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專題2 因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題
【類型綜述】
數(shù)學因運動而充滿活力，數(shù)學因變化而精彩紛呈，動態(tài)幾何問題是近年來中考的熱點問題，以運動的觀點來探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，動態(tài)問題的解答，一般要將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題，抓住運動過程中的不變量，利用不變的關(guān)系和幾何性質(zhì)建立關(guān)于方程（組）、函數(shù)關(guān)系問題，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。
在動態(tài)問題中，動點形成的等腰三角形問題是常見的一類題型，可以與旋轉(zhuǎn)、平移、對稱等幾何變化相結(jié)合，也可以與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象相結(jié)合，從而產(chǎn)生數(shù)與形的完美結(jié)合.解決動點產(chǎn)生的等腰三角形問題的重點和難點在于應用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想進行準確的分類.
【方法揭秘】
我們先回顧兩個畫圖問題：
1．已知線段AB＝5厘米，以線段AB為腰的等腰三角形ABC有多少個？頂點C的軌跡是什么？[來源:Z.X.X.K]
2．已知線段AB＝6厘米，以線段AB為底邊的等腰三角形ABC有多少個？頂點C的軌跡是什么？
已知腰長畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，圓上除了兩個點以外，都是頂點C．
已知底邊畫等腰三角形，頂角的頂點在底邊的垂直平分線上，垂足要除外．
在討論等腰三角形的存在性問題時，一般都要先分類．
如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況．
解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快．
幾何法一般分三步：分類、畫圖、計算．哪些題目適合用幾何法呢？
如果△ABC的∠A（的余弦值）是確定的，夾∠A的兩邊AB和AC可以用含x的式子表示出來，那么就用幾何法．
①如圖1，如果AB＝AC，直接列方程；②如圖2，如果BA＝BC，那么；③如圖3，如果CA＝CB，那么．
代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗．
如果三角形的三個角都是不確定的，而三個頂點的坐標可以用含x的式子表示出來，那么根據(jù)兩點間的距離公式，三邊長（的平方）就可以羅列出來．

圖1 圖2 圖3
【典例分析】
例1 ．如圖，拋物線y=ax2-2ax+b經(jīng)過點C（0，-），且與x軸交于點A、點B，若tanACO=．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點為M，點P是線段OB上一動點（不與點B重合），MPQ=45，射線PQ與線段BM交于點Q，當△MPQ為等腰三角形時，求點P的坐標．
思路點撥

（2）由y=x2-x-=(x-1)2-2，可得M(-1,-2)，令y=x2-x-=0，得x1=-1,x2=3，從而可得B(3,0)，如圖，作MH⊥OB于點H，則MH=BH=2，可推導得出△MPQ∽△MBP，從而可得當△MPQ為等腰三角形時，△MBP也為等腰三角形，然后分情況進行討論即可得.

滿分解答
（1）∵C（0，），∴OC=.
∵tanACO=，∴OA=1.∴A(-1，0).
∵點A,C在拋物線y=ax2-2ax+b上，
∴，解得，
∴此拋物線的解析式為y=x2-x-；

∴P(3-,0)，
綜上所述，當△MPQ為等腰三角形時，點P的坐標為(1，0)或(3-,0).

例2如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設點P是直線l上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標；
（3）在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

圖1
思路點撥
1．第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點P在線段BC上時△PAC的周長最?。?br /> 2．第（3）題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性．
滿分解答

所以點P的坐標為(1, 2)．

圖2
（3）點M的坐標為(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)．
考點伸展
第（3）題的解題過程是這樣的：
設點M的坐標為(1,m)．
在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．
①如圖3，當MA＝MC時，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．
此時點M的坐標為(1, 1)．
②如圖4，當AM＝AC時，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得．
此時點M的坐標為(1,)或(1,)．
③如圖5，當CM＝CA時，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．
當M(1, 6)時，M、A、C三點共線，所以此時符合條件的點M的坐標為(1,0)．

圖3 圖4 圖5
例3 如圖1，點A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．
（1）求點B的坐標；
（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；
（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

