的AD的長，就是第（2）題分類討論x的臨界點．
2．第（2）題要按照點F的位置分兩種情況討論．
3．第（3）題的一般策略是：先假定平分周長，再列關(guān)于面積的方程，根據(jù)方程的解的情況作出判斷．
滿分解答

圖2 圖3 圖4

(3)△ABC的周長等于12，面積等于6．
先假設(shè)EF平分△ABC的周長，那么AE＝x，AF＝6－x，x的變化范圍為3＜x≤5．因此．解方程，得．[來源:]
因為在3≤x≤5范圍內(nèi)（如圖4），因此存在直線EF將△ABC的周長和面積同時平分．
考點伸展
如果把第（3）題的條件“點F在直角邊AC上”改為“點F在直角邊BC上”，那么就不存在直線EF將△ABC的周長和面積同時平分．
先假設(shè)EF平分△ABC的周長，那么AE＝x，BE＝5－x，BF＝x＋1．
因此．
解方程．整理，得．此方程無實數(shù)根．

【變式訓(xùn)練】
1．如圖，點A是直線y=﹣x上的動點，點B是x軸上的動點，若AB=2，則△AOB面積的最大值為（　?。?br />
A．2 B．+1 C．-1 D．2
【答案】B
【解析】
解：如圖所示，

連接OD，則OD≤OC+CD，
∴當(dāng)O，C，D在同一直線上時，OD的最大值為OC+CD=+1，[來源:ZXXK]
此時OD⊥AB，

2．如圖，已知，以為圓心，長為半徑作，是上一個動點，直線交軸于點，則面積的最大值是（）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
當(dāng)直線AN與⊙B相切時，△AOM面積的最大．
連接AB、BN，

在Rt△AOB和Rt△ANB中

∴Rt△AOB≌Rt△ANB，
∴AN=AO=2，
設(shè)BM=x，

3．如圖，在中，，，，動點從點開始沿向點以的速度移動，動點從點開始沿向點以的速度移動.若，兩點分別從，兩點同時出發(fā)，點到達(dá)點運動停止，則的面積隨出發(fā)時間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

點睛：此題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，正確得出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
4．如圖，在中，，，，動點P從點B開始沿邊BA、AC向點C以的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以的速度移動，設(shè)的面積為運動時間為，則下列圖象能反映y與x之間關(guān)系的是　　

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
當(dāng)時，，圖象為開口向上的拋物線；
當(dāng)時，如下圖所示，

，圖象為開口向下的拋物線；
故選：B．
5．如圖，在正方形中，，動點自點出發(fā)沿方向以每秒的速度運動，同時動點自點出發(fā)沿折線以每秒的速度運動，到達(dá)點時運動同時停止，設(shè)的面積為，運動時間為（秒），則下列圖象中能大致反映與之間的函數(shù)關(guān)系的是（）

A． B． C. D．
【答案】A
【解析】

分兩部分：
①當(dāng)0≤x≤1.5時，如圖1，此時N在DC上，S△AMN=y=AM?AD=x×3=x，
②當(dāng)1.5＜x≤3時，如圖2，此時N在BC上，∴DC+CN=2x，∴BN=6﹣2x，∴S△AMN=y=AM?BN=x（6﹣2x）=﹣x2+3x，故選A．

考點：動點問題的函數(shù)圖象．
6．如圖，在矩形中，，，點是邊上的動點（點不與點，點重合），過點作直線，交邊于點，再把沿著動直線對折，點的對應(yīng)點是點，設(shè)的長度為，與矩形重疊部分的面積為．
（1）求的度數(shù)；
（2）當(dāng)取何值時，點落在矩形的邊上？
（3）①求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)取何值時，重疊部分的面積等于矩形面積的？

【答案】解：（1）．
（2）．
（3）①．
②綜上所述，當(dāng)時，與矩形重疊部分的面積等于矩形面積的．
【解析】
解：（1）如圖，四邊形是矩形，．
又，，，
，．
，．
，．
（2）如圖1，

