?2014年福建省高考數(shù)學試卷（理科）
　
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每個題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．
1．（5分）復數(shù)z=（3﹣2i）i的共軛復數(shù)等于（　?。?br /> A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i
2．（5分）某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是（　?。?br /> A．圓柱 B．圓錐 C．四面體 D．三棱柱
3．（5分）等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=2，S3=12，則a6等于（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
4．（5分）若函數(shù)y=logax（a＞0，且a≠1）的圖象如圖所示，則下列函數(shù)圖象正確的是（　?。?br />
A． B． C． D．
5．（5分）閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出的S的值等于（　?。?br />
A．18 B．20 C．21 D．40
6．（5分）直線l：y=kx+1與圓O：x2+y2=1相交于A，B 兩點，則“k=1”是“△OAB的面積為”的（　?。?br /> A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
7．（5分）已知函數(shù)f（x）=，則下列結(jié)論正確的是（　?。?br /> A．f（x）是偶函數(shù) B．f（x）是增函數(shù)
C．f（x）是周期函數(shù) D．f（x）的值域為[﹣1，+∞）
8．（5分）在下列向量組中，可以把向量=（3，2）表示出來的是（　　）
A．=（0，0），=（1，2） B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）
C．=（3，5），=（6，10） D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）
9．（5分）設P，Q分別為圓x2+（y﹣6）2=2和橢圓+y2=1上的點，則P，Q兩點間的最大距離是（　　）
A．5 B．+ C．7+ D．6
10．（5分）用a代表紅球，b代表藍球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個紅球和1個藍球中取出若干個球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展開式1+a+b+ab表示出來，如：“1”表示一個球都不取、“a”表示取出一個紅球，而“ab”則表示把紅球和藍球都取出來．以此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個無區(qū)別的紅球、5個無區(qū)別的藍球、5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球，且所有的藍球都取出或都不取出的所有取法的是（　　）
A．（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5 B．（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5
C．（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5） D．（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）
　
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填在答題卡的相應位置
11．（4分）若變量 x，y滿足約束條件，則z=3x+y的最小值為　 ?。?br /> 12．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，則△ABC的面積等于　 　．
13．（4分）要制作一個容器為4m3，高為1m的無蓋長方形容器，已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是　 ?。▎挝唬涸?br /> 14．（4分）如圖，在邊長為e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為　 ?。?br />
15．（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四個關系：
①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數(shù)組（a，b，c，d）的個數(shù)是　 ?。?br /> 　
三、解答題：本大題共4小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟
16．（13分）已知函數(shù)f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．
（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．
17．（13分）在平面四邊形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖．
（1）求證：AB⊥CD；
（2）若M為AD中點，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值．

18．（13分）為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額．
（1）若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求：
①顧客所獲的獎勵額為60元的概率；
②顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望；
（2）商場對獎勵總額的預算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成．為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由．
19．（13分）已知雙曲線E：﹣=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別為l1：y=2x，l2：y=﹣2x．
（1）求雙曲線E的離心率；
（2）如圖，O點為坐標原點，動直線l分別交直線l1，l2于A，B兩點（A，B分別在第一、第四象限），且△OAB的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程，若不存在，說明理由．

　
在21-23題中考生任選2題作答，滿分21分.如果多做，則按所做的前兩題計分.作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應題號右邊的方框涂黑，并將所選題號填入括號中.選修4-2：矩陣與變換
20．（14分）已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax（a為常數(shù)）的圖象與y軸交于點A，曲線y=f（x）在點A處的切線斜率為﹣1．
（1）求a的值及函數(shù)f（x）的極值；
（2）證明：當x＞0時，x2＜ex；
（3）證明：對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當x∈（x0，+∞）時，恒有x2＜cex．
21．（7分）已知矩陣A的逆矩陣A﹣1=（）．
（1）求矩陣A；
（2）求矩陣A﹣1的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量．
　
五、選修4-4：極坐標與參數(shù)方程
22．（7分）已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），圓C的參數(shù)方程為（θ為常數(shù)）．
（1）求直線l和圓C的普通方程；
（2）若直線l與圓C有公共點，求實數(shù)a的取值范圍．
　
六、選修4-5：不等式選講
23．已知定義域在R上的函數(shù)f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值為a．
（1）求a的值；
（2）若p，q，r為正實數(shù)，且p+q+r=a，求證：p2+q2+r2≥3．
　