圖1
思路點撥
1．用代數(shù)法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據(jù)兩點間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗．
2．本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點P重合在一起．
滿分解答

（3）拋物線的對稱軸是直線x＝2，設點P的坐標為(2, y)．
①當OP＝OB＝4時，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．
當P在時，B、O、P三點共線（如圖2）．
②當BP＝BO＝4時，BP2＝16．所以．解得．
③當PB＝PO時，PB2＝PO2．所以．解得．
綜合①、②、③，點P的坐標為，如圖2所示．

圖2 圖3

考點伸展
如圖3，在本題中，設拋物線的頂點為D，那么△DOA與△OAB是兩個相似的等腰三角形．
由，得拋物線的頂點為．
因此．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．
例4 如圖1，已知一次函數(shù)y＝－x＋7與正比例函數(shù) 的圖象交于點A，且與x軸交于點B．
（1）求點A和點B的坐標；
（2）過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作直線l//y軸．動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿O—C—A的路線向點A運動；同時直線l從點B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BA或線段AO于點Q．當點P到達點A時，點P和直線l都停止運動．在運動過程中，設動點P運動的時間為t秒．
①當t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？
②是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

思路點撥
1．把圖1復制若干個，在每一個圖形中解決一個問題．
2．求△APR的面積等于8，按照點P的位置分兩種情況討論．事實上，P在CA上運動時，高是定值4，最大面積為6，因此不存在面積為8的可能．
3．討論等腰三角形APQ，按照點P的位置分兩種情況討論，點P的每一種位置又要討論三種情況．
滿分解答


圖2 圖3 圖4
②我們先討論P在OC上運動時的情形，0≤t＜4．
如圖1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．
如圖4，點P由O向C運動的過程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x軸．
因此∠AQP＝45°保持不變，∠PAQ越來越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情況．
此時點A在PQ的垂直平分線上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．
我們再來討論P在CA上運動時的情形，4≤t＜7．
在△APQ中， 為定值，，．
如圖5，當AP＝AQ時，解方程，得．
如圖6，當QP＝QA時，點Q在PA的垂直平分線上，AP＝2(OR－OP)．解方程，得．



圖5 圖6 圖7
考點伸展
當P在CA上，QP＝QA時，也可以用來求解．
例5 如圖1，在△ABC中，ACB＝90°，∠BAC＝60°，點E是∠BAC的平分線上一點，過點E作AE的垂線，過點A作AB的垂線，兩垂線交于點D，連接DB，點F是BD的中點，DH⊥AC，垂足為H，連接EF，HF．
（1）如圖1，若點H是AC的中點，AC＝，求AB、BD的長；
（2）如圖1，求證：HF＝EF．
（3）如圖2，連接CF、CE，猜想：△CEF是否是等邊三角形？若是，請證明；若不是，請說明理由．

圖1 圖2
思路點撥
1．把圖形中所有30°的角都標注出來，便于尋找等角和等邊．
2．中點F有哪些用處呢？聯(lián)想到斜邊上的中線和中位線就有思路構(gòu)造輔助線了．
滿分解答


圖3 圖4 圖5
（3）如圖5，作FM⊥AB于M，聯(lián)結(jié)CM．
由FM//DA，F(xiàn)是DB的中點，得M是AB的中點．
因此FM＝，△ACM是等邊三角形．
又因為AE＝，所以FM＝EA．
又因為CM＝CA，∠CMF＝∠CAE＝30°，所以△CMF≌△CAE．
所以∠MCF＝∠ACE，CF＝CE．
所以∠ECF＝∠ACM＝60°．所以△CEF是等邊三角形．
考點伸展
我們再看幾個特殊位置時的效果圖，看看有沒有熟悉的感覺．
如圖6，如圖7，當點F落在BC邊上時，點H與點C重合．

圖6 圖7
如圖8，圖9，點E落在BC邊上．如圖10，圖11，等腰梯形ABEC．

圖8 圖9 圖10 圖11[來源:Zxxk.Com]

