?2021年遼寧中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之圖形的變化
一．選擇題（共5小題）
1．（2021?丹東）如圖是由幾個完全相同的小正方體組成的立體圖形，它的俯視圖是（　?。?br />
A． B． C． D．
2．（2021?丹東）如圖，在矩形ABCD中，連接BD，將△BCD沿對角線BD折疊得到△BDE，BE交AD于點O，BE恰好平分∠ABD，若AB＝2，則點O到BD的距離為（　?。?br />
A． B．2 C． D．3
3．（2021?大連）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'B'C，點B的對應(yīng)點B'在邊AC上（不與點A，C重合），則∠AA'B'的度數(shù)為（　?。?br />
A．α B．α﹣45° C．45°﹣α D．90°﹣α
4．（2021?本溪）下列漂亮的圖案中似乎包含了一些曲線，其實它們這種神韻是由多條線段呈現(xiàn)出來的，這些圖案中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2021?本溪）如圖，該幾何體的左視圖是（　?。?br />
A． B．
C． D．
二．填空題（共5小題）
6．（2021?大連）在平面直角坐標系中，將點P（﹣2，3）向右平移4個單位長度，得到點P′，則點P′的坐標是 　 ?。?br /> 7．（2021?大連）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，點E在邊BC上，將△ABE沿直線AE翻折180°，得到△AB′E，點B的對應(yīng)點是點B′．若AB′⊥BD，BE＝2，則BB′的長是 　 ?。?br />
8．（2021?丹東）已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點．如果△ABC是銳角（或直角）三角形，則其費馬點P是三角形內(nèi)一點，且滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°．（例如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）．若AB＝AC＝，BC＝2，P為△ABC的費馬點，則PA+PB+PC＝　 ??；若AB＝2，BC＝2，AC＝4，P為△ABC的費馬點，則PA+PB+PC＝　 　．
9．（2021?營口）如圖，DE是△ABC的中位線，F(xiàn)為DE中點，連接AF并延長交BC于點G，若S△EFG＝1，則S△ABC＝　 ?。?br />
10．（2021?本溪）如圖，將正方形紙片ABCD沿PQ折疊，使點C的對稱點E落在邊AB上，點D的對稱點為點F，EF交AD于點G，連接CG交PQ于點H，連接CE．下列四個結(jié)論中：①△PBE～△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四邊形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ?GD，正確的是 　 ?。ㄌ钚蛱柤纯桑?br />
三．解答題（共4小題）
11．（2021?丹東）如圖，一架無人機在空中A處觀測到山頂B的仰角為36.87°，山頂B在水中的倒影C的俯角為63.44°，此時無人機距水面的距離AD＝50米，求點B到水面距離BM的高度．
（參考數(shù)據(jù)：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75，sin63.44°≈0.89，cos63.44°≈0.45，tan63.44°≈2.00）

12．（2021?營口）如圖，AB是⊙O直徑，點C，D為⊙O上的兩點，且＝，連接AC，BD交于點E，⊙O的切線AF與BD延長線相交于點F，A為切點．
（1）求證：AF＝AE；
（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的長．

13．（2021?營口）小張早起在一條東西走向的筆直馬路上晨跑，他在A處時，D處學(xué)校和E處圖書館都在他的東北方向，當小張沿正東方向跑了600m到達B處時，E處圖書館在他的北偏東15°方向，然后他由B處繼續(xù)向正東方向跑600m到達C處，此時D處學(xué)校在他的北偏西63.4°方向，求D處學(xué)校和E處圖書館之間的距離．（結(jié)果保留整數(shù)）
（參考數(shù)據(jù)：sin63.4°≈0.9，cos63.4°≈0.4，tan63.4°≈2.0，≈1.4，≈1.7，≈2.4）

14．（2021?本溪）如圖，某地政府為解決當?shù)剞r(nóng)戶網(wǎng)絡(luò)銷售農(nóng)特產(chǎn)品物流不暢問題，計劃打通一條東西方向的隧道AB．無人機從點A的正上方點C，沿正東方向以8m/s的速度飛行15s到達點D，測得A的俯角為60°，然后以同樣的速度沿正東方向又飛行50s到達點E，測得點B的俯角為37°．
（1）求無人機的高度AC（結(jié)果保留根號）；
（2）求AB的長度（結(jié)果精確到1m）．
（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）


