1．（3分）下列根式中是最簡二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．x＜B．x＜2C．x≥D．x≤
3．（3分）滿足下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝2：4：6B．AC＝，BC＝，AB＝
C．AC＝6，BC＝8，AB＝10D．AC＝1，BC＝2，AB＝
4．（3分）在平行四邊形ABCD中，∠B+∠D＝100°，則∠A等于（ ）
A．50°B．130°C．100°D．65°
5．（3分）直線y＝3x+2與y軸的交點坐標為（ ）
A．（0，3）B．（﹣，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）
6．（3分）若+|2a﹣b+1|＝0，則（b﹣a）2021＝（ ）
A．﹣1B．1C．52021D．﹣52021
7．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＜BC，分別以頂點A、B為圓心，大于AB的長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點M、N作直線MN交邊CB于點D．若AD＝5，CD＝3，則AB的長是（ ）
A．10B．8C．12D．4
8．（3分）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，AC＝10，F(xiàn)是DE上一點，連接AF，CF，DF＝1．若∠AFC＝90°，則BC的長度為（ ）
A．10B．12C．14D．16
9．（3分）如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為9、3和1，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物．則這只螞蟻沿著臺階面爬行的最短路程是（ ）
A．18B．15C．12D．8
10．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E從A點出發(fā)，沿著AB→BC→CD的方向勻速運動到D點停止．在這個運動過程中，下列圖象可以大致表示△AED的面積S隨E點運動時間t的變化而變化的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題（本大題7小題，每小題4分，共28分）請將下列各題的正確答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上
11．（4分）計算：＝ ．
12．（4分）如果正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，4），那么這個函數(shù)的解析式為 ．
13．（4分）如圖是馬口生態(tài)公園的一角，有人為了抄近道而避開橫平豎直的路的拐角∠ABC，而走“捷徑AC”，于是在草坪內(nèi)走出了一條不該有的“路AC”．已知AB＝40米，BC＝30米，他們踩壞草坪，只為少走 米的路．
14．（4分）已知最簡二次根式與可以合并，則a+b的值為 ．
15．（4分）點P（a，b）在函數(shù)y＝﹣3x+2的圖象上，則代數(shù)式9a+3b﹣1的值等于 ．
16．（4分）在彈性限度內(nèi)，彈簧的長度y（cm）是所掛物體質(zhì)量x（kg）的一次函數(shù)．一根彈簧不掛物體時長15cm；當所掛物體的質(zhì)量為5kg時，彈簧長20cm．所掛物體質(zhì)量為8kg時彈簧的長度是 cm．
17．（4分）如圖，正方形ABCD中，AD＝4+2，已知點E是邊AB上的一動點（不與A、B重合）將△ADE沿DE對折，點A的對應(yīng)點為P，當PA＝PB時，則線段AE＝ ．
三、解答題（）（3本大題3小題，每小題6分，共18分）
18．（6分）計算：．
19．（6分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是邊BC上一點，且DE＝DC．求證：AD＝BE．
20．（6分）如圖，臺風過后，某市體育中心附近一棵大樹在高于地面3米處折斷，大樹頂部落在距離大樹底部4米處的地面上．求這棵樹折斷之前的高度．
四、解答題（二）（本大題3小題，每小題8分，共24分）
21．（8分）在“慈善一日捐”活動中，為了解某校學(xué)生的捐款情況，抽樣調(diào)查了該校部分學(xué)生的捐款數(shù)（單位：元），并繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖．
（1）本次調(diào)查的人數(shù)是 ；