例6如圖1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點P以每秒1個單位的速度從A向C運動，同時點Q以每秒2個單位的速度從A→B→C方向運動，它們到C點后都停止運動，設點P、Q運動的時間為t秒．
（1）在運動過程中，求P、Q兩點間距離的最大值；
（2）經(jīng)過t秒的運動，求△ABC被直線PQ掃過的面積S與時間t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）P，Q兩點在運動過程中，是否存在時間t，使得△PQC為等腰三角形．若存在，求出此時的t值，若不存在，請說明理由．（，結(jié)果保留一位小數(shù)）

圖1
思路點撥
1．過點B作QP的平行線交AC于D，那么BD的長就是PQ的最大值．
2．線段PQ掃過的面積S要分兩種情況討論，點Q分別在AB、BC上．
3．等腰三角形PQC分三種情況討論，先羅列三邊長．
滿分解答


圖2 圖3 圖4
（2）①如圖2，當點Q在AB上時，0＜t≤5，S△ABD＝15．
由△AQP∽△ABD，得．所以S＝S△AQP＝＝．
②如圖3，當點Q在BC上時，5＜t≤8，S△ABC＝24．
因為S△CQP＝＝＝，
所以S＝S△ABC－S△CQP＝24－(t－8)2＝－t2＋16t－40．
（3）如圖3，當點Q在BC上時，CQ＝2CP，∠C＝90°，所以△PQC不可能成為等腰三角形．
當點Q在AB上時，我們先用t表示△PQC的三邊長：易知CP＝8－t．
如圖2，由QP//BD，得，即．所以．
如圖4，作QH⊥AC于H．在Rt△AQH中，QH＝AQ sin∠A＝，AH＝．
在Rt△CQH中，由勾股定理，得CQ＝＝．


圖5 圖6 圖7

考點伸展
第（1）題求P、Q兩點間距離的最大值，可以用代數(shù)計算說理的方法：
① 如圖8，當點Q在AB上時，PQ＝＝＝．
當Q與B重合時，PQ最大，此時t＝5，PQ的最大值為．
②如圖9，當點Q在BC上時，PQ＝＝＝．
當Q與B重合時，PQ最大，此時t＝5，PQ的最大值為．
綜上所述，PQ的最大值為．[來源:ZXXK]

圖8 圖9
【變式訓練】
1．如圖，坐標平面內(nèi)一點A(2，－1)，O為原點，P是x軸上的一個動點，如果以點P、O、A為頂點的三角形是等腰三角形，那么符合條件的動點P的個數(shù)為( )

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
【答案】C

2．在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），點B（5，0），有一動點P在直線AB上，△APO是等腰三角形，則滿足條件的點P共有（ ）
A﹒2個 B﹒3個 C﹒4個 D﹒5個
【答案】C
【解析】試題解析：如圖，（1）AP1=AO；（2）AP2=AO；（3）OA=OP3；（4）AP4=OP4.

因此，滿足條件的點P共有4個.
故選C.
3．如圖，點A、B、P在⊙O上，且∠APB=50°。若點M是⊙O上的動點，要使△ABM為等腰三角形，則所有符合條件的點M有 ( )

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【解析】
類推論：當MA=MB，則M為AB的垂直平分與圓的兩交點，這時兩個等腰三角形的頂角分別為50°，130°；當AM=AB，以A為圓心，AB為半徑交⊙O于M，此時等腰三角形只有一個，且底角為50°；同理當BM=BA，滿足條件的等腰三角形也只有一個．
解：△ABM為等腰三角形，當MA=MB，則M為AB的垂直平分與圓的兩交點，
這時兩個等腰三角形的頂角分別為50°，130°，如圖；


4．如圖，等腰三角形的面積是16，且底邊長為4，腰的垂直平分線分別交邊于點.若點為邊的中點，點為線段上一動點，則周長的最小值是( )

A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】
連接AD，


故選C.
5．如圖， 是⊙的直徑， 是弦， ， ．若點是直徑上一動點，當 是等腰三角形時， __________ ．

【答案】、或
【解析】解：①為頂點即時，

，
，
．


③為頂點即時， 與重合，
∴．

綜上為， 或．
故答案為： ， 或．
6．如圖，已知點P是射線ON上一動點（即P可在射線ON上運動），∠AON＝30°，當∠A＝______________?時，△AOP為等腰三角形．