2021年遼寧中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之圖形的變化
參考答案與試題解析
一．選擇題（共5小題）
1．（2021?丹東）如圖是由幾個完全相同的小正方體組成的立體圖形，它的俯視圖是（　?。?br />
A． B． C． D．
【考點】簡單組合體的三視圖．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】投影與視圖；空間觀念．
【分析】從上面看該組合體，所得到的圖形即為俯視圖．
【解答】解：從上面看該組合體看到是兩列，每列有1個正方形，看到的圖形如下：

故選：B．
【點評】本題考查簡單組合體的俯視圖，理解視圖的意義，畫出從上面看所得到的圖形是正確判斷的前提．
2．（2021?丹東）如圖，在矩形ABCD中，連接BD，將△BCD沿對角線BD折疊得到△BDE，BE交AD于點O，BE恰好平分∠ABD，若AB＝2，則點O到BD的距離為（　?。?br />
A． B．2 C． D．3
【考點】角平分線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力；推理能力．
【分析】如圖，作OF⊥BD于點F，則OF的長為點O到BD的距離，由矩形的性質(zhì)可得∠A＝∠ABC＝90°，由折疊的性質(zhì)可得∠EBD＝∠CBD，由角平分線定義可得∠ABO＝∠EBD，即可得出∠ABO＝30°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OA＝OF，利用∠ABO的正切值求出OA的值即可得到答案．
【解答】解：如圖，作OF⊥BD于點F，則OF的長為點O到BD的距離．
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∵將△BCD沿對角線BD折疊得到△BDE，
∴∠EBD＝∠CBD，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABO＝∠EBD，OA＝OF，
∴∠EBD＝∠CBD＝∠ABO，
∴∠ABO＝30°，
∵AB＝2，
∴OF＝OA＝AB?tan30°＝2×＝2，
故選：B．

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，圖形折疊的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及解直角三角形，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
3．（2021?大連）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'B'C，點B的對應(yīng)點B'在邊AC上（不與點A，C重合），則∠AA'B'的度數(shù)為（　　）

A．α B．α﹣45° C．45°﹣α D．90°﹣α
【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．
【分析】由旋轉(zhuǎn)知AC＝A'C，∠BAC＝∠CA'B'，∠ACA'＝90°，從而得出△ACA'是等腰直角三角形，即可解決問題．
【解答】解：∵將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'B'C，
∴AC＝A'C，∠BAC＝∠CA'B'，∠ACA'＝90°，
∴△ACA'是等腰直角三角形，
∴∠CA'A＝45°，
∵∠BAC＝α，
∴∠CA'B'＝α，
∴∠AA'B'＝45°﹣α．
故選：C．
【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，明確旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)角相等、對應(yīng)線段相等是解題的關(guān)鍵．
4．（2021?本溪）下列漂亮的圖案中似乎包含了一些曲線，其實它們這種神韻是由多條線段呈現(xiàn)出來的，這些圖案中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【考點】軸對稱圖形；中心對稱圖形．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；空間觀念．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項分析判斷即可得解．
【解答】解：A．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
C．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
D．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意．
故選：A．
【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
5．（2021?本溪）如圖，該幾何體的左視圖是（　　）

A． B．
C． D．
【考點】簡單組合體的三視圖．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】投影與視圖；空間觀念．
【分析】根據(jù)左視圖的意義，從左面看該幾何體所得到的圖形即可，注意能看見的輪廓線用實線表示，看不見的輪廓線用虛線表示．
【解答】解：從左面看該幾何體所得到的圖形是一個長方形，被擋住的棱用虛線表示，圖形如下：