（2）這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為 元，中位數(shù)為 元；
（3）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
22．（8分）某快遞公司每天上午9：00～10：00為集中攬件和派件時段，甲倉庫用來攬收快件，乙倉庫用來派發(fā)快件，y（件）與時間x（分）之間的函數(shù)圖象如圖所示，
（1）求出甲倉庫攬收快件y（件）與時間x（分）之間的函數(shù)解析式；
（2）若已知乙倉庫用來派發(fā)快件y（件）與時間x（分）之間的函數(shù)解析式是y＝﹣4x+240（0＜x＜60），問經(jīng)過多少分鐘時，兩倉庫快遞件數(shù)相同，都是多少件？
23．（8分）為了響應(yīng)“足球進學(xué)?！钡奶栒?，某學(xué)校準備到體育用品批發(fā)市場購買A型號與B型號兩種足球，其中A型號足球的批發(fā)價是每個200元，B型號足球的批發(fā)價是每個250元，該校需購買A，B兩種型號足球共100個．
（1）若該校購買A，B兩種型號足球共用了22000元，則分別購買兩種型號足球多少個？
（2）若該校計劃購進A型號足球的數(shù)量不多于B型號足球數(shù)量的9倍，請求出最省錢的購買方案，并說明理由．
五、解答題（三）（本大題2小題，每小題10分，共20分）
24．（10分）如圖，直線y＝x﹣2與x軸y軸分別交于A、B兩點在y軸上有一點C（0，4），D是OA上一點．
（1）點A的坐標： ；點B的坐標 ；
（2）若△COD≌△AOB，求直線CD的表達式；
（3）在（2）的條件下，x軸上是否存在點P，使得△PCD是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
25．（10分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，作DE∥BC交AC于點E，連接BE．
（1）求證：△ADE≌△ABE；
（2）求證：四邊形DEBC是菱形；
（3）若∠CDE＝2∠EDA，CE＝2，求AD的長．
2020-2021學(xué)年廣東省肇慶市封開縣八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題10小題，每小題3分，共30分）在每小題列出的四個選項中，只有一個是正確的，請在答題卡上把正確的選項涂黑.
1．（3分）下列根式中是最簡二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接根據(jù)最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式判斷即可．
【解答】解：A、是最簡二次根式，符合題意；
B、＝2，不是最簡二次根式，不符合題意；
C、＝2，不是最簡二次根式，不符合題意；
D、＝，不是最簡二次根式，不符合題意；
故選：A．
2．（3分）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．x＜B．x＜2C．x≥D．x≤
【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式計算即可得解．
【解答】解：由題意得，1﹣2x≥0，
解得x≤．
故選：D．
3．（3分）滿足下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝2：4：6B．AC＝，BC＝，AB＝
C．AC＝6，BC＝8，AB＝10D．AC＝1，BC＝2，AB＝
【分析】依據(jù)勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理以及直角三角形的定義，即可得到結(jié)論．
【解答】解：A．∵∠A：∠B：∠C＝2：4：6，
∴∠C＝×180°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故A選項不符合題意；
B．∵BC2+AC2＝4+3＝7，AB2＝（）2＝5，
∴BC2+AC2≠AB2，
∴△ABC不是直角三角形，故B選項符合題意；
C．∵62+82＝36+64＝100＝102，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，故C選項不符合題意；
D．∵12+22＝1+4＝5＝（）2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，故D選項不符合題意．
故選：B．
4．（3分）在平行四邊形ABCD中，∠B+∠D＝100°，則∠A等于（ ）