2014年福建省高考數(shù)學試卷（理科）
參考答案與試題解析
　
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每個題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．
1．（5分）復數(shù)z=（3﹣2i）i的共軛復數(shù)等于（　　）
A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i
【分析】直接由復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡z，則其共軛可求．
【解答】解：∵z=（3﹣2i）i=2+3i，
∴．
故選：C．
【點評】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，考查了復數(shù)的基本概念，是基礎題．
　
2．（5分）某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是（　　）
A．圓柱 B．圓錐 C．四面體 D．三棱柱
【分析】直接從幾何體的三視圖：正視圖和側(cè)視圖或俯視圖判斷幾何體的形狀，即可．
【解答】解：圓柱的正視圖為矩形，
故選：A．
【點評】本題考查簡單幾何體的三視圖，考查邏輯推理能力和空間想象力，是基礎題．
　
3．（5分）等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=2，S3=12，則a6等于（　?。?br /> A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和已知可得a2，進而可得公差，可得a6
【解答】解：由題意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，
解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，
∴a6=a1+5d=2+5×2=12，
故選：C．
【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式，屬基礎題．
　
4．（5分）若函數(shù)y=logax（a＞0，且a≠1）的圖象如圖所示，則下列函數(shù)圖象正確的是（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】由題意可得a=3，由基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐個選項驗證即可．
【解答】解：由題意可知圖象過（3，1），
故有1=loga3，解得a=3，
選項A，y=a﹣x=3﹣x=（）x單調(diào)遞減，故錯誤；
選項B，y=x3，由冪函數(shù)的知識可知正確；
選項C，y=（﹣x）3=﹣x3，其圖象應與B關于x軸對稱，故錯誤；
選項D，y=loga（﹣x）=log3（﹣x），當x=﹣3時，y=1，
但圖象明顯當x=﹣3時，y=﹣1，故錯誤．
故選：B．
【點評】本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及冪函數(shù)的圖象，屬基礎題．
　
5．（5分）閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出的S的值等于（　　）