故選：D．
【點評】本題考查簡單組合體的三視圖，理解視圖的意義是畫三視圖的前提，理解能看見的輪廓線用實線表示，看不見的輪廓線用虛線表示是得出正確答案的關(guān)鍵．
二．填空題（共5小題）
6．（2021?大連）在平面直角坐標系中，將點P（﹣2，3）向右平移4個單位長度，得到點P′，則點P′的坐標是 ?。?，3）　．
【考點】坐標與圖形變化﹣平移．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】平面直角坐標系；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀．
【分析】利用“橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減”的規(guī)律求解可得．
【解答】解：點P（﹣2，3）向右平移4個單位長度后得到點P′的坐標為（﹣2+4，3），即（2，3），
故答案為：（2，3）．
【點評】此題主要考查了坐標與圖形的變化﹣平移，關(guān)鍵是掌握橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減．
7．（2021?大連）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，點E在邊BC上，將△ABE沿直線AE翻折180°，得到△AB′E，點B的對應(yīng)點是點B′．若AB′⊥BD，BE＝2，則BB′的長是 　2?。?br />
【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根據(jù)菱形ABCD中，∠BAD＝60°可知△ABD是等邊三角形，結(jié)合三線合一可得∠BAB'＝30°，求出∠ABB'＝75°，可得∠EB'B＝∠EBB'＝45°，則△BEB'是直角三角形，借助勾股定理求出BB'的長即可．
【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AB＝AD，AD∥BC，
∵∠BAD＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∵AB′⊥BD，
∴∠BAB'＝，
∵將△ABE沿直線AE翻折180°，得到△AB′E，
∴BE＝B'E，AB＝AB'，
∴∠ABB'＝，
∴∠EBB'＝∠ABE﹣∠ABB'＝120°﹣75°＝45°，
∴∠EB'B＝∠EBB'＝45°，
∴∠BEB'＝90°，
在Rt△BEB'中，由勾股定理得：
BB'＝，
故答案為：2．
【點評】本題考查了翻折的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、以及勾股定理等知識，明確翻折前后對應(yīng)線段相等是解題的關(guān)鍵．
8．（2021?丹東）已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點．如果△ABC是銳角（或直角）三角形，則其費馬點P是三角形內(nèi)一點，且滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°．（例如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）．若AB＝AC＝，BC＝2，P為△ABC的費馬點，則PA+PB+PC＝　5　；若AB＝2，BC＝2，AC＝4，P為△ABC的費馬點，則PA+PB+PC＝　2?。?br /> 【考點】角平分線的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；軸對稱﹣最短路線問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀；運算能力；推理能力．
【分析】①作出圖形，過B，C分別作∠DBP＝∠DCP＝30°，勾股定理解直角三角形即可；
②作出圖形，將△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，P為△ABC的費馬點則B，P，P'，C'四點共線，即PA+PB+PC＝BC'，再用勾股定理求得即可．
【解答】解：如圖，過A作AD⊥BC，垂足為D，
過B，C分別作∠DBP＝∠DCP＝30°，則PB＝PC，P為△ABC的費馬點，
∵AB＝AC＝，BC＝2，
∴，
∴，
∴PD＝1，
∴，
∴，
∴PA+PB+PC＝5；
②如圖：
∵AB＝2，BC＝2，AC＝4，
∴AB2+BC2＝16，BC2＝16，
∴AB2+BC2＝AC2∠ABC＝90°，
∵，
∴∠BAC＝30°，
將△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，
由旋轉(zhuǎn)可得：△APC≌△AP'C'，
∴AP'＝AP，PC＝P'C'，AC＝AC'，∠CAC'＝∠PAP'＝60°，
∴△APP′是等邊三角形，
∴∠BAC'＝90°，
∵P為△ABC的費馬點，
即B，P，P'，C'四點共線時候，PA+PB+PC＝BC'，
∴PA+PB+PC＝BP+PP'+P'C'＝BC'＝＝，
故答案為：5，．