A．50°B．130°C．100°D．65°
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，即可求解．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，
∵∠B+∠D＝100°，
∴∠B＝∠D＝50°，
∴∠A＝130°，
故選：B．
5．（3分）直線y＝3x+2與y軸的交點坐標為（ ）
A．（0，3）B．（﹣，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）
【分析】先令x＝0求出y的值即可求出直線y＝3x+2與y軸交點的坐標．
【解答】解：∵令x＝0，則y＝2，
∴直線y＝3x+2與y軸交點的坐標是（0，2）．
故選：C．
6．（3分）若+|2a﹣b+1|＝0，則（b﹣a）2021＝（ ）
A．﹣1B．1C．52021D．﹣52021
【分析】直接利用非負數(shù)的性質(zhì)得出a，b的值，再利用有理數(shù)的乘方運算法則計算得出答案．
【解答】解：∵+|2a﹣b+1|＝0，
∴a+2＝0，2a﹣b+1＝0，
解得：a＝﹣2，b＝﹣3，
∴（b﹣a）2021＝[﹣3﹣（﹣2）]2021＝（﹣1）2021＝﹣1．
故選：A．
7．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＜BC，分別以頂點A、B為圓心，大于AB的長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點M、N作直線MN交邊CB于點D．若AD＝5，CD＝3，則AB的長是（ ）
A．10B．8C．12D．4
【分析】利用勾股定理求出AC，再利用線段的垂直平分線的性質(zhì)求出DB，再利用勾股定理求出AB即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AD＝5，CD＝3，
∴AC＝＝＝4，
由作圖可知，MN垂直平分線段AB，
∴DA＝DB＝5，
∴BC＝CD+DB＝3+5＝8，
∴AB＝＝＝4．
故選：D．
8．（3分）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，AC＝10，F(xiàn)是DE上一點，連接AF，CF，DF＝1．若∠AFC＝90°，則BC的長度為（ ）
A．10B．12C．14D．16
【分析】先證明EF＝5，繼而得到DE＝6；再證明DE為△ABC的中位線，即可解決問題．
【解答】解：如圖，∵∠AFC＝90°，E是AC的中點，
∴Rt△ACF中，EF＝AC＝＝5，
∴DE＝1+5＝6；
∵D，E分別是AB，AC的中點，
∴DE為△ABC的中位線，
∴BC＝2DE＝12，
故選：B．
9．（3分）如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為9、3和1，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物．則這只螞蟻沿著臺階面爬行的最短路程是（ ）
A．18B．15C．12D．8
【分析】此類題目只需要將其展開便可直觀的得出解題思路．將臺階展開得到的是一個矩形，螞蟻要從B點到A點的最短距離，便是矩形的對角線，利用勾股定理即可解出答案．
【解答】解：將臺階展開，如圖，
因為AC＝3×3+1×3＝12，BC＝9，
所以AB2＝AC2+BC2＝225，
所以AB＝15，
所以螞蟻爬行的最短線路為15．
故選：B．
10．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E從A點出發(fā)，沿著AB→BC→CD的方向勻速運動到D點停止．在這個運動過程中，下列圖象可以大致表示△AED的面積S隨E點運動時間t的變化而變化的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分點E在邊AB上、點E在邊BC上及點E在邊CD上三種情況考慮：當點E在邊AB上時，由高不變底逐漸增大可得出面積S逐漸增大；當點E在邊BC上時，由底和高都不變可得出面積S為定值；當點E在邊CD上時，由高不變底逐漸減小可得出面積S逐漸減?。賹φ账膫€選項中的函數(shù)圖象即可得出結(jié)論．
【解答】解：當點E在邊AB上時，高不變，底逐漸增大，
∴面積S逐漸增大；
當點E在邊BC上時，底和高都不變，
∴面積S為定值；
當點E在邊CD上時，高不變，底逐漸減小，
∴面積S逐漸減?。?br>故選：D．
二、填空題（本大題7小題，每小題4分，共28分）請將下列各題的正確答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上