A．18 B．20 C．21 D．40
【分析】算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，計算滿足條件的S值，可得答案．
【解答】解：由程序框圖知：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，
∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15．
∴輸出S=20．
故選：B．
【點評】本題考查了直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是解題的關鍵．
　
6．（5分）直線l：y=kx+1與圓O：x2+y2=1相交于A，B 兩點，則“k=1”是“△OAB的面積為”的（　?。?br /> A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
【分析】根據(jù)直線和圓相交的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可得到結(jié)論．
【解答】解：若直線l：y=kx+1與圓O：x2+y2=1相交于A，B 兩點，
則圓心到直線距離d=，|AB|=2，
若k=1，則|AB|=，d=，則△OAB的面積為×=成立，即充分性成立．
若△OAB的面積為，則S==×2×==，
即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，
則（|k|﹣1）2=0，
即|k|=1，
解得k=±1，則k=1不成立，即必要性不成立．
故“k=1”是“△OAB的面積為”的充分不必要條件．
故選：A．
【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用三角形的面積公式，以及半徑半弦之間的關系是解決本題的關鍵．
　
7．（5分）已知函數(shù)f（x）=，則下列結(jié)論正確的是（　?。?br /> A．f（x）是偶函數(shù) B．f（x）是增函數(shù)
C．f（x）是周期函數(shù) D．f（x）的值域為[﹣1，+∞）
【分析】由三角函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，分別對各個選項判斷即可．
【解答】解：由解析式可知當x≤0時，f（x）=cosx為周期函數(shù)，
當x＞0時，f（x）=x2+1，為二次函數(shù)的一部分，
故f（x）不是單調(diào)函數(shù)，不是周期函數(shù)，也不具備奇偶性，
故可排除A、B、C，
對于D，當x≤0時，函數(shù)的值域為[﹣1，1]，
當x＞0時，函數(shù)的值域為（1，+∞），
故函數(shù)f（x）的值域為[﹣1，+∞），故正確．
故選：D．
【點評】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，涉及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎題．
　
8．（5分）在下列向量組中，可以把向量=（3，2）表示出來的是（　?。?br /> A．=（0，0），=（1，2） B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）
C．=（3，5），=（6，10） D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）
【分析】根據(jù)向量的坐標運算，，計算判別即可．
【解答】解：根據(jù)，
選項A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），則 3=μ，2=2μ，無解，故選項A不能；
選項B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），則3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故選項B能．
選項C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），則3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，無解，故選項C不能．
選項D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），則3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，無解，故選項D不能．
故選：B．
【點評】本題主要考查了向量的坐標運算，根據(jù)列出方程解方程是關鍵，屬于基礎題．
　
9．（5分）設P，Q分別為圓x2+（y﹣6）2=2和橢圓+y2=1上的點，則P，Q兩點間的最大距離是（　?。?br /> A．5 B．+ C．7+ D．6
【分析】求出橢圓上的點與圓心的最大距離，加上半徑，即可得出P，Q兩點間的最大距離．
【解答】解：設橢圓上的點為（x，y），則
∵圓x2+（y﹣6）2=2的圓心為（0，6），半徑為，
∴橢圓上的點（x，y）到圓心（0，6）的距離為==≤5，
∴P，Q兩點間的最大距離是5+=6．
故選：D．
【點評】本題考查橢圓、圓的方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．
　
10．（5分）用a代表紅球，b代表藍球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個紅球和1個藍球中取出若干個球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展開式1+a+b+ab表示出來，如：“1”表示一個球都不取、“a”表示取出一個紅球，而“ab”則表示把紅球和藍球都取出來．以此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個無區(qū)別的紅球、5個無區(qū)別的藍球、5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球，且所有的藍球都取出或都不取出的所有取法的是（　?。?br /> A．（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5 B．（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5
C．（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5） D．（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）
【分析】根據(jù)“1+a+b+ab表示出來，如：“1”表示一個球都不取、“a”表示取出一個紅球，而“ab”則表示把紅球和藍球都取出來”，分別取紅球藍球黑球，根據(jù)分步計數(shù)原理，分三步，每一步取一種球，問題得以解決．
【解答】解：從5個無區(qū)別的紅球中取出若干個球，可以1個球都不取、或取1個、2個、3個、4個、5個球，共6種情況，則其所有取法為1+a+a2+a3+a4+a5；從5個無區(qū)別的藍球中取出若干個球，由所有的藍球都取出或都不取出，得其所有取法為1+b5；從5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球，可以1個球都不取、或取1個、2個、3個、4個、5個
球，共6種情況，則其所有取法為1+c+c2+c3+c4+c5=（1+c）5，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得，適合要求的所有取法是（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5．
故選：A．
【點評】本題主要考查了分步計數(shù)原理和歸納推理，合理的利用題目中所給的實例，要遵循其規(guī)律，屬于中檔題．
　
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填在答題卡的相應位置
11．（4分）若變量 x，y滿足約束條件，則z=3x+y的最小值為　1?。?br /> 【分析】作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最小值．
【解答】解：作出不等式對應的平面區(qū)域如圖，
由z=3x+y，得y=﹣3x+z，
平移直線y=﹣3x+z，由圖象可知當直線y=﹣3x+z，經(jīng)過點A（0，1）時，直線y=﹣3x+z的截距最小，
此時z最?。藭rz的最小值為z=0×3+1=1，
故答案為：1

【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．
　
12．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，則△ABC的面積等于　2　．
【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B，再利用三角形的面積公式求出△ABC的面積．
【解答】解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，
由正弦定理得：，
∴，
解得sinB=1，
∴B=90°，C=30°，
∴△ABC的面積=．
故答案為：．
【點評】本題著重考查了給出三角形的兩邊和其中一邊的對角，求它的面積．正余弦定理、解直角三角形、三角形的面積公式等知識，屬于基礎題．
　
13．（4分）要制作一個容器為4m3，高為1m的無蓋長方形容器，已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是　160?。▎挝唬涸?br /> 【分析】此題首先需要由實際問題向數(shù)學問題轉(zhuǎn)化，設池底長和寬分別為a，b，成本為y，建立函數(shù)關系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求．
【解答】解：設池底長和寬分別為a，b，成本為y，
則∵長方形容器的容器為4m3，高為1m，
故底面面積S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，
∵a+b≥2=4，
故當a=b=2時，y取最小值160，
即該容器的最低總造價是160元，
故答案為：160
【點評】本題以棱柱的體積為載體，考查了基本不等式，難度不大，屬于基礎題．
　
14．（4分）如圖，在邊長為e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為　　．