【點評】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形性質(zhì)，作出旋轉(zhuǎn)的圖形是解題的關(guān)鍵．本題旋轉(zhuǎn)△PAB，△PBC也可，但必須繞頂點旋轉(zhuǎn)．
9．（2021?營口）如圖，DE是△ABC的中位線，F(xiàn)為DE中點，連接AF并延長交BC于點G，若S△EFG＝1，則S△ABC＝　24?。?br />
【考點】三角形中位線定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】三角形；幾何直觀；應(yīng)用意識．
【分析】取AG的中點M，連接DM，根據(jù)ASA證△DMF≌△EGF，得出MF＝GF＝AM，根據(jù)等高關(guān)系求出△ADM的面積為2，根據(jù)△ADM和△ABG邊和高的比例關(guān)系得出S△ADM＝S△ABG，從而得出梯形DMGB的面積為6，進而得出△BDE的面積為6，同理可得S△BDE＝S△ABC，即可得出△ABC的面積．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位線，
∴D、E分別為AB、BC的中點，
如圖過D作DM∥BC交AG于點M，
∵DM∥BC，
∴∠DMF＝∠EGF，
∵點F為DE的中點，
∴DF＝EF，
在△DMF和△EGF中，
，
∴△DMF≌△EGF（ASA），
∴S△DMF＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，
∵點D為AB的中點，且DM∥BC，
∴AM＝MG，
∴FM＝AM，
∴S△ADM＝2S△DMF＝2，
∵DM為△ABG的中位線，
∴＝，
∴S△ABG＝4S△ADM＝4×2＝8，
∴S梯形DMGB＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，
∴S△BDE＝S梯形DMGB＝6，
∵DE是△ABC的中位線，
∴S△ABC＝4S△BDE＝4×6＝24，
故答案為：24．

【點評】本題主要考查三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積等知識點，正確得出中位線分三角形的面積比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
10．（2021?本溪）如圖，將正方形紙片ABCD沿PQ折疊，使點C的對稱點E落在邊AB上，點D的對稱點為點F，EF交AD于點G，連接CG交PQ于點H，連接CE．下列四個結(jié)論中：①△PBE～△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四邊形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ?GD，正確的是 ?、佗邰堋。ㄌ钚蛱柤纯桑?br />
【考點】勾股定理；正方形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】①利用有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似進行判定即可；
②過點C作CM⊥EG于M，通過證明△BEC≌△MEC，進而說明△CMG≌△CDG，可得S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四邊形CDQH，可得②不正確；
③由折疊可得：∠GEC＝∠DCE，由AB∥CD可得∠BEC＝∠DCE，結(jié)論③成立；
④連接DH，MH，HE，由△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG可知：∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，所以∠ECG＝∠ECM+∠GCM＝∠BCD＝45°，由于EC⊥HP，則∠CHP＝45°，由折疊可得：∠EHP＝∠CHP＝45°，則EH⊥CG；利用勾股定理可得EG2﹣EH2＝GH2；由CM⊥EG，EH⊥CG，得到∠EMC＝∠EHC＝90°，所以E，M，H，C四點共圓，所以∠HMC＝∠HEC＝45°，通過△CMH≌△CDH，可得∠CDH＝∠CMH＝45°，這樣，∠GDH＝45°，因為∠GHQ＝∠CHP＝45°，易證△GHQ∽△GDH，則得GH2＝GQ?GD，從而說明④成立．
【解答】解：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°．
由折疊可知：∠GEP＝∠BCD＝90°，∠F＝∠D＝90°．
∴∠BEP+∠AEG＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠AEG+∠AGE＝90°，
∴∠BEP＝∠AGE．
∵∠FGQ＝∠AGE，
∴∠BEP＝∠FGQ．
∵∠B＝∠F＝90°，
∴△PBE～△QFG．
故①正確；
②過點C作CM⊥EG于M，
由折疊可得：∠GEC＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠GEC，
在△BEC和△MEC中，
，
∴△BEC≌△MEC（AAS）．
∴CB＝CM，S△BEC＝S△MEC．
∵CG＝CG，
∴Rt△CMG≌Rt△CDG（HL），
∴S△CMG＝S△CDG，
∴S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四邊形CDQH，
∴②不正確；
③由折疊可得：∠GEC＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠GEC，
即EC平分∠BEG．
∴③正確；
④連接DH，MH，HE，如圖，

∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，
∴∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，
∴∠ECG＝∠ECM+∠GCM＝∠BCD＝45°，
∵EC⊥HP，
∴∠CHP＝45°．
∴∠GHQ＝∠CHP＝45°．
由折疊可得：∠EHP＝∠CHP＝45°，
∴EH⊥CG．
∴EG2﹣EH2＝GH2．
由折疊可知：EH＝CH．
∴EG2﹣CH2＝GH2．
∵CM⊥EG，EH⊥CG，
∴∠EMC＝∠EHC＝90°，
∴E，M，H，C四點共圓，
∴∠HMC＝∠HEC＝45°．
在△CMH和△CDH中，
，
∴△CMH≌△CDH（SAS）．
∴∠CDH＝∠CMH＝45°，
∵∠CDA＝90°，
∴∠GDH＝45°，
∵∠GHQ＝∠CHP＝45°，
∴∠GHQ＝∠GDH＝45°．
∵∠HGQ＝∠DGH，
∴△GHQ∽△GDH，
∴．
∴GH2＝GQ?GD．
∴GE2﹣CH2＝GQ?GD．
∴④正確；
綜上可得，正確的結(jié)論有：①③④．
故答案為：①③④．
【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，翻折問題，勾股定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形的相似的判定與性質(zhì)，翻折問題是全等變換，由翻折得到對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．
三．解答題（共4小題）
11．（2021?丹東）如圖，一架無人機在空中A處觀測到山頂B的仰角為36.87°，山頂B在水中的倒影C的俯角為63.44°，此時無人機距水面的距離AD＝50米，求點B到水面距離BM的高度．
（參考數(shù)據(jù)：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75，sin63.44°≈0.89，cos63.44°≈0.45，tan63.44°≈2.00）

【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；模型思想．
【分析】過點A作AH⊥BM交于點H，由題意可得：AD＝HM＝50，設(shè)BM＝x，在Rt△ABH中，，在Rt△AHC中，，進而可根據(jù)AH＝AH，求出x的值，即為BM的值．
【解答】解：過點A作AH⊥BM交于點H，由題意可得：AD＝HM＝50米，
設(shè)BM＝x米，則MC＝BM＝x米
∵BH＝BM﹣HM
∴BH＝（x﹣50）米，
∴在Rt△ABH中，
∵HC＝HM+MC
∴HC＝（50+x）米，
在Rt△AHC中，，
∴，
解得x＝110，
即BM＝110米，
答：點B到水面距離BM的高度約為110米．

【點評】本題主要考查了銳角三角形的實際運用，熟練掌握銳角三角形的相關(guān)知識點并列出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，屬于常考題型．
12．（2021?營口）如圖，AB是⊙O直徑，點C，D為⊙O上的兩點，且＝，連接AC，BD交于點E，⊙O的切線AF與BD延長線相交于點F，A為切點．
（1）求證：AF＝AE；
（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的長．

【考點】垂徑定理；圓周角定理；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力．
【分析】（1）利用AB是⊙O直徑，AF是⊙O的切線，得到∠DAF＝∠ABF，利用＝得到∠ABF＝∠CAD，進而證得∠F＝∠AEF，根據(jù)等角對等邊即可證得AF＝AE；
（2）利用勾股定理求得AC，利用△BCE∽△BAF得到＝，求得CE＝AF＝AE，根據(jù)AE+CE＝AC即可求得AF．
【解答】（1）證明：連接AD，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB＝∠ADF＝90°，
∴∠F+∠DAF＝90°，
∵AF是⊙O的切線，
∴∠FAB＝90°，
∴∠F+∠ABF＝90°，
∴∠DAF＝∠ABF，
∵＝，
∴∠ABF＝∠CAD，
∴∠DAF＝∠CAD，
∴∠F＝∠AEF，
∴AF＝AE；
（2）解：∵AB是⊙O直徑，
∴∠C＝90°，
∵AB＝8，BC＝2，
∴AC＝＝＝2，
∵∠C＝∠FAB＝90°，∠CEB＝∠AEF＝∠F，
∴△BCE∽△BAF，
∴＝，即＝，
∴CE＝AF，
∵AF＝AE，
∴CE＝AE，
∵AE+CE＝AC＝2，
∴AE＝，
∴AF＝AE＝．

【點評】本題考查切線的性質(zhì)、圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理得到90°角．
13．（2021?營口）小張早起在一條東西走向的筆直馬路上晨跑，他在A處時，D處學(xué)校和E處圖書館都在他的東北方向，當小張沿正東方向跑了600m到達B處時，E處圖書館在他的北偏東15°方向，然后他由B處繼續(xù)向正東方向跑600m到達C處，此時D處學(xué)校在他的北偏西63.4°方向，求D處學(xué)校和E處圖書館之間的距離．（結(jié)果保留整數(shù)）
（參考數(shù)據(jù)：sin63.4°≈0.9，cos63.4°≈0.4，tan63.4°≈2.0，≈1.4，≈1.7，≈2.4）