（3）①當(dāng)點在矩形的內(nèi)部或邊上時，
，，
，當(dāng)時，
當(dāng)在矩形的外部時（如圖2），，

在中，，
，
又，，

②矩形面積，當(dāng)時，函數(shù)隨自變量的增大而增大，所以的最大值是，而矩形面積的的值，
而，所以，當(dāng)時，的值不可能是矩形面積的；
當(dāng)時，根據(jù)題意，得：
，解這個方程，得，因為，
所以不合題意，舍去．
所以．
綜上所述，當(dāng)時，與矩形重疊部分的面積等于矩形面積的．
7．已知直角梯形OABC在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，動點M從A點出發(fā)，以每秒一個單位長度的速度沿AB向點B運動，同時動點N從C點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿CO向O點運動。當(dāng)其中一個動點運動到終點時，兩個動點都停止運動。
（1）求B點坐標(biāo)；
（2）設(shè)運動時間為t秒。
①當(dāng)t為何值時，四邊形OAMN的面積是梯形OABC面積的一半；
②當(dāng)t為何值時，四邊形OAMN的面積最小，并求出最小面積。
③若另有一動點P，在點M、N運動的同時，也從點A出發(fā)沿AO運動。在②的條件下，PM＋PN的長度也剛好最小，求動點P的速度。

【答案】解（1）作BD⊥OC于D，則四邊形OABD是矩形，

②設(shè)四邊形OAMN的面積為S，則
∵0≤t≤10，且s隨t的增大面減小 ∴當(dāng)t=10時，s最小，最小面積為54。
③如備用圖，取N點關(guān)于y軸的對稱點N/，連結(jié)MN/交AO于點P，此時PM＋PN=PM＋PN/=MN長度最小。

當(dāng)t=10時，AM=t=10=AB，ON=22－2t=2
∴M（10，9），N（2，0）∴N/（－2，0）
設(shè)直線MN/的函數(shù)關(guān)系式為，則
解得
∴P（0，） ∴AP=OA－OP=
∴動點P的速度為個單位長度/ 秒
【解析】

8．如圖，在中，，，，動點從點開始沿著邊向點以的速度移動（不與點重合），動點從點開始沿著邊向點以的速度移動（不與點重合）．若、兩點同時移動；

當(dāng)移動幾秒時，的面積為．
設(shè)四邊形的面積為，當(dāng)移動幾秒時，四邊形的面積為？
【答案】（1）32cm2（2）當(dāng)移動秒時，四邊形的面積為
【解析】
【分析】
（1）找出運動時間為t秒時PB、BQ的長度，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合△BPQ的面積為32cm2，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；
（2）用△ABC的面積減去△BPQ的面積即可得出S，令其等于108即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】

9．如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點A（0，8）、B（8，0）和點E，動點C從原點O開始沿OA方向以每秒1個單位長度移動，動點D從點B開始沿BO方向以每秒1個單位長度移動，動點C、D同時出發(fā)，當(dāng)動點D到達(dá)原點O時，點C、D停止運動．
（1）直接寫出拋物線的解析式：　 ?。?br /> （2）求△CED的面積S與D點運動時間t的函數(shù)解析式；當(dāng)t為何值時，△CED的面積最大？最大面積是多少？
（3）當(dāng)△CED的面積最大時，在拋物線上是否存在點P（點E除外），使△PCD的面積等于△CED的最大面積？若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）y=﹣x2+3x+8；（2）當(dāng)t=5時，S最大=；（3）P（，﹣）或P（8，0）或P（，）．
【解析】
（1）將點A（0，8）、B（8，0）代入拋物線y=﹣x2+bx+c得：，解得：b=3，c=8，∴拋物線的解析式為：，故答案為：；

（3）由（2）知：當(dāng)t=5時，S最大=，∴當(dāng)t=5時，OC=5，OD=3，∴C（0，5），D（3，0），由勾股定理得：CD=，設(shè)直線CD的解析式為：，將C（0，5），D（3，0），代入上式得：k=，b=5，∴直線CD的解析式為：，過E點作EF∥CD，交拋物線與點P，如圖1，

綜上所述：當(dāng)△CED的面積最大時，在拋物線上存在點P（點E除外），使△PCD的面積等于△CED的最大面積，點P的坐標(biāo)為：P（，）或P（8，0）或P（，）．
考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．二次函數(shù)的最值；3．動點型；4．存在型；5．最值問題；6．分類討論；7．壓軸題．
10．如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點點A（0，8）、B（8，0）和點E，動點C從原點O開始沿OA方向以每秒1個單位長度移動，動點D從點B開始沿BO方向以每秒1個單位長度移動，動點C、D同時出發(fā)，當(dāng)動點D到達(dá)原點O時，點C、D停止運動．