【分析】利用定積分計算陰影部分的面積，利用幾何概型的概率公式求出概率．
【解答】解：由題意，y=lnx與y=ex關于y=x對稱，
∴陰影部分的面積為2（e﹣ex）dx=2（ex﹣ex）=2，
∵邊長為e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的正方形的面積為e2，
∴落到陰影部分的概率為．
故答案為：．
【點評】本題考查幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積的比值得到．
　
15．（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四個關系：
①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數(shù)組（a，b，c，d）的個數(shù)是　6　．
【分析】利用集合的相等關系，結(jié)合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一個是正確的，即可得出結(jié)論．
【解答】解：由題意，a=2時，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；
a=3時，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；
a=4時，b=1，c=3，d=2；
∴符合條件的有序數(shù)組（a，b，c，d）的個數(shù)是6個．
【點評】本題考查集合的相等關系，考查分類討論的數(shù)學思想，正確分類是關鍵．
　
三、解答題：本大題共4小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟
16．（13分）已知函數(shù)f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．
（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．
【分析】（1）根據(jù)題意，利用sinα求出cosα的值，再計算f（α）的值；
（2）化簡函數(shù)f（x），求出f（x）的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間即可．
【解答】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，
∴cosα=，
∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣
=×（+）﹣
=；
（2）∵函數(shù)f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣
=sinxcosx+cos2x﹣
=sin2x+﹣
=（sin2x+cos2x）
=sin（2x+），
∴f（x）的最小正周期為T==π；
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
【點評】本題考查了三角函數(shù)的化簡以及圖象與性質(zhì)的應用問題，是基礎題目．
　
17．（13分）在平面四邊形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖．
（1）求證：AB⊥CD；
（2）若M為AD中點，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值．

【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理即可得出；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系．設直線AD與平面MBC所成角為θ，利用線面角的計算公式sinθ=|cos|=即可得出．
【解答】（1）證明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB?平面ABD，AB⊥BD，
∴AB⊥平面BCD，又CD?平面BCD，∴AB⊥CD．
（2）解：建立如圖所示的空間直角坐標系．
∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，
∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M．
∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=．
設平面BCM的法向量=（x，y，z），則，
令y=﹣1，則x=1，z=1．
∴=（1，﹣1，1）．
設直線AD與平面MBC所成角為θ．
則sinθ=|cos|===．

【點評】本題綜合考查了面面垂直的性質(zhì)定理、線面角的計算公式sinθ=|cos|=，考查了推理能力和空間想象能力，屬于中檔題．
　
18．（13分）為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額．
（1）若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求：
①顧客所獲的獎勵額為60元的概率；
②顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望；
（2）商場對獎勵總額的預算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成．為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由．
【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率計算公式計算顧客所獲的獎勵額為60元的概率，依題意得X得所有可能取值為20，60，分別求出P（X=60），P（X=20），畫出顧客所獲的獎勵額的分布列求出數(shù)學期望；
（2）先討論，尋找期望為60元的方案，找到（10，10，50，50），（20，20，40，40）兩種方案，分別求出數(shù)學期望和方差，然后做比較，問題得以解決．
【解答】解：（1）設顧客所獲取的獎勵額為X，
①依題意，得P（X=60）=，
即顧客所獲得獎勵額為60元的概率為，
②依題意得X得所有可能取值為20，60，
P（X=60）=，P（X=20）=，
即X的分布列為
X
60
20
P