【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．
【分析】過D作DM⊥AC于M，過B作BN⊥AE于N，設(shè)MD＝x，在直角三角形中，利用三角函數(shù)即可x表示出AM與CM，根據(jù)AC＝AM+CM即可列方程，從而求得MD的長，進一步求得AD的長，在直角三角形中，利用三角函數(shù)即可求出AN與NE，即可求得DN，從而求得DE．
【解答】解：過D作DM⊥AC于M，
設(shè)MD＝x，
在Rt△MAD中，∠MAD＝45°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AM＝MD＝x，
∴AD＝x，
在Rt△MCD中，∠MDC＝63.4°，
∴MC≈2MD＝2x，
∵AC＝600+600＝1200，
∴x+2x＝1200，
解得：x＝400，
∴MD＝400m，
∴AD＝MD＝400，
過B作BN⊥AE于N，
∵∠EAB＝45°，∠EBC＝75°，
∴∠E＝30°，
在Rt△ABN中，∠NAB＝45°，AB＝600，
∴BN＝AN＝AB＝300，
∴DN＝AD﹣AN＝400﹣300＝100，
在Rt△NBE中，∠E＝30°，
∴NE＝BN＝×300＝300，
∴DE＝NE﹣DN＝300﹣100≈580（m），
即臨D處學(xué)校和E處圖書館之間的距離是580m．

【點評】本題考查了直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，熟練掌握方向角的概念，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
14．（2021?本溪）如圖，某地政府為解決當?shù)剞r(nóng)戶網(wǎng)絡(luò)銷售農(nóng)特產(chǎn)品物流不暢問題，計劃打通一條東西方向的隧道AB．無人機從點A的正上方點C，沿正東方向以8m/s的速度飛行15s到達點D，測得A的俯角為60°，然后以同樣的速度沿正東方向又飛行50s到達點E，測得點B的俯角為37°．
（1）求無人機的高度AC（結(jié)果保留根號）；
（2）求AB的長度（結(jié)果精確到1m）．
（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．
【分析】（1）利用正切函數(shù)即可求出AC的長；
（2）過點B作BF⊥CD于點F，則四邊形ABFC是矩形，得到BF＝AC＝120，AB＝CF，在△BEF中利用正切函數(shù)即可求得EF，進而即可求得AB＝CF＝CE﹣EF≈243米．
【解答】解：（1）由題意，CD＝8×15＝120（m），
在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，
∴AC＝CD?tan∠ADC＝CD?tan60°＝120×＝120（m），
答：無人機的高度AC是120米；

（2）過點B作BF⊥CD于點F，則四邊形ABFC是矩形，
∴BF＝AC＝120，AB＝CF，
在Rt△BEF中，tan∠BEF＝，
∴EF＝＝≈276.8（m），
∵CE＝8×（15+50）＝520（m），
∴AB＝CF＝CE﹣EF＝520﹣276.8≈243（米），
答：隧道AB的長度約為243米．

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣﹣仰角俯角問題，要求學(xué)生能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

考點卡片
1．角平分線的性質(zhì)
角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．
注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

2．等邊三角形的性質(zhì)
（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；
②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．
（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°．
等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．
3．等邊三角形的判定與性質(zhì)
（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．
（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等．
（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時要抓住已知條件的特點，選取恰當?shù)呐卸ǚ椒ǎ话愕?，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個60°的角判定．
4．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．
如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的變形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．
5．三角形中位線定理
（1）三角形中位線定理：
三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．
（2）幾何語言：
如圖，∵點D、E分別是AB、AC的中點
∴DE∥BC，DE＝BC．

