專題13 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問(wèn)題-版突破中考數(shù)學(xué)壓軸之學(xué)霸秘笈大揭秘學(xué)生版+教師版-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專題13 幾何中的最值與定值問(wèn)題【類型綜述】線段和差的最值問(wèn)題，常見(jiàn)的有兩類：第一類問(wèn)題是“兩點(diǎn)之間，線段最短”．兩條動(dòng)線段的和的最小值問(wèn)題，常見(jiàn)的是典型的“牛喝水”問(wèn)題，關(guān)鍵是指出一條對(duì)稱軸“河流”第二類問(wèn)題是“兩點(diǎn)之間，線段最短”結(jié)合“垂線段最短”．【方法揭秘】兩條動(dòng)線段的和的最小值問(wèn)題，常見(jiàn)的是典型的“牛喝水”問(wèn)題，關(guān)鍵是指出一條對(duì)稱軸“河流”（如圖1）．三條動(dòng)線段的和的最小值問(wèn)題，常見(jiàn)的是典型的“臺(tái)球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問(wèn)題，關(guān)鍵是指出兩條對(duì)稱軸“反射鏡面”（如圖2）．兩條線段差的最大值問(wèn)題，一般根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，兩條線段差的最大值就是第三邊的長(zhǎng)．如圖3，PA與PB的差的最大值就是AB，此時(shí)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，即P′．解決線段和差的最值問(wèn)題，有時(shí)候求函數(shù)的最值更方便，本講不涉及函數(shù)最值問(wèn)題．圖1 圖2 圖3如圖4，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，AE平分∠BAC交BC于E．點(diǎn)P在AE上，點(diǎn)Q在AB上，那么△BPQ周長(zhǎng)的最小值是多少呢？如果把這個(gè)問(wèn)題看作“牛喝水”問(wèn)題，AE是河流，但是點(diǎn)Q不確定?。?/span>[來(lái)源:ZXXK]第一步，應(yīng)用“兩點(diǎn)之間，線段最短”．如圖5，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于“河流AE”的對(duì)稱點(diǎn)為F，那么此刻PF＋PQ的最小值是線段FQ．第二步，應(yīng)用“垂線段最短”．如圖6，在點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，FQ的最小值是垂線段FH．這樣，因?yàn)辄c(diǎn)B和河流是確定的，所以點(diǎn)F是確定的，于是垂線段FH也是確定的．圖4 圖5 圖6【典例分析】例1 如圖1，二次函數(shù)y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常數(shù)，且a＞0，m＞0）的圖像與x軸分別交于A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C(0,－3)，點(diǎn)D在二次函數(shù)的圖像上，CD//AB，聯(lián)結(jié)AD．過(guò)點(diǎn)A作射線AE交二次函數(shù)的圖像于點(diǎn)E，AB平分∠DAE．（1）用含m的式子表示a；（2）求證：為定值；（3）設(shè)該二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為F．探索：在x軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)GF，以線段GF、AD、AE的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個(gè)滿足要求的點(diǎn)G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖1例2如圖1，已知拋物線的方程C1： (m＞0)與x軸交于點(diǎn)B、C，與y軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)．（1）若拋物線C1過(guò)點(diǎn)M(2, 2)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求△BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H，使得BH＋EH最小，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖1例3 如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．[來(lái)源:+網(wǎng)Z+X+X+K]（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；圖1 例4如圖1，已知A、B是線段MN上的兩點(diǎn)，，，．以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M，以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)N，使M、N兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)C，構(gòu)成△ABC，設(shè)．（1）求x的取值范圍；（2）若△ABC為直角三角形，求x的值；（3）探究：△ABC的最大面積？圖1例5如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2－2ax－3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l：y＝kx＋b與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD＝4AC．（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若△ACE的面積的最大值為，求a的值；（3）設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖1 備用圖【變式訓(xùn)練】一、單選題1．如圖，已知，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作，是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，則面積的最大值是（）A． B． C． D．2．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，其中AB=4，∠AOC=120°，P為⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，連AP，取AP中點(diǎn)Q，連CQ，則線段CQ的最大值為（　　）A．3 B．1+ C．1+3 D．1+3．如圖，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝3，P 是邊CD 上一點(diǎn)，將△ADP沿直線AP對(duì)折，得到△APQ．當(dāng)射線BQ交線段CD于點(diǎn)F時(shí)，DF的最大值是（）A．3 B．2 C． D．4．如圖，由兩個(gè)長(zhǎng)為，寬為的全等矩形疊合而得到四邊形，則四邊形面積的最大值是（）A．15 B．16 C．19 D．205．如圖，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=135°，點(diǎn)P是菱形內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足，則PC+PD的最小值為（）A． B． C．6 D．6．如圖，在 △ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，點(diǎn)E，F分別在AD，AB是，則BE＋EF的最小值是A．4 B．4.8 C．5 D．5.47．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，D，E是AB和BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD，DE則CD+DE的最小值為（）A．8 B． C． D．二、解答題8．問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：（）如圖①，中，，，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，則的最小值為__________．（）如圖②，矩形中，，，點(diǎn)、點(diǎn)分別在、上，求的最小值．（）如圖③，矩形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn)，把沿翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接、，四邊形的面積是否存在最小值，若存在，求這個(gè)最小值及此時(shí)的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．問(wèn)題提出：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半徑為2，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP、BP，求AP+BP的最小值．