11．（4分）計算：＝ 5 ．
【分析】根據(jù)二次根式的基本性質(zhì)進行解答即可．
【解答】解：原式＝＝5．
故答案為：5．
12．（4分）如果正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，4），那么這個函數(shù)的解析式為 y＝2x ．
【分析】將點（2，4）直接代入即可求得函數(shù)的解析式．
【解答】解：設(shè)函數(shù)的解析式是y＝kx（k≠0），
把（2，4）代入就得到：2k＝4，
解得：k＝2，
因而這個函數(shù)的解析式為：y＝2x．
13．（4分）如圖是馬口生態(tài)公園的一角，有人為了抄近道而避開橫平豎直的路的拐角∠ABC，而走“捷徑AC”，于是在草坪內(nèi)走出了一條不該有的“路AC”．已知AB＝40米，BC＝30米，他們踩壞草坪，只為少走 20 米的路．
【分析】先判斷△ABC為直角三角形，然后根據(jù)勾股定理求出AC即可
【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB＝40米，BC＝30米，
∴AC＝＝50，30+40﹣50＝20，
∴他們踩壞了50米的草坪，只為少走20米的路．
故答案為：20．
14．（4分）已知最簡二次根式與可以合并，則a+b的值為 2 ．
【分析】根據(jù)同類二次根式的概念列出方程組，解方程組求出a、b，計算即可．
【解答】解：由題意得，，
解得，，
則a+b＝1+1＝2，
故答案為：2．
15．（4分）點P（a，b）在函數(shù)y＝﹣3x+2的圖象上，則代數(shù)式9a+3b﹣1的值等于 5 ．
【分析】將P（a，b）代入y＝﹣3x+2可得3a+b的值，從而可得答案．
【解答】解：將P（a，b）代入y＝﹣3x+2得b＝﹣3a+2，
∴3a+b＝2，
∴9a+3b﹣1＝3（3a+b）﹣1＝3×2﹣1＝5，
故答案為：5．
16．（4分）在彈性限度內(nèi)，彈簧的長度y（cm）是所掛物體質(zhì)量x（kg）的一次函數(shù)．一根彈簧不掛物體時長15cm；當所掛物體的質(zhì)量為5kg時，彈簧長20cm．所掛物體質(zhì)量為8kg時彈簧的長度是 23 cm．
【分析】根據(jù)題意可以求得y與x的函數(shù)關(guān)系式，從而可以求得當x＝8時對應(yīng)的y值，本題得以解決．
【解答】解：設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+15，
∵x＝5時，y＝20，
∴20＝5k+15，得k＝1，
∴y＝x+15，
當x＝8時，y＝8+15＝23，
故答案為：23．
17．（4分）如圖，正方形ABCD中，AD＝4+2，已知點E是邊AB上的一動點（不與A、B重合）將△ADE沿DE對折，點A的對應(yīng)點為P，當PA＝PB時，則線段AE＝ 2 ．
【分析】過點P作MN⊥AB于N，交CD于M，可證四邊形ADMN是矩形，可得MN＝AD＝4+2，由折疊的性質(zhì)可得AD＝DP＝4+2，AE＝PE，由勾股定理可求MP，AE的長．
【解答】解：如圖，過點P作MN⊥AB于N，交CD于M，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD＝4+2，CD∥AB，
∵MN⊥AB，
∴MN⊥CD，
∴四邊形ADMN是矩形，
∴MN＝AD＝4+2，
由折疊可知：AD＝DP＝4+2，AE＝PE，
∵PA＝PB，
∴MN是AB的垂直平分線，
∴DM＝CM＝2+，AN＝NB＝2+，
∴MP＝＝＝2+3，
∴PN＝1，
∵PE2＝PN2+EN2，
∴AE2＝1+（2+﹣AE）2，
∴AE＝2，
故答案為2．
三、解答題（）（3本大題3小題，每小題6分，共18分）
18．（6分）計算：．
【分析】直接利用平方差公式化簡，進而計算得出答案．
【解答】解：原式＝（）2﹣（）2+2
＝3﹣5+2
＝0．
19．（6分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是邊BC上一點，且DE＝DC．求證：AD＝BE．
【分析】根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)求出∠DEC＝∠C，再由∠B＝∠C得∠DEC＝∠B，所以AB∥DE，得出四邊形ABED是平行四邊形，進而得出結(jié)論．
【解答】證明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C．
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABED是平行四邊形．
∴AD＝BE．