6．菱形的性質(zhì)
（1）菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．
（2）菱形的性質(zhì)
①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；
②菱形的四條邊都相等；
③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；
④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．
（3）菱形的面積計算
①利用平行四邊形的面積公式．
②菱形面積＝ab．（a、b是兩條對角線的長度）
7．矩形的性質(zhì)
（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．
（2）矩形的性質(zhì)
①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；
②角：矩形的四個角都是直角；
③邊：鄰邊垂直；
④對角線：矩形的對角線相等；
⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．
（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
8．正方形的性質(zhì)
（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．
（2）正方形的性質(zhì)
①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；
②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；
③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．
④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．
9．垂徑定理
（1）垂徑定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?br /> （2）垂徑定理的推論
推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?br /> 推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?br /> 推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?br /> 10．圓周角定理
（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．
注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．
（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
（3）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．
11．切線的性質(zhì)
（1）切線的性質(zhì)
①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．
②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．
③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．
（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：
如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓心；②直線過切點；③直線與圓的切線垂直．
（3）切線性質(zhì)的運用
由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡記作：見切點，連半徑，見垂直．
12．軸對稱圖形
（1）軸對稱圖形的概念：
如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱．
（2）軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對稱軸折疊時，互相重合；軸對稱圖形的對稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無數(shù)條．
（3）常見的軸對稱圖形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．
13．軸對稱-最短路線問題
1、最短路線問題
在直線L上的同側(cè)有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關(guān)于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點．

2、凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．
14．翻折變換（折疊問題）
1、翻折變換（折疊問題）實質(zhì)上就是軸對稱變換．
2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．
3、在解決實際問題時，對于折疊較為復(fù)雜的問題可以實際操作圖形的折疊，這樣便于找到圖形間的關(guān)系．
首先清楚折疊和軸對稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件．解題時，我們常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當?shù)闹苯侨切危\用勾股定理列出方程求出答案．我們運用方程解決時，應(yīng)認真審題，設(shè)出正確的未知數(shù)．
15．坐標與圖形變化-平移
（1）平移變換與坐標變化
①向右平移a個單位，坐標P（x，y）?P（x+a，y）
①向左平移a個單位，坐標P（x，y）?P（x﹣a，y）
①向上平移b個單位，坐標P（x，y）?P（x，y+b）
①向下平移b個單位，坐標P（x，y）?P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐標系內(nèi)，把一個圖形各個點的橫坐標都加上（或減去）一個整數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加（或減去）一個整數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位長度．（即：橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減．）
16．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
（1）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：
　　　?、賹?yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．　　　　②對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．　　　?、坌D(zhuǎn)前、后的圖形全等．　?。?）旋轉(zhuǎn)三要素：①旋轉(zhuǎn)中心； ②旋轉(zhuǎn)方向； ③旋轉(zhuǎn)角度．　　　　注意：三要素中只要任意改變一個，圖形就會不一樣．
17．中心對稱圖形
（1）定義
把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．
注意：中心對稱圖形和中心對稱不同，中心對稱是兩個圖形之間的關(guān)系，而中心對稱圖形是指一個圖形自身的特點，這點應(yīng)注意區(qū)分，它們性質(zhì)相同，應(yīng)用方法相同．
（2）常見的中心對稱圖形
平行四邊形、圓形、正方形、長方形等等．
18．相似三角形的判定與性質(zhì)
（1）相似三角形相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對應(yīng)邊的比相等和對應(yīng)角相等兩方面下定義；反過來，兩個三角形相似也有對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可單獨使用，有時需要綜合運用，無論是單獨使用還是綜合運用，都要具備應(yīng)有的條件方可．
19．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題
（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．
（2）解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當問題以一個實際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決．
20．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題
（1）在辨別方向角問題中：一般是以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)．
（2）在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯角相等或一個角的余角等知識轉(zhuǎn)化為所需要的角．
21．簡單組合體的三視圖
（1）畫簡單組合體的三視圖要循序漸進，通過仔細觀察和想象，再畫它的三視圖．
（2）視圖中每一個閉合的線框都表示物體上的一個平面，而相連的兩個閉合線框常不在一個平面上．
（3）畫物體的三視圖的口訣為：
主、俯：長對正；
主、左：高平齊；
俯、左：寬相等．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布
日期：2021/8/3 14:18:42；用戶：招遠2；郵箱：zybzy2@xyh.com；學(xué)號：40292108

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