一．知識技能
1．理解圓周角概念，理解圓周用與圓心角的異同；
2．掌握圓周角的性質(zhì)和直徑所對圓周角的特征；
3．能靈活運用圓周角的性質(zhì)解決問題；
4．使學(xué)生掌握圓內(nèi)接四邊形的概念，掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理；
5．使學(xué)生初步會運用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理證明和計算一些問題．
教學(xué)重點：
1．圓周角與圓心角的關(guān)系，圓周角的性質(zhì)和直徑所對圓周角的特征．
2．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理．
教學(xué)難點：
1．發(fā)現(xiàn)并證明圓周角定理．
2．理解“內(nèi)對角”這一重點詞語的意思．
教學(xué)過程：
一．創(chuàng)設(shè)情景
如圖是一個圓柱形的海洋館，在這個海洋館里，人們可以通過其中的圓弧形玻璃窗 eq \(\s\up 2(⌒),\s\d 1 (AB))觀看窗內(nèi)的海洋動物．大家請看海洋館的橫截面的示意圖，想想看：同學(xué)甲站在圓心O的位置，同學(xué)乙站在正對著下班窗的靠墻的位置C，他們的視角(∠AOB和∠ACB)有什么關(guān)系？如果同學(xué)丙、丁分別站在其他靠墻的位置D和E，他們的視角(∠ADB和∠AEB)和同學(xué)乙的視角相同嗎？
二．認(rèn)識圓周角．
1．觀察∠ACB、∠ADB、∠AEB，這樣的角有什么特點？
2．給出定義，頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．(注意兩點：1．角的頂點在圓上；2．角的兩邊都與圓相交，二者缺一不可．)
3．辯一辯，圖中的∠CDE是圓周角嗎？引導(dǎo)學(xué)生識別，加深對圓周角的了解．
4．圓周角與圓心角的聯(lián)系和區(qū)別是什么？
三．探究圓周角的性質(zhì)．
1．在下圖中，同弧 eq \(\s\up 4(⌒),\s\d 1 (AB))所對的圓周角有哪幾個？觀察并測量這幾個角，你有什么發(fā)現(xiàn)？大膽說出你的猜想．同弧eq \(\s\up 2(⌒),\s\d 1 (AB))所對的圓心角是哪個角？觀察并測量這個角，比較同弧所對的圓周角你有什么發(fā)現(xiàn)呢？大膽說出你的猜出想．
2．由學(xué)生總結(jié)發(fā)現(xiàn)規(guī)律：同弧所對的圓周角的度數(shù)沒有變化，并且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半，教師再利用幾何畫板從動態(tài)的角度進(jìn)行演示，驗證學(xué)生的發(fā)現(xiàn)．
四．證明圓周角定理及推論．
1．問題：在圓上任取一個圓周角，觀察圓心角頂點與圓周角的位置關(guān)系有幾種情況？
2．學(xué)生自己畫出同一條弧的圓心角和圓周角，將他們畫的圖歸納起來，共有三種情況：①圓心在圓周角的一邊上；②圓心在圓周角的內(nèi)部；③圓心在圓周角的外部．如下圖
3．問題：在第一種情況中，如何證明上面探究中所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論呢？另外兩種情況如何證明呢？
4．怎樣利用有上結(jié)論證明我們的第一個猜想：圓弧所對的圓周角相等？(利用圓弧所對的圓心角相等)
5．以上結(jié)論同圓改成等圓，同弧改成等弧結(jié)論還成立嗎？為什么？
6．總結(jié)出圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
7．將上面定理中的“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”，結(jié)論還成立嗎？
8．在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等嗎？為什么？
總結(jié)推論1：同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等．(也是圓周角定理的逆定理，要通過圓心角來轉(zhuǎn)換)
五．復(fù)習(xí)提問：
1．什么叫圓內(nèi)接三角形？
2．什么叫做三角形的外接圓？
通過學(xué)生復(fù)習(xí)圓內(nèi)接三角形的定義后，引導(dǎo)學(xué)生來模仿圓內(nèi)接三形的定義，來給圓內(nèi)接多邊形下定義，再由一般圓內(nèi)接多邊形的定義歸納出圓內(nèi)接四邊形的概念．
這樣做的目的是調(diào)動學(xué)生成為課堂的主人，通過學(xué)生積極參與類比、聯(lián)想、概括出來所要學(xué)的知識點．不是教師牽著學(xué)生走，而是學(xué)生積極主動地探求新的知識．這樣學(xué)到的知識理解得更深刻．
接下來引導(dǎo)學(xué)生觀察圓內(nèi)接四邊形對角之間有什么關(guān)系？
學(xué)生一邊觀察，教師一邊點撥．從觀察中讓學(xué)生首先知道圓內(nèi)接四邊形的對角是圓周角，由圓周角性質(zhì)定理可知一條弧所對的圓周角等于它們對的圓心角的一半．如何建立圓周角與圓心角的聯(lián)系呢？由學(xué)生聯(lián)想到了構(gòu)造圓心角，從而得到對角互補這一結(jié)論．
由學(xué)生自己通過觀察、探索得到圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．
定理2：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補．
3．如圖所示圖中，∠AOB=180°，則∠C等于多少度呢？從中你發(fā)現(xiàn)了什么？(推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．可用圓周角定理說明．)
如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于點P，∠ACD=60°，∠ADC=70°，求∠APC的度數(shù)．
解：連接BC，則∠ACB=90°，
∠DCB=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°．
又∵∠BAD=∠DCB=30°，∴∠APC=∠BAD+∠ADC=30°+70°=100°．
例題解析
例1 在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度數(shù)之比是2:3:6，求這個四邊形各角的度數(shù).
解：設(shè)∠A、∠B、∠C的度數(shù)分別等于2x°、3x°、6x°.
∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，
∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°.
∵2x+6x=180，
∴x=22.5.
∴∠A=45°，∠B=67.5°，∠C=135°，∠D=112.5°.
例2 已知：如課本第127頁圖21-23，在⊙O中，直徑AB的長為10cm，弦AC的長為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于點D，求BC，AD和BD的長.
六．小結(jié)：
本節(jié)課你認(rèn)識了什么？掌握了哪些定理？有什么收獲？

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21.4 圓周角

版本： 北京課改版

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