（1）求該拋物線的解析式及點E的坐標(biāo)；
（2）若D點運動的時間為t，△CED的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出△CED的面積的最大值．
【答案】（1）y=﹣x2+3x+8，E（﹣2，0）；（2）當(dāng)t=5時，S最大=．
【解析】
試題分析：（1）將點A（0，8）、B（8，0）代入拋物線y=﹣x2+bx+c即可求出拋物線的解析式為：y=﹣x2+3x+8；再令y=0，得：﹣x2+3x+8=0，解方程可得點E的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)題意得：當(dāng)D點運動t秒時，BD=t，OC=t，然后由點A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，從而可得OD=8﹣t，然后令y=0，點E的坐標(biāo)為（﹣2，0），進(jìn)而可得OE=2，DE=2+8﹣t=10﹣t，然后利用三角形的面積公式即可求△CED的面積S與D點運動時間t的函數(shù)解析式為：S=﹣t2+5t，然后轉(zhuǎn)化為頂點式即可求出最值為：S最大=．

（2）根據(jù)題意得：當(dāng)D點運動t秒時，BD=t，OC=t，
∴OD=8﹣t，
∴DE=OE+OD=10﹣t，
∴S=?DE?OC=?（10﹣t）?t=﹣t2+5t，
即S=﹣t2+5t=﹣（t﹣5）2+，
∴當(dāng)t=5時，S最大=．
考點：二次函數(shù)綜合題．
11．如圖1，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，連結(jié)AC，若
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線對稱軸上有一動點P，當(dāng)時，求出點的坐標(biāo)；
（3）如圖2所示，連結(jié)，是線段上（不與、重合）的一個動點.過點作直線，交拋物線于點，連結(jié)、，設(shè)點的橫坐標(biāo)為．當(dāng)t為何值時，的面積最大？最大面積為多少？

【答案】(1) y=x2-3x+2；；（2）（，）或（，）；（3）t=1時，S△BCN的最大值為1.
【解析】
試題分析：（1）已知了C點的坐標(biāo)，即可得到OC的長，根據(jù)∠OAC的正切值即可求出OA的長，由此可得到A點的坐標(biāo)，將A、C的坐標(biāo)代入拋物線中，即可確定該二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)拋物線的解析式即可確定其對稱軸方程，由此可得到點P的橫坐標(biāo)；若∠APC=90°，則∠PAE和∠CPD是同角的余角，因此兩角相等，則它們的正切值也相等，由此可求出線段PE的長，即可得到點P點的坐標(biāo)；（用相似三角形求解亦可）
（3）根據(jù)B、C的坐標(biāo)易求得直線BC的解析式，已知了點M的橫坐標(biāo)為t，根據(jù)直線BC和拋物線的解析式，即可用t表示出M、N的縱坐標(biāo)，由此可求得MN的長，以MN為底，B點橫坐標(biāo)的絕對值為高，即可求出△BNC的面積（或者理解為△BNC的面積是△CMN和△MNB的面積和），由此可得到關(guān)于S（△BNC的面積）、t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求得S的最大值及對應(yīng)的t的值．

∴拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為y=x2-3x+2；
（2）存在.
過點C作對稱軸l的垂線，垂足為D，如圖所示，

（3）如圖所示，易得直線BC的解析式為：y=-x+2，

∵點M是直線l′和線段BC的交點，
∴M點的坐標(biāo)為（t，-t+2）（0＜t＜2），
∴MN=-t+2-（t2-3t+2）=-t2+2t，
∴S△BCN=S△MNC+S△MNB=MN·t+MN·（2-t），
=MN·（t+2-t）=MN=-t2+2t（0＜t＜2），
∴S△BCN=-t2+2t=-（t-1）2+1，
∴當(dāng)t=1時，S△BCN的最大值為1．
考點：二次函數(shù)綜合題．
12．在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，D 是 AB 的中點，點 E 是邊 AC 上的一動點，點F 是邊 BC 上的一動點．
（1）若 AE=CF，試證明 DE=DF；
（2）在點 E、點 F 的運動過程中，若 DE⊥DF，試判斷 DE 與 DF 是否一定相等？并加以說明．
（3）在（2）的條件下，若 AC=2，四邊形 ECFD 的面積是一個定值嗎？若不是，請說明理由，若是，請直接寫出它的面積．

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析;(3）四邊形 ECFD的面積是一定值1．
【解析】

（2）DE與DF一定相等．
證明：∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中點，
∴∠A=∠DCF=45°，CD=AB=AD，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴DE=DF；

13．如圖，在中，已知，，，直線，動點D從點C開始以每秒2cm的速度運動到B點，動點Ｅ也同時從點C開始沿射線CM方向以每秒1cm的速度運動．
A
Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ｅ
Ｍ

（1）問運動多少秒時，，并說明理由．
（2）設(shè)運動時間為秒，請用含的代數(shù)式來表示的面積．
（3）運動多少秒時，與的面積比為3:1．
【答案】（1）2；（2）9-3x；（3）1．2．
【解析】