所以這位顧客所獲的獎勵額的數(shù)學期望為E（X）=20×+60×=40
（2）根據(jù)商場的預算，每個顧客的平均獎勵額為60元，所以先尋找期望為60元的可能方案．
對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇（10，10，10，50）的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以數(shù)學期望不可能為60元，
如果選擇（50，50，50，10）的方案，因為60元是面值之和的最小值，所以數(shù)學期望也不可能為60元，
因此可能的方案是（10，10，50，50）記為方案1，
對于面值由20元和40元的組成的情況，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），記為方案2，
以下是對這兩個方案的分析：
對于方案1，即方案（10，10，50，50）設顧客所獲取的獎勵額為X1，則X1的分布列為
X1
60
20
100
P



X1 的數(shù)學期望為E（X1）=．
X1 的方差D（X1）==，
對于方案2，即方案（20，20，40，40）設顧客所獲取的獎勵額為X2，則X2的分布列為
X2
40
60
80
P



X2 的數(shù)學期望為E（X2）==60，
X2 的方差D（X2）=差D（X1）=．
由于兩種方案的獎勵額的數(shù)學期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1小，所以應該選擇方案2．
【點評】本題主要考查了古典概型、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望、方差等基礎知識，考查了數(shù)據(jù)處理能力，運算求解能力，應用意識，考查了必然與或然思想與整合思想．
　
19．（13分）已知雙曲線E：﹣=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別為l1：y=2x，l2：y=﹣2x．
（1）求雙曲線E的離心率；
（2）如圖，O點為坐標原點，動直線l分別交直線l1，l2于A，B兩點（A，B分別在第一、第四象限），且△OAB的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程，若不存在，說明理由．