20．（6分）如圖，臺風過后，某市體育中心附近一棵大樹在高于地面3米處折斷，大樹頂部落在距離大樹底部4米處的地面上．求這棵樹折斷之前的高度．
【分析】畫出圖形，由勾股定理求出AB的長，即可求解．
【解答】解：如圖，由題意得：∠ACB＝90°，AC＝3米，BC＝4米，
由勾股定理得：AB＝＝＝5（米），
∴AC+AB＝3+5＝8（米），
即這棵樹折斷之前的高度為8米．
四、解答題（二）（本大題3小題，每小題8分，共24分）
21．（8分）在“慈善一日捐”活動中，為了解某校學(xué)生的捐款情況，抽樣調(diào)查了該校部分學(xué)生的捐款數(shù)（單位：元），并繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖．
（1）本次調(diào)查的人數(shù)是 30 ；
（2）這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為 10 元，中位數(shù)為 10 元；
（3）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
【分析】（1）由題意得出本次調(diào)查的人數(shù)是6+11+8+5＝30；
（2）由眾數(shù)和中位數(shù)的定義即可得出結(jié)果；
（3）由加權(quán)平均數(shù)公式即可得出結(jié)果．
【解答】解：（1）本次調(diào)查的人數(shù)是6+11+8+5＝30；
（2）這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為10元，中位數(shù)為10元；
（2）＝×（5×6+10×11+15×8+20×5）＝12（元）．
故答案為：30，10，10．
22．（8分）某快遞公司每天上午9：00～10：00為集中攬件和派件時段，甲倉庫用來攬收快件，乙倉庫用來派發(fā)快件，y（件）與時間x（分）之間的函數(shù)圖象如圖所示，
（1）求出甲倉庫攬收快件y（件）與時間x（分）之間的函數(shù)解析式；
（2）若已知乙倉庫用來派發(fā)快件y（件）與時間x（分）之間的函數(shù)解析式是y＝﹣4x+240（0＜x＜60），問經(jīng)過多少分鐘時，兩倉庫快遞件數(shù)相同，都是多少件？
【分析】（1）設(shè)甲倉庫攬收快件y（件）與時間x（分）之間的函數(shù)解析式為：y＝kx+b（k≠0），把點（0，40），（60，400）代入解析式求出k、b的值即可；
（2）根據(jù)“經(jīng)過多少分鐘時，兩倉庫快遞件數(shù)相同”可知此時兩函數(shù)x、y的值相同，聯(lián)立方程組求出x、y的值即可．
【解答】解：（1）設(shè)甲倉庫攬收快件y（件）與時間x（分）之間的函數(shù)解析式為：y＝kx+b（k≠0），
∵y＝kx+b過點（0，40），（60，400），
∴，
解得，
∴甲倉庫攬收快件y（件）與時間x（分）之間的函數(shù)解析式為y＝6x+40（0＜x＜60）；
（2）根據(jù)題意聯(lián)立方程組得：
，
解得，
答：經(jīng)過20分鐘時，兩倉庫快遞件數(shù)相同，都是160件．
23．（8分）為了響應(yīng)“足球進學(xué)?！钡奶栒?，某學(xué)校準備到體育用品批發(fā)市場購買A型號與B型號兩種足球，其中A型號足球的批發(fā)價是每個200元，B型號足球的批發(fā)價是每個250元，該校需購買A，B兩種型號足球共100個．
（1）若該校購買A，B兩種型號足球共用了22000元，則分別購買兩種型號足球多少個？
（2）若該校計劃購進A型號足球的數(shù)量不多于B型號足球數(shù)量的9倍，請求出最省錢的購買方案，并說明理由．
【分析】（1）設(shè)購買A型號足球x個，B型號足球y個，根據(jù)總價＝單價×數(shù)量結(jié)合22000元購買A，B兩種型號足球共100個，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購買A型號足球m個，總費用為w元，則購買B型號足球（100﹣m）個，根據(jù)總價＝單價×數(shù)量可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，由購進A型號足球的數(shù)量不多于B型號足球數(shù)量的9倍可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．
【解答】解：（1）設(shè)購買A型號足球x個，B型號足球y個，
依題意，得：，
解得：．
答：該校A型號足球60個，B型號足球40個．
（2）設(shè)購買A型號足球m個，總費用為w元，則購買B型號足球（100﹣m）個，