（2）過點A作AF⊥BC于點F，
∵，，，
∴AF=3cm．
由（1）得，BD=6-2x，
∴
（3）過點A作AG⊥CM于點G，，可得四邊形AFCG為矩形，
∴AF=AG，
∵，與的面積比為3:1，
∴BD：CE=3：1，
由（1）得，CE=x，BD=6-2x，
∴（6-2x）：x=3：1，
解得x=1．2．
∴運動1．2秒時，與的面積比為3:1．

考點：全等三角形的判定及性質(zhì)；方程思想的運用．
14．在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形如圖放置，點、的坐標(biāo)分別是、，將此平行四邊形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到平行四邊形．

如拋物線經(jīng)過點、、，求此拋物線的解析式；
在情況下，點是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，問：當(dāng)點在何處時，的面積最大？最大面積是多少？并求出此時的坐標(biāo)；
在的情況下，若為拋物線上一動點，為軸上的一動點，點坐標(biāo)為，當(dāng)、、、構(gòu)成以作為一邊的平行四邊形時，求點的坐標(biāo)．
【答案】(1) 拋物線的解析式為：；(2) 當(dāng)時，的面積最大，最大值，的坐標(biāo)為：；(3) 點的坐標(biāo)為：，，，
【解析】
解：∵平行四邊形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到平行四邊形，且點的坐標(biāo)是，
∴點的坐標(biāo)為：，
∵點、的坐標(biāo)分別是、，拋物線經(jīng)過點、、，

連接，設(shè)直線的解析式為：，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為：，
設(shè)點的坐標(biāo)為：，
則，
∴當(dāng)時，的面積最大，最大值，
∴的坐標(biāo)為：；
設(shè)點的坐標(biāo)為，當(dāng)，，，構(gòu)成平行四邊形時，
∵平行四邊形中，點、的坐標(biāo)分別是、，
∴點的坐標(biāo)為，
∵點坐標(biāo)為，為拋物線上一動點，為軸上的一動點，

15．如圖，直線y=﹣x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是第一象限拋物線上的一點，連接PA、PB、PO，
①若△POA的面積是△POB面積的倍．求點P的坐標(biāo)；
②當(dāng)四邊形AOBP的面積最大時，求點P的坐標(biāo)；
（3）點M為直線AB上的動點，點N為拋物線上的動點，當(dāng)以點O、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點M的坐標(biāo)．

【答案】（1）拋物線解析式為；
（2）①P（，1），②P（1，0.5）；
（3）滿足條件的點M的坐標(biāo)（1+，（1﹣））或（1﹣，（1+））或（1，0.5）或M（﹣1-），（3+））或M（﹣1+），（3﹣））；
【解析】

（2）①由（1）知，A（2，0），B（0，1），∴OA=2，OB=1，
由（1）知，拋物線解析式為
∵點P是第一象限拋物線上的一點，
∴設(shè)P（a，﹣a2+a+1），（（a＞0，﹣a2+a+1＞0），
∴S△POA=OA×Py=×2×（﹣a2+a+1）=﹣a2+a+1
S△POB=OB×Px=×1×a=a
∵△POA的面積是△POB面積的倍．
∴﹣a2+a+1=×a，
∴a = 或a=（舍）
∴P（，1）；

（3）即：滿足條件的點M的坐標(biāo)（1+，（1﹣））或（1﹣ ，（1+））或（1，0.5）或M（﹣1-），（3+））或M（﹣1+），（3﹣）；
點睛：本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積，平行四邊形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求拋物線解析式.解答（3）時，注意分類討論.
16如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A （1，0）、B（0，3）及C（3，0）點，動點D從原點O開始沿OB方向以每秒1個單位長度移動，動點E從點C開始沿CO方向以每秒1個長度單位移動，動點D、E同時出發(fā)，當(dāng)動點E到達(dá)原點O時，點D、E停止運動．

（1）求拋物線的解析式及頂點P的坐標(biāo)；
（2）若F（﹣1，0），求△DEF的面積S與E點運動時間t的函數(shù)解析式；當(dāng)t為何值時，△DEF的面積最大？最大面積是多少？
（3）當(dāng)△DEF的面積最大時，拋物線的對稱軸上是否存在一點N，使△EBN是直角三角形？若存在，求出N點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）y=x2﹣4x+3，（2，﹣1）；（2）當(dāng)t=2時，S最大=2；（3）N點的坐標(biāo)（2，2），（2，1），（2，），（2，）．
【解析】
試題分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點坐標(biāo)；
（2）根據(jù)三角形的面積公式，可得函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)勾股定理的逆定理，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得N點坐標(biāo)．