【答案】30°或75°或120°
【解析】試題解析：當點O為等腰三角形頂點時，∠A=75°，
當點A為等腰三角形頂點時，∠A=120°，
當點P為頂點時，∠A=30°，
故答案為30°或75°或120°．
7．如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+4與y軸交于點C，點D（0，2），點M是拋物線上的動點．若△MCD是以CD為底的等腰三角形，則點M的坐標為_____．

【答案】（1+，3）或（1﹣，3）
【解析】


拋物線與y軸交于點C，
C(0,4),且D(0,2)，
E點坐標為(0,3)，
M點縱坐標為3，
在中,令,可得,解得，
M點坐標為或，
故答案為：或.
8．如圖，正方形ABCD的邊長是16，點E在邊AB上，AE=3，點F是邊BC上不與點B、C重合的一個動點，把△EBF沿EF折疊，點B落在B′處，若△CDB′恰為等腰三角形，則DB′的長為 .

【答案】16或4.
【解析】

（3）當CB′=CD時，∵EB=EB′，CB=CB′，∴點E、C在BB′的垂直平分線上，∴EC垂直平分BB′，由折疊可知點F與點C重合，不符合題意，舍去．
綜上所述，DB′的長為16或．故答案為：16或．

考點：1．翻折變換（折疊問題）；2．分類討論．
9．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC是矩形，點B的坐標為（5，4），點P為線段BC上動點，當△POA為等腰三角形時，點p坐標為______________．

【答案】（2．5，4），（3，4），（2，4）．
【解析】

考點：1．矩形的性質(zhì)；2．坐標與圖形性質(zhì)；3．等腰三角形的性質(zhì)；4．勾股定理．
10．如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點在軸正半軸上，邊，（）的長分別是方程的兩個根，是邊上的一動點（不與A、B重合）.
（1）填空：AB=　 　，OA=　 ?。?br /> （2）若動點D滿足△BOC與△AOD相似，求直線的解析式.
（3）若動點D滿足，且點為射線上的一個動點，當△PAD是等腰三角形時，直接寫出點的坐標．

【答案】（1）8,3;(2) ; (3) 點的坐標為(0,0)，，，．
【解析】

②若△BOC∽△ODA，可得AD=8（與題意不符，舍去），
設直線解析式為，則，
解得：，
∴直線的解析式為．
（3）∵AD+DB=AB=8， ，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
根據(jù)△PAD是等腰三角形，分以下4種情況討論：
①如下圖所示，
當時，點的坐標為；

③如下圖所示，當時，，
∴△ADP3是等腰直角三角形，
∴，
∴，[來源:]
過作軸的垂線，垂足為，則△OP3F是等腰直角三角形，
∴，
∴點的坐標為；
④如下圖所示，當時，，
過作軸的垂線，垂足為，則是等腰直角三角形，
∴，
∴點的坐標為；

綜上所述，當△PAD是等腰三角形時，點的坐標為，，，．
11．如圖，直線：交、軸分別為、兩點，點與點關(guān)于軸對稱．動點、分別在線段、上（點不與點、重合），滿足.

（1）點坐標是　 　，　 ?。?br /> （2）當點在什么位置時，，說明理由．
（3）當為等腰三角形時，求點的坐標．
【答案】（1），10；（2）當?shù)淖鴺耸菚r，；（3）當為等腰三角形時，點的坐標是或．
【解析】
解：（1）∵，∴當時，，當時，，即的坐標是，的坐標是，∵點與點關(guān)于軸對稱，∴的坐標是，∴，，，
由勾股定理得：，故答案為：，10．
（2）當?shù)淖鴺耸菚r，，理由是：∵，，∴，∵，，，∴，
∵和關(guān)于軸對稱，∴，
在和中，，∴，∴當?shù)淖鴺耸菚r，．

12．如圖，已知拋物線（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三點，直線l是拋物線的對稱軸．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設點P是直線l上的一個動點，當點P到點A、點B的距離之和最短時，求點P的坐標；
（3）點M也是直線l上的動點，且△MAC為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標．
【答案】（1）；（2）P（1，0）；（3）．
【解析】