依題意，得：w＝200m+250（100﹣m）＝﹣50m+25000．
∵購進A型號足球的數(shù)量不多于B型號足球數(shù)量的9倍，
∴m≤9（100﹣m），
∴m≤90．
∵﹣50＜0，
∴w隨m的增大而減小，
∴當m＝90時，w取得最小值，
∴最省錢的購買方案為：購買A型號足球90個、B型號足球10個．
五、解答題（三）（本大題2小題，每小題10分，共20分）
24．（10分）如圖，直線y＝x﹣2與x軸y軸分別交于A、B兩點在y軸上有一點C（0，4），D是OA上一點．
（1）點A的坐標： （4，0） ；點B的坐標 （0，﹣2） ；
（2）若△COD≌△AOB，求直線CD的表達式；
（3）在（2）的條件下，x軸上是否存在點P，使得△PCD是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）令x＝0，求y的值得到點B的坐標；令y＝0，由x﹣2＝0求出x的值，得到點A的坐標；
（2）根據(jù)三角形全等的判定定理得，OD＝OB，求出點D的坐標，再用待定系數(shù)法求出直線CD的表達式；
（3）按PD、PC、CD為底邊分類討論，求出所有符合條件的點P的坐標即可．
【解答】解：（1）令y＝0，由x﹣2＝0，得x＝4，
∴A（4，0）；
當x＝0時，y＝﹣2，
∴B（0，﹣2）．
故答案為：（4，0）；（0，﹣2）．
（2）如圖1，作直線CD，射直線CD的函數(shù)表達式為y＝kx+b，
∵△COD≌△AOB，
∴OD＝OB＝2，
∵D是OA上一點，
∴D（2，0）；
把C（0，4）、D（2，0）代入y＝kx+b得，
，
∴直線CD的表達式為y＝﹣2x+4．
（3）存在，如圖2，PC＝DC，則CO垂直平分PD，
∴OP＝OD＝2，
∴P（﹣2，0）；
如圖3，PD＝CD，點P與點O在直線CD的同側(cè)，
∵OD＝2，OC＝4，∠COD＝90°，
∴CD＝＝，
∴PD＝，
∴xP＝2﹣，
∴P（2﹣，0）；
如圖4，PD＝CD，點P與點O在直線CD的異側(cè)，
∵PD＝CD＝，
∴xP＝2+，
∴P（2+，0）；
如圖5，PC＝PD，
∵PD＝PO+OD＝PO+2，
∴PC＝PO+2，
∵∠POC＝90°，
∴PC2＝PO2+OC2，
∴（PO+2）2＝PO2+42，
解得，PO＝3，
∴P（﹣3，0）．
綜上所述，點P的坐標為（﹣2，0）或（2﹣，0）或（2+，0）或（﹣3，0）．
25．（10分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，作DE∥BC交AC于點E，連接BE．
（1）求證：△ADE≌△ABE；
（2）求證：四邊形DEBC是菱形；
（3）若∠CDE＝2∠EDA，CE＝2，求AD的長．
【分析】（1）由“SAS”可證△ADE≌△ABE；
（2）由“SAS”可證△BCF≌△DEF，可得BC＝DE，且BC∥DE，DE＝BE，可得結(jié)論；
（3）過點E作EH⊥AD于點H，由菱形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得EF＝EH＝EC＝，再根據(jù)勾股定理可得AE的長，從而可得AF的長，根據(jù)三角形AFD是等腰直角三角形，即可得AD的長．
【解答】證明：（1）∵AB＝AD，∠DAB＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
∴F是BD的中點，
∴BF＝DF，
在△AED和△AEB中，
，
∴△AED≌△AEB（SAS）；
（2）如圖，連接BD交AC于點F，
∵△AED≌△AEB，
∴DE＝BE，
∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠EDF，
在△BCF和△DEF中，
，
∴△BCF≌△DEF（SAS），
∴BC＝DE，
∵BC∥DE，
∴四邊形DEBC是平行四邊形，
∵BE＝DE，
∴四邊形DEBC是菱形；
（3）如圖，過點E作EH⊥AD于點H，
∵四邊形DEBC是菱形，
∴∠CDB＝∠EDB＝∠CDE，
∵∠CDE＝2∠EDA，
∴∠BDE＝∠ADE，
∵BD⊥CE，EH⊥AD，
∴EF＝EH＝EC＝，
∴AH＝EH＝，
∴AE＝＝＝2，
∴AF＝AE+EF＝2+，
∴DF＝AF＝2+，
∴AD＝AF＝（2+）＝2+2．
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日期：2021/8/16 23:22:50；用戶：節(jié)節(jié)高5；郵箱：5jiejg@xyh.cm；學(xué)號：37675298

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