（2）如圖1

由題意，得
CE=t，OE=3﹣t，F(xiàn)E=4﹣t，OD=t．
S=FE?OD=（4﹣t）t=﹣t2+2t=﹣（t﹣2）2+2，
當(dāng)t=2時，S最大=2；

考點：二次函數(shù)綜合題．
17．如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，其對稱軸為．
求拋物線的解析式并寫出其頂點坐標(biāo)；
若動點在第二象限內(nèi)的拋物線上，動點在對稱軸上．
①當(dāng)，且時，求此時點的坐標(biāo)；
②當(dāng)四邊形的面積最大時，求四邊形面積的最大值及此時點的坐標(biāo)．

【答案】，頂點坐標(biāo)為； ①點；②當(dāng)時，，．
【解析】[來源:Z&xx&k.Com]

令，解得或，
∴點，，
作軸于點，
∵點在上，
∴設(shè)點
①∵，且，
∴，
∴，
即，

解得（舍去）或，
∴點；
②設(shè)，則，

∴，
∴當(dāng)時，，此時，
所以．
18．如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過、兩點．
求拋物線的解析式；
如圖，點是直線上方拋物線上的一動點，當(dāng)面積最大時，請求出點的坐標(biāo)和面積的最大值？
在的結(jié)論下，過點作軸的平行線交直線于點，連接，點是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

【答案】（1）；（2）當(dāng)時，即點的坐標(biāo)是時，的面積最大，最大面積是；（3）點的坐標(biāo)是、、．

（2）如圖1，過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F．

∵點E是直線BC上方拋物線上的一動點，∴設(shè)點E的坐標(biāo)是（x，﹣x2+x+3），則點M的坐標(biāo)是（x，﹣x+3），∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，∴S△BEC=S△BEM+S△MEC
==×（﹣x2+x）×4=﹣x2+3x=﹣（x﹣2）2+3
∴當(dāng)x=2時，即點E的坐標(biāo)是（2，3）時，△BEC的面積最大，最大面積是3．
（3）在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形．
①如圖2，由（2），可得點M的橫坐標(biāo)是2．

解得：或．
∵x＜0，∴點P的坐標(biāo)是（﹣3，﹣）．
②如圖3，由（2），可得點M的橫坐標(biāo)是2．

∵點M在直線y=﹣x+3上，∴點M的坐標(biāo)是（2，）．
又∵點A的坐標(biāo)是（﹣2，0），∴AM==，
∴AM所在的直線的斜率是：；

③如圖4，由（2），可得點M的橫坐標(biāo)是2．

∵點M在直線y=﹣x+3上，∴點M的坐標(biāo)是（2，）．

19．如圖，拋物線與坐標(biāo)軸交點分別為，，，作直線BC．
求拋物線的解析式；[來源:Zxxk.Com]
點P為拋物線上第一象限內(nèi)一動點，過點P作軸于點D，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為，求的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；
條件同，若與相似，求點P的坐標(biāo)．

【答案】（1）；（2）；（3）點P的坐標(biāo)為或
【解析】
把，，代入得：，
解得：，，，
拋物線的解析式為；

當(dāng)∽時，，即，
整理得：，
解得：或舍去，
，，
點P的坐標(biāo)為；
當(dāng)∽，則，即，
整理得，
解得：或舍去，
，，
點P的坐標(biāo)為，
綜上所述點P的坐標(biāo)為或
20．如圖，已知拋物線過點A（4，0），B（﹣2，0），C（0，﹣4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在圖甲中，點M是拋物線AC段上的一個動點，當(dāng)圖中陰影部分的面積最小值時，求點M的坐標(biāo)；
（3）在圖乙中，點C和點C1關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，點P在拋物線上，且∠PAB=∠CAC1，求點P的橫坐標(biāo)．

【答案】(1)y＝x2－x－4(2)點M的坐標(biāo)為(2，－4)(3)－或－
【解析】
(1)拋物線的解析式為y＝ (x－4)(x＋2)＝x2－x－4.

即，化簡得＝(8－2n)，
即3n2－6n－24＝8－2n，或3n2－6n－24＝－(8－2n)，
解得n＝－，或n＝－，或n＝4(舍去)，
∴點P的橫坐標(biāo)為－或－.
【點睛】本題考核知識點：二次函數(shù)綜合運用. 解題關(guān)鍵點：熟記二次函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，由所求分析出必知條件.

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