（3）如圖所示：拋物線的對稱軸為：x==1，設M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，﹣3），則：
=，==，=10；
①若MA=MC，則，得：=，解得：m=﹣1；
②若MA=AC，則，得：=10，得：m=；
③若MC=AC，則，得：=10，得：，；
當m=﹣6時，M、A、C三點共線，構(gòu)不成三角形，不合題意，故舍去；
綜上可知，符合條件的M點，且坐標為 M（1，）（1，）（1，﹣1）（1，0）．

考點：二次函數(shù)綜合題；分類討論；綜合題；動點型．
13．在中，，，，⊙的半徑長為1，⊙交邊于點，
點是邊上的動點．
（1）如圖1，將⊙繞點旋轉(zhuǎn)得到⊙，請判斷⊙與直線的位置關(guān)系；（4分）
（2）如圖2，在（1）的條件下，當是等腰三角形時，求的長； （5分）
（3）如圖3，點是邊上的動點，如果以為半徑的⊙和以為半徑的⊙外切，設，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及定義域．（5分）．

【答案】（1）⊙與直線相離（2）或．（3），定義域為：＜＜
【解析】

∴＞（1分）
∴⊙與直線相離． （1分）
解：（2）分三種情況：
∵＞，
∴＞； （1分）
當時，易得，
∴，
∴，
∴； （2分）
當時，過點作，垂足為．
∴，
∴，
∴． （2分）
綜合，當是等腰三角形時，的長為或．

即；
∴； （2分）
定義域為：＜＜．

14．如圖，已知一次函數(shù)的圖像與x軸交于A（-6,0）與y軸相交于點B，動點P從A出發(fā)，沿x軸向x軸的正方向運動.
（1）求b的值，并求出△PAB為等腰三角形時點P的坐標；
（2）在點P出發(fā)的同時，動點Q也從點A出發(fā)，以每秒個單位的速度，沿射線AB運動，運動時間為t（s）；
①點Q的坐標（用含t的表達式表示）；
②若點P的運動速度為每秒k個單位，請直接寫出當△APQ為等腰三角形時k的值.

【答案】（1）解：當為等腰三角形時點 的坐標為：或或；（2）① ，②的值分別為：、6、．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法把點A坐標代入一次函數(shù)解析式，即可求出b的值；若，需分、、三種情況分類討論；
（2）①設Q點橫坐標為a,因為Q點在射線AB上，所以橫坐標為，即，作 軸于點 ，則 ，，所以，又因為，所以，解得，表示出．②AP=tk,分AP=AQ,AP=PQ,AQ=AP三種情況即可解答,
【詳解】

∴；
綜上，當為等腰三角形時點 的坐標為：或或．
（2）①解：設，作 軸于點 ，


15．如圖，拋物線經(jīng)過點，且與軸交于點、點，若．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點為，點是線段上一動點（不與點重合），，射線與線段交于點，當△為等腰三角形時，求點的坐標．
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
試題分析：（1）由和求出點的坐標，從而根據(jù)曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，列方程組求出，得到此拋物線的解析式.
（2）分，，三種情況討論即可.
試題解析：（1）∵，∴.
∵，∴.∴.
∵點在拋物線上，
∴，解得.
∴此拋物線的解析式為.

③當時，，
∴.
綜上所述，當△為等腰三角形時，點的坐標為或.