（1）嘗試解決：為了解決這個(gè)問(wèn)題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD=1，則有，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫(xiě)出答案：AP+BP的最小值為　　．[來(lái)源:Zxxk.Com]（2）自主探索：在“問(wèn)題提出”的條件不變的情況下，AP+BP的最小值為　　．（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，求2PA+PB的最小值．10．已知二次函數(shù)y=x2+2bx+c（b、c為常數(shù)）．（Ⅰ）當(dāng)b=1，c=﹣3時(shí)，求二次函數(shù)在﹣2≤x≤2上的最小值；（Ⅱ）當(dāng)c=3時(shí)，求二次函數(shù)在0≤x≤4上的最小值；（Ⅲ）當(dāng)c=4b2時(shí)，若在自變量x的值滿足2b≤x≤2b+3的情況下，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為21，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式．11．已知四邊形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3．（1）如圖1，若P為AB邊上一點(diǎn)以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請(qǐng)問(wèn)對(duì)角線PQ的長(zhǎng)是否存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）若P為AB邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)PD到E，使DE=PD，再以PE，PC為邊作平行四邊形PCQE，請(qǐng)問(wèn)對(duì)角線PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出最小值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖2，若P為直線DC上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)PA到E，使AE=AP，以PE、PB為邊作平行四邊形PBQE，請(qǐng)問(wèn)對(duì)角線PQ的長(zhǎng)是否存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 12．（本題滿分分）（）【問(wèn)題】如圖，點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且，．當(dāng)點(diǎn)位于__________時(shí)線段的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為_(kāi)_________（用含、的式子表示）．（）【應(yīng)用】點(diǎn)為線段除外一動(dòng)點(diǎn)，且，．如圖所示，分別以、為邊，作等邊三角形和等邊三角形，連接、．①請(qǐng)找出圖中與相等的線段，并說(shuō)明理由．②直接寫(xiě)出線段長(zhǎng)的最大值．（）【拓展】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且，，．請(qǐng)直接寫(xiě)出線段長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．13．如圖，已知中，，邊上的高，四邊形為內(nèi)接矩形．當(dāng)矩形是正方形時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)．設(shè)，矩形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)為何值時(shí)有最大值，并求出最大值．14．如圖，拋物線與坐標(biāo)軸相交于、、三點(diǎn)，是線段上一動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），過(guò)作，交于點(diǎn)，連接．直接寫(xiě)出、、的坐標(biāo)；[來(lái)源:Zxxk.Com]求拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；求面積的最大值，并判斷當(dāng)的面積取最大值時(shí)，以、為鄰邊的平行四邊形是否為菱形．15．如圖，拋物線過(guò)O、A、B三點(diǎn)，A（4,0）B（1，-3），P為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線y=x+m與對(duì)稱軸交于點(diǎn)Q.（1）直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)，并求出拋物線的解析式.（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)C(2,2)的直線AC與直線PQ交于點(diǎn)D，求： PD+DQ的最大值；②PD.DQ的最大值.16．問(wèn)題提出（1）如圖1，點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a，AB=b，填空：當(dāng)點(diǎn)A位于　　時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為　　（用含a，b的式子表示）．問(wèn)題探究（2）點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=6，AB=3，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE，找出圖中與BE相等的線段，請(qǐng)說(shuō)明理由，并直接寫(xiě)出線段BE長(zhǎng)的最大值．問(wèn)題解決：（3）①如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，求線段AM長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．②如圖4，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=4，若對(duì)角線BD⊥CD于點(diǎn)D，請(qǐng)直接寫(xiě)出對(duì)角線AC的最大值．17．如圖14，是的直徑，，連接．（1）求證：；（2）若直線為的切線，是切點(diǎn)，在直線上取一點(diǎn)，使所在的直線與所在的直線相交于點(diǎn)，連接．①試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．18.如圖，動(dòng)點(diǎn)在以為圓心，為直徑的半圓弧上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)及的中點(diǎn)重合），連接.過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，以為邊在半圓同側(cè)作正方形，過(guò)點(diǎn)作的切線交射線于點(diǎn)，連接、.（1）探究：如左圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)；①判斷是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由； [來(lái)源:Zxxk.Com]②設(shè)，是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；③設(shè)，是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）拓展：如右圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)；分別判斷（1）中的三個(gè)結(jié)論是否保持不變？如有變化，請(qǐng)直接寫(xiě)出正確的結(jié)論.（均不必說(shuō)明理由）19.已知拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）P(m，t)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.①當(dāng)點(diǎn)落在該拋物線上時(shí)，求的值；②當(dāng)點(diǎn)落在第二象限內(nèi)，取得最小值時(shí)，求的值.20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，與過(guò)點(diǎn)的直線相交于另一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為.（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)、重合），過(guò)作軸，交直線于，交拋物線于點(diǎn)，連接，求面積的最大值；（3）若是軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)的長(zhǎng)為，是否存在，使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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