1.4.2　單位圓與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì) [教材要點]要點一　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)1．定義域：________.2．最大(小)值：當α＝________(k∈Z)時，正弦函數(shù)v＝sin α取得最大值________；當α＝________________時，正弦函數(shù)v＝sin α取得最小值________．當α＝__________時，余弦函數(shù)u＝cos α取得最大值________；當α＝____________時，余弦函數(shù)取得最小值________．3．值域：________.4．周期性：對任意k∈Z，sin(α＋2kπ)＝________，α∈R；對任意k∈Z，cos(α＋2kπ)＝________，α∈R，最小正周期為________．5．單調(diào)性：正弦函數(shù)在區(qū)間________________上單調(diào)遞增，在區(qū)間________________上單調(diào)遞減．余弦函數(shù)在區(qū)間________________上單調(diào)遞增，在區(qū)間________________上單調(diào)遞減．要點二　正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值的符號　對三角函數(shù)值符號的理解三角函數(shù)值的符號是根據(jù)三角函數(shù)定義和各象限內(nèi)坐標符號導出的．從原點到角的終邊上任意一點的距離r總是正值．根據(jù)三角函數(shù)定義知：(1)正弦值符號取決于縱坐標y的符號；(2)余弦值的符號取決于橫坐標x的符號．[基礎(chǔ)自測]1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若sin α>0，則α是第一或第二象限的角．(　　)(2)正弦函數(shù)在第一象限是增函數(shù)．(　　)(3)在區(qū)間[0,3π]上，函數(shù)y＝cos x僅在x＝0時取得最大值1.(　　)(4)余弦函數(shù)y＝cos x在[0，π]上是減函數(shù)．(　　)2．sin 780°的值為(　　)  A．－  B.C．－  D.3．函數(shù)y＝－sin x的值域是(　　)A．[－1,1]  B.C.  D.4．若α是第三象限角，則點P(sin α，cos α)在第________象限． 題型一　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用——師生共研可模仿y＝sin x的有關(guān)性質(zhì)來研究．例1　已知函數(shù)y＝－3sin x＋1.(1)求函數(shù)的定義域、值域、周期、單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值．       變式探究　將本例中的“函數(shù)y＝－3sin x＋1”改為“函數(shù)y＝2cos x－4”，又如何呢？            方法歸納對于形如y＝asin x＋b的函數(shù)性質(zhì)的研究可借助y＝sin x的性質(zhì)．要清楚a，b對函數(shù)y＝asin x＋b的影響，若參數(shù)不確定還要注意分類討論． 題型二　2kπ＋α(k∈Z)的正弦、余弦公式的應(yīng)用——自主完成　求下列各式的值：(1)sin 1 470°；(2)cos；(3)cos；(4)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°.           方法歸納要熟記公式sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，該公式可以將任意角的正、余弦值轉(zhuǎn)化為0～2π或0°～360°內(nèi)的角的正、余弦值，再通過特殊角的函數(shù)值求解．  題型三　正、余弦函數(shù)值的符號判斷及應(yīng)用——師生共研例2　(1)如果點P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限．那么角θ所在的象限是(　　)  A．第一象限  B．第二象限C．第三象限  D．第四象限(2)判斷下列各式的符號：①sin(－670°)cos 1 230°；②sin 8·cos 8.            方法歸納一個角的正、余弦函數(shù)值的符號取決于這個角的終邊所在的象限，可用口訣簡記為“一全正，三全負，二正弦，四余弦”(即第一象限角的正、余弦值全為正值，第三象限角的正、余弦值全為負值，第二象限角的正弦值為正，第四象限角的余弦值為正． 跟蹤訓練　(1)[多選題]下列三角函數(shù)值的符號判斷正確的是(　　)A．sin 156°>0  B．cosπ<0C．sin 2<0  D．cos 2<0(2)已知角α的終邊經(jīng)過點P(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α<0，則a的取值范圍是________．4．2　單位圓與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)新知初探·課前預(yù)習[教材要點]要點一1．R2．2kπ＋　1　2kπ－(k∈Z)　－1　2kπ(k∈Z)　1　(2k＋1)π(k∈Z)?。?/span>13．[－1,1]4．sin α　cos α　2π5.(k∈Z)　(k∈Z)　[2kπ－π，2kπ](k∈Z)　[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)[基礎(chǔ)自測]1．(1)×　若角α的終邊落在y軸的非負半軸上，也有sin α>0，此時角α不是第一或第二象限角．(2)×　(3)×　(4)√2．解析：sin 780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin 60°＝，故選B.答案：B3．解析：因為－1≤sin x≤1，所以－≤－sin x≤，即值域為.故選D.答案：D4．解析：∵α為第三象限角，∴sin α<0，cos α<0，∴P(sin α，cos α)位于第三象限．答案：三題型探究·課堂解透題型一例1　解析：(1)由y＝sin x的性質(zhì)可得y＝－3sin x＋1的性質(zhì)如下：定義域：R值域：[－2,4]．周期性：周期為2kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期為2π.單調(diào)性：由y＝sin x在區(qū)間(k∈Z)上是增加的，在(k∈Z)上是減少的，知y＝－3sin x＋1在區(qū)間(k∈Z)上是減少的，在區(qū)間(k∈Z)上是增加的．(2)因為函數(shù)y＝sin x在上是增加的，在上是減少的，且sin＝－，sin＝，y＝sin x在x＝－時取最小值－，在x＝時取最大值1.故y＝－3sin x＋1在上的最大值是－3×＋1＝；最小值是－3×1＋1＝－2.變式探究　解析：(1)由y＝cos x的基本性質(zhì)可知函數(shù)y＝2cos x－4的性質(zhì)如下：定義域：R值域：[－6，－2]．周期：周期為2kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期為2π.單調(diào)區(qū)間：由y＝cos x的單調(diào)性可知，y＝2cos x－4在區(qū)間[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是遞增的，在區(qū)間[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是遞減的．(2)因為函數(shù)y＝cos x在上是遞增的，在上是遞減的，且cos＝－，所以y＝cos x在x＝時取最小值－，在x＝0時取最大值1，故y＝2cos x－4在上的最大值是－2，最小值是－5.題型二解析：(1)sin 1 470°＝sin(4×360°＋30°)＝sin 30°＝；(2)cos＝cos＝cos＝.(3)cos＝cos＝cos＝－.(4)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝＋＝.題型三例2　解析：(1)因為點P位于第二象限，所以從而有所以角θ在第三象限，故選C.(2)①因為－670°＝－2×360°＋50°，所以－670°角是第一象限角，則sin(－670°)>0.又1 230°＝3×360°＋150°，所以1 230°角是第二象限角，則cos 1 230°<0.所以sin(－670°)cos 1 230°<0.②因為2π＋π<8<2π＋π，所以8 rad是第二象限角，所以sin 8>0，cos 8<0，故sin 8·cos 8<0.答案：(1)C　(2)見解析跟蹤訓練　解析：(1)∵156°為第二象限角，∴sin 156°>0，A正確；∵＝2π＋為第三象限角，∴cosπ<0，B正確；∵2 rad為第二象限角，∴sin 2>0，cos 2<0，C錯誤，D正確．故選A、B、D.(2)∵sin α>0，cos α<0，∴角α的終邊在第二象限，∴解得－2<a<3.答案：(1)ABD　(2)(－2,3) 

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4.2 單位圓與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)

版本： 北師大版 (2019)

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