考點：1.銳角三角函數(shù)定義；2. 曲線上點的坐標與方程的關(guān)系；3.二次函數(shù)的性質(zhì)；4. 等腰三角形的性質(zhì)；5.分類思想的應用.
16．如圖，已知：二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標為（﹣3，0），與y軸交于點C，點D（﹣2，﹣3）在拋物線上．
（1）求拋物線的表達式；
（2）拋物線的對稱軸上有一動點P，求出PA+PD的最小值；
（3）若拋物線上有一動點M，使△ABM的面積等于△ABC的面積，求M點坐標．
（4）拋物線的對稱軸上是否存在動點Q，使得△BCQ為等腰三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）；（3）點M的坐標為（﹣1﹣，3），（﹣1+，3），（﹣2，﹣3）；（4）存在；點Q的坐標為（﹣1，），（﹣1，﹣），（﹣1，0），（﹣1，﹣6），（﹣1，﹣1）．
【解析】
解：（1）將A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得：
，解得：，
∴拋物線的表達式為y＝x2+2x﹣3．
（2）當y＝0時，x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴點B的坐標為（1，0）．
連接BD，交拋物線的對稱軸于點P，如圖1所示．


（3）當x＝0時，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，
∴點C的坐標為（0，﹣3）．
設點M的坐標為（x，x2+2x﹣3）．
∵S△ABM＝S△ABC，
∴|x2+2x﹣3|＝3，即x2+2x﹣6＝0或x2+2x＝0，
解得：x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+，x3＝﹣2，x4＝0（舍去），
∴點M的坐標為（﹣1﹣，3），（﹣1+，3），（﹣2，﹣3）．
（4）設點Q的坐標為（﹣1，m）．
∵點B的坐標為（1，0），點C的坐標為（0，﹣3），
∴CQ2＝（﹣1﹣0）2+[m﹣（﹣3）]2＝m2+6m+10，BQ2＝（﹣1﹣1）2+（m﹣0）2＝m2+4，BC2＝（0﹣1）2+（﹣3﹣0）2＝10．
分三種情況考慮（如圖2所示）：


綜上所述：拋物線的對稱軸上存在動點Q，使得△BCQ為等腰三角形，點Q的坐標為（﹣1，），（﹣1，﹣），（﹣1，0），（﹣1，﹣6），（﹣1，﹣1）．
17.如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點、，點坐標為．
求該拋物線的解析式；
拋物線的頂點為，在軸上找一點，使最小，并求出點的坐標；
點是線段上的動點，過點作，交于點，連接．當?shù)拿娣e最大時，求點的坐標；
若平行于軸的動直線與該拋物線交于點，與直線交于點，點的坐標為．問：是否存在這樣的直線，使得是等腰三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）；（2）點的坐標為；（3）；（4）的坐標為：或或或．
【解析】

由可求得拋物線頂點為，
如圖，作點關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于點，則點即為所求，

設直線的解析式為，
把、點坐標代入可得，解得，
∴直線的解析式為，
令，解得，
∴點的坐標為；
設點，過點作軸于點，如圖，


∴．
又∵，
∴當時，有最大值，此時；
存在．在中，

若，過點作軸于點．

由等腰三角形的性質(zhì)得：，
∴．
∴在等腰直角中，．
∴．
由，得，．
此時，點的坐標為：或；

綜上所述，存在這樣的直線，使得是等腰三角形．所求點的坐標為：或或或．
18．如圖1,在平面直角坐標系中,直線與拋物線交于兩點，其中,.該拋物線與軸交于點,與軸交于另一點.

(1)求的值及該拋物線的解析式;
(2)如圖2.若點為線段上的一動點(不與重合).分別以、為斜邊,在直線的同側(cè)作等腰直角△和等腰直角△,連接,試確定△面積最大時點的坐標.
(3)如圖3.連接、,在線段上是否存在點,使得以為頂點的三角形與△相似,若存在,請直接寫出點的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】（1）；（2）當，即時，最大，此時,所以；（3）存在點坐標為或.
【解析】
（1）把A（m，0），B（4，n）代入y=x﹣1得：m=1，n=3，∴A（1，0），B（4，3）．
∵y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A與點B，∴，解得：，則二次函數(shù)解析式為y=﹣x2+6x﹣5；