【分析】（1）依題意，可知=2，易知c=a，從而可求雙曲線E的離心率；
（2）由（1）知，雙曲線E的方程為﹣=1，設直線l與x軸相交于點C，分l⊥x軸與直線l不與x軸垂直討論，當l⊥x軸時，易求雙曲線E的方程為﹣=1．當直線l不與x軸垂直時，設直線l的方程為y=kx+m，與雙曲線E的方程聯(lián)立，利用由S△OAB=|OC|?|y1﹣y2|=8可證得：雙曲線E的方程為﹣=1，從而可得答案．
【解答】解：（1）因為雙曲線E的漸近線分別為l1：y=2x，l2：y=﹣2x，
所以=2．
所以=2．
故c=a，
從而雙曲線E的離心率e==．
（2）由（1）知，雙曲線E的方程為﹣=1．
設直線l與x軸相交于點C，
當l⊥x軸時，若直線l與雙曲線E有且只有一個公共點，則|OC|=a，|AB|=4a，
所以|OC|?|AB|=8，
因此a?4a=8，解得a=2，此時雙曲線E的方程為﹣=1．
以下證明：當直線l不與x軸垂直時，雙曲線E的方程為﹣=1也滿足條件．
設直線l的方程為y=kx+m，依題意，得k＞2或k＜﹣2；
則C（﹣，0），記A（x1，y1），B（x2，y2），
由得y1=，同理得y2=，
由S△OAB=|OC|?|y1﹣y2|得：
|﹣|?|﹣|=8，即m2=4|4﹣k2|=4（k2﹣4）．
由得：（4﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣16=0，
因為4﹣k2＜0，
所以△=4k2m2+4（4﹣k2）（m2+16）=﹣16（4k2﹣m2﹣16），
又因為m2=4（k2﹣4），
所以△=0，即直線l與雙曲線E有且只有一個公共點．
因此，存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E，且E的方程為﹣=1．
【點評】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識，考查抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力，考查特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想．
　
在21-23題中考生任選2題作答，滿分21分.如果多做，則按所做的前兩題計分.作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應題號右邊的方框涂黑，并將所選題號填入括號中.選修4-2：矩陣與變換
20．（14分）已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax（a為常數(shù)）的圖象與y軸交于點A，曲線y=f（x）在點A處的切線斜率為﹣1．
（1）求a的值及函數(shù)f（x）的極值；
（2）證明：當x＞0時，x2＜ex；
（3）證明：對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當x∈（x0，+∞）時，恒有x2＜cex．
【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求得a，再利用導數(shù)的符號變化可求得函數(shù)的極值；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=ex﹣x2，求出導數(shù)，利用（1）問結(jié)論可得到函數(shù)的符號，從而判斷g（x）的單調(diào)性，即可得出結(jié)論；
（3）首先可將要證明的不等式變形為x2＜ex，進而發(fā)現(xiàn)當x＞時，x2＜x3，因此問題轉(zhuǎn)化為證明當x∈（0，+∞）時，恒有x3＜ex．
【解答】解：（1）由f（x）=ex﹣ax，得f′（x）=ex﹣a．
又f′（0）=1﹣a=﹣1，解得a=2，
∴f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2．
由f′（x）=0，得x=ln2，
當x＜ln2時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當x＞ln2時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
∴當x=ln2時，f（x）有極小值為f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4．f（x）無極大值．
（2）令g（x）=ex﹣x2，則g′（x）=ex﹣2x，
由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，
∴當x＞0時，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex；
（3）首先證明當x∈（0，+∞）時，恒有x3＜ex．
證明如下：
令h（x）=x3﹣ex，則h′（x）=x2﹣ex．
由（2）知，當x＞0時，x2＜ex，
從而h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
所以h（x）＜h（0）=﹣1＜0，即x3＜ex，
取x0=，當x＞x0時，有x2＜x3＜ex．
因此，對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當x∈（x0，+∞）時，恒有x2＜cex．
【點評】該題主要考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的運算及導數(shù)的應用等基礎知識，考查學生的運算求解能力、推理論證能力、抽象概括能力，考查函數(shù)與方程思想、有限與無限思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬難題．
　
21．（7分）已知矩陣A的逆矩陣A﹣1=（）．
（1）求矩陣A；
（2）求矩陣A﹣1的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量．
【分析】（1）利用AA﹣1=E，建立方程組，即可求矩陣A；
（2）先根據(jù)特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量．
【解答】解：（1）設A=，則由AA﹣1=E得=，
解得a=，b=﹣，c=﹣，d=，所以A=；
（2）矩陣A﹣1的特征多項式為f（λ）==（λ﹣2）2﹣1，
令f（λ）=（λ﹣2）2﹣1=0，可求得特征值為λ1=1，λ2=3，
設λ1=1對應的一個特征向量為α=，
則由λ1α=Mα，得x+y=0
得x=﹣y，可令x=1，則y=﹣1，
所以矩陣M的一個特征值λ1=1對應的一個特征向量為，
同理可得矩陣M的一個特征值λ2=3對應的一個特征向量為．
【點評】本題考查逆變換與逆矩陣，考查矩陣特征值與特征向量的計算等基礎知識，屬于基礎題．
　
五、選修4-4：極坐標與參數(shù)方程
22．（7分）已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），圓C的參數(shù)方程為（θ為常數(shù)）．
（1）求直線l和圓C的普通方程；
（2）若直線l與圓C有公共點，求實數(shù)a的取值范圍．
【分析】（1）消去參數(shù)，把直線與圓的參數(shù)方程化為普通方程；
（2）求出圓心到直線的距離d，再根據(jù)直線l與圓C有公共點?d≤r即可求出．
【解答】解：（1）直線l的參數(shù)方程為，消去t可得2x﹣y﹣2a=0；
圓C的參數(shù)方程為，兩式平方相加可得x2+y2=16；
（2）圓心C（0，0），半徑r=4．
由點到直線的距離公式可得圓心C（0，0）到直線L的距離d=．
∵直線L與圓C有公共點，∴d≤4，即≤4，解得﹣2≤a≤2．
【點評】熟練掌握點到直線的距離公式和直線與圓有公共點的充要條件是解題的關鍵．
　
六、選修4-5：不等式選講
23．已知定義域在R上的函數(shù)f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值為a．
（1）求a的值；
（2）若p，q，r為正實數(shù)，且p+q+r=a，求證：p2+q2+r2≥3．
【分析】（1）由絕對值不等式|a|+|b|≥|a﹣b|，當且僅當ab≤0，取等號；
（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，即可證得．
【解答】（1）解：∵|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，
當且僅當﹣1≤x≤2時，等號成立，
∴f（x）的最小值為3，即a=3；
（2）證明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r為正實數(shù)，
∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2
=（p+q+r）2=32=9，
即p2+q2+r2≥3．
【點評】本題主要考查絕對值不等式、柯西不等式等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．
　

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