類型1 幾何變換綜合題——折疊與旋轉(zhuǎn) 1. （2020荊州）如圖4-8-1，在矩形ABCD中，AB=20，點(diǎn)E是BC邊上的一點(diǎn)，將△ABE沿著AE折疊，點(diǎn)B剛好落在CD邊上點(diǎn)G處,點(diǎn)F在DG上，將△ADF沿著AF折疊，點(diǎn)D剛好落在AG上點(diǎn)H處，此時(shí)S△GFH∶S△AFH=2∶3.
（1）求證：△EGC∽△GFH；
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=∠C=90°.由折疊對(duì)稱知,∠AGE=∠B=90°，∠AHF=∠D=90°，∴∠GHF=∠C=90°，∠EGC+∠HGF=90°，∠GFH+∠HGF=90°.∴∠EGC=∠GFH.∴△EGC∽△GFH.
（2）解：∵S△GFH∶S△AFH=2∶3，且△GFH和△AFH等高，∴GH∶AH=2∶3.∵將△ABE沿著AE折疊，點(diǎn)B剛好落在CD邊上點(diǎn)G處，∴AG=AB=GH+AH=20.∴GH=8，AH=12.∴AD=AH=12.
（3）求tan∠GFH的值.
2. （2020福建）如圖4-8-2，△ADE由△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，且點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC的延長(zhǎng)線上，AD，EC相交于點(diǎn)P.
（1）求∠BDE的度數(shù)；
（1）解：∵△ADE由△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，∴AB=AD，∠BAD=90°，△ABC≌△ADE.∴在Rt△ABD中，∠B=∠ADB=45°.∴∠ADE=∠B=45°.∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°.
（2）F是EC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠CDF=∠DAC，①判斷DF和PF的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）①解：DF=PF.證明如下：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AC=AE，∠CAE=90°，∴在Rt△ACE中，∠ACE=∠AEC=45°.∵∠CDF=∠DAC，∠ACE=∠ADB=45°，∴∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠DAC，即∠FDP=∠FPD.∴DF=PF.
3. （2020菏澤）如圖4-8-3，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OA=OC，OB=OD+CD.
（1）如圖①，過點(diǎn)A作AE∥DC交BD于點(diǎn)E，求證：AE=BE；
證明：（1）∵AE∥DC，∴∠CDO=∠AEO，∠EAO=∠DCO.又∵OA=OC，∴△AOE≌△COD（AAS）.∴AE=CD，OE=OD.∵OB=OE+BE，OB=OD+CD，∴BE=CD.∴AE=BE.
（2）如圖②，將△ABD沿AB翻折得到△ABD′,
②若AD′∥BC，求證：CD2=2OD·BD.
（1）當(dāng)0°＜α＜180°時(shí)，求證：CE=BD；
（2）如圖4-8-4③，當(dāng)α=90°時(shí)，延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)F，求證：CF垂直平分BD；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，求△BCD的面積的最大值，并寫出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù).
類型2 點(diǎn)動(dòng)型綜合題1. （2018廣東）已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜邊OB=4，將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，如圖4-8-5①，連接BC.
（1）填空：∠OBC=__________________°；（2）如圖4-8-5①，連接AC，作OP⊥AC，垂足為點(diǎn)P，求OP的長(zhǎng)度；
（3）如圖4-8-5②，點(diǎn)M，N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，在△OCB邊上運(yùn)動(dòng)，M沿O→C→B路徑勻速運(yùn)動(dòng)，N沿O→B→C路徑勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)停止. 已知點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1.5個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x s，△OMN的面積為y，則當(dāng)x為何值時(shí)，y取得最大值？最大值為多少？
2. （2020青島改編）已知：如圖4-8-6，在四邊形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，點(diǎn)C在EB上，∠ABC=∠EBF=90°，AB=BE=8 cm，BC=BF=6 cm，延長(zhǎng)DC交EF于點(diǎn)M. 點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2 cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)，沿MF方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1 cm/s. 過點(diǎn)P作GH⊥AB于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)G. 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s）（0＜t＜5）.
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)M在線段CQ的垂直平分線上？
（2）連接PQ，作QN⊥AF于點(diǎn)N，當(dāng)四邊形PQNH為矩形時(shí)，求t的值；
（3）連接QC，QH，設(shè)四邊形QCGH的面積為S（單位：cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式.
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)D，使得以點(diǎn)O，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
類型3 線動(dòng)型綜合題1. （2016廣東）如圖4-8-7，BD是正方形ABCD的對(duì)角線，BC=2，邊BC在其所在的直線上平移，將通過平移得到的線段記為PQ，連接PA，QD，并過點(diǎn)Q作QO⊥BD，垂足為點(diǎn)O，連接OA，OP.（1）請(qǐng)直接寫出線段BC在平移過程中，四邊形APQD是什么四邊形；
解：（1）四邊形APQD為平行四邊形.
（2）請(qǐng)判斷OA,OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明；
（3）在平移變換過程中，設(shè)y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值.
2. （2020長(zhǎng)春改編）如圖4-8-8①，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3. 點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AB—BC以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P，D同時(shí)停止運(yùn)動(dòng). 當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合時(shí)，作點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接PQ交AC于點(diǎn)E，連接DP，DQ. 設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s.
（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，求t的值;（2）用含t的代數(shù)式表示線段EC的長(zhǎng);
（3）如圖4-8-8②，取PD的中點(diǎn)M，連接QM. 當(dāng)直線QM與△ABC的一條直角邊平行時(shí)，直接寫出t的值.
類型4 形動(dòng)型綜合題1. （2020深圳）如圖4-8-9①，拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸的交點(diǎn)為A（-3，0）和B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D.
（1）求該拋物線的解析式；
（2）連接AD，DC，CB，將△OBC沿x軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左平移，得到△O′B′C′，點(diǎn)O,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)O′,B′,C′，設(shè)平移時(shí)間為t s，當(dāng)點(diǎn)O′與點(diǎn)A重合時(shí)停止移動(dòng),記△O′B′C′與四邊形AOCD重合部分的面積為S，請(qǐng)直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
2. 已知：如圖4-8-10①，在平行四邊形ABCD中，AB=3 cm，BC=5 cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向以1 cm/s的速度勻速平移得到△PNM;同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿著CB方向勻速移動(dòng)，速度為1 cm/s，當(dāng)△PNM停止平移時(shí)，點(diǎn)Q也停止移動(dòng)，如圖4-8-10②，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（單位：s）（0＜t＜4）, 連接PQ，MQ，MC.
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥AB？
（2）當(dāng)t=3時(shí)，求△QMC的面積；
（3）是否存在t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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