（3）存在，易得直線CD解析式為y=x﹣5，設Q（x，x﹣5），由題意得：∠BAD=∠ADC=45°，分兩種情況討論：
①當△ABD∽△DAQ時，=，即=，解得：AQ=，由兩點間的距離公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2=，解得：x=，此時Q（，﹣）；
②當△ABD∽△DQA時，=1，即AQ=，∴（x﹣1）2+（x﹣5）2=10，解得：x=2，此時Q（2，﹣3）．
綜上，點Q的坐標為（2，﹣3）或（，﹣）．
點睛：本題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，兩點間的距離公式，熟練掌握各自的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
19．如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點A（0，3)、B（1，0），其對稱軸為直線l：x=2，過點A作AC∥x軸交拋物線于點C，∠AOB的平分線交線段AC于點E，點P是拋物線上的一個動點，設其橫坐標為m.[來源:Z*X*X*K]

（1）求拋物線的解析式；
（2）若動點P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當m為何值時，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；
（3）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）當m=時，四邊形AOPE面積最大，最大值為.（3）P點的坐標為 ：P1（，），P2（，），P3（，），P3（，）.
【解析】
（1）如圖1，設拋物線與x軸的另一個交點為D，

由對稱性得：D（3，0），
設拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3），
把A（0，3）代入得：3=3a，
a=1，
∴拋物線的解析式；y=x2-4x+3；
（2）如圖2，設P（m，m2-4m+3），

∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠AOE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE=OA=3，
∴E（3，3），

∵-＜0，
∴當m=時，S有最大值是；
（3）如圖3，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，


∴P的坐標為（，）或（，）；
如圖4，過P作MN⊥x軸于N，過F作FM⊥MN于M，

同理得△ONP≌△PMF，
∴PN=FM，
則-m2+4m-3=m-2，
解得：x=或；
P的坐標為（，）或（，）；
綜上所述，點P的坐標是：（，）或（，）或（，）或（，）．
20．如圖，直線y=﹣x﹣4與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點，其中A，B兩點的橫坐標分別為﹣1和﹣4，且拋物線過原點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在坐標軸上是否存在點C，使△ABC為等腰三角形？若存在，求出點C的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）若點P是線段AB上不與A，B重合的動點，過點P作PE∥OA，與拋物線第三象限的部分交于一點E，過點E作EG⊥x軸于點G，交AB于點F，若S△BGF=3S△EFP，求的值．

【答案】（1）拋物線解析式為y=x2+4x；（2）存在滿足條件的點C，其坐標為（0，﹣3﹣）或（0，﹣3﹣）或（﹣4+3，0）或（﹣4﹣3，0）或（﹣1，0）或（0，1）或（2，0）或（0， ）或（0，﹣）；（3）．
【解析】
（1）∵A，B兩點在直線y=﹣x﹣4上，且橫坐標分別為﹣1、﹣4，
∴A（﹣1，﹣3），B（﹣4，0），
∵拋物線過原點，
∴c=0，
把A、B兩點坐標代入拋物線解析式可得 ，解得 ，
∴拋物線解析式為y=x2+4x；

②當AB=BC時，當點C在x軸上，設C（x，0），
則有AB=3，BC=|x+4|，
∴|x+4|=3，解得x=﹣4+3或x=﹣4﹣3，
∴C（﹣4+3，0）或（﹣4﹣3，0）；
當點C在y軸上，設C（0，y），則BC=，
∴=3，解得y=或y=﹣，
∴C（0， ）或（0，﹣）；
③當CB=CA時，則點C在線段AB的垂直平分線與y軸的交點處，
∵A（﹣1，﹣3），B（﹣4，0），
∴線段AB的中點坐標為（﹣，﹣），
設線段AB的垂直平分線的解析式為y=x+d，
∴﹣=﹣+d，解得d=1，
∴線段AB的垂直平分線的解析式為y=x+1，
令x=0可得y=1，令y=0可求得x=﹣1，
∴C（﹣1，0）或（0，1）；
綜上可知存在滿足條件的點C，其坐標為（0，﹣3﹣）或（0，﹣3﹣）或（﹣4+3，0）或（﹣4﹣3，0）或（﹣1，0）或（0，1）或（2，0）或（0， ）或（0，﹣）；
（3）過點P作PQ⊥EF，交EF于點Q，過點A作AD⊥x軸于點D，


∴GE=GF+4PQ，
∵S△BGF=3S△EFP，
∴GF2=3××4PQ2，
∴GF=2 PQ，
∴．

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