?2014年福建省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）
　
一．選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分
1．（5分）若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，則P∩Q等于（　　）
A．{x|3≤x＜4} B．{x|3＜x＜4} C．{x|2≤x＜3} D．{x|2≤x≤3}
2．（5分）復(fù)數(shù)（3+2i）i等于（　?。?br /> A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i
3．（5分）以邊長為1的正方形的一邊所在所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于（　　）
A．2π B．π C．2 D．1
4．（5分）閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的n的值為（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（5分）命題“?x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（　?。?br /> A．?x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．?x∈（﹣∞，0），x3+x≥0
C．?x0∈[0，+∞），x03+x0＜0 D．?x0∈[0，+∞），x03+x0≥0
6．（5分）已知直線l過圓x2+（y﹣3）2=4的圓心，且與直線x+y+1=0垂直，則l的方程是（　?。?br /> A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0
7．（5分）將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)y=f（x）的函數(shù)圖象，則下列說法正確的是（　?。?br /> A．y=f（x）是奇函數(shù)
B．y=f（x）的周期為π
C．y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱
D．y=f（x）的圖象關(guān)于點（﹣，0）對稱
8．（5分）若函數(shù)y=logax（a＞0，且a≠1）的圖象如圖所示，則下列函數(shù)正確的是（　?。?br />
A． B． C． D．
9．（5分）要制作一個容積為4m3，高為1m的無蓋長方體容器，已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是（　　）
A．80元 B．120元 C．160元 D．240元
10．（5分）設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則等于（　?。?br /> A． B．2 C．3 D．4
11．（5分）已知圓C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，設(shè)平面區(qū)域Ω=，若圓心C∈Ω，且圓C與x軸相切，則a2+b2的最大值為（　?。?br /> A．49 B．37 C．29 D．5
12．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）間的“L﹣距離”定義為|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．則平面內(nèi)與x軸上兩個不同的定點F1，F(xiàn)2的“L﹣距離”之和等于定值（大于|F1F2|）的點的軌跡可以是（　?。?br /> A． B． C． D．
　
二、填空題:本大題共4小題，每小題4分，共16分
13．（4分）如圖，在邊長為1的正方形中隨機撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計陰影部分的面積為　 ?。?br />
14．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，則AB等于　 ?。?br /> 15．（4分）函數(shù)f（x）=的零點個數(shù)是　 ?。?br /> 16．（4分）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三個關(guān)系：①?a≠2；②?b=2；③?c≠0有且只有一個正確，則100a+10b+c等于　 ?。?br /> 　
三．解答題：本大題共6小題，共74分.
17．（12分）在等比數(shù)列{an}中，a2=3，a5=81．
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）設(shè)bn=log3an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．
18．（12分）已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx+cosx）．
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．
19．（12分）如圖，三棱錐A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M為AD中點，求三棱錐A﹣MBC的體積．

20．（12分）根據(jù)世行2013年新標(biāo)準(zhǔn)，人均GDP低于1035美元為低收入國家；人均GDP為1035﹣4085美元為中等偏下收入國家；人均GDP為4085﹣12616美元為中等偏上收入國家；人均GDP不低于12616美元為高收入國家．某城市有5個行政區(qū)，各區(qū)人口占該城市人口比例及人均GDP如下表：
行政區(qū)
區(qū)人口占城市人口比例
區(qū)人均GDP（單位：美元）
A
25%
8000
B
30%
4000
C
15%
6000
D
10%
3000
E
20%
10000
（Ⅰ）判斷該城市人均GDP是否達到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)；
（Ⅱ）現(xiàn)從該城市5個行政區(qū)中隨機抽取2個，求抽到的2個行政區(qū)人均GDP都達到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)的概率．
21．（12分）已知曲線Γ上的點到點F（0，1）的距離比它到直線y=﹣3的距離小2．
（Ⅰ）求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）曲線Γ在點P處的切線l與x軸交于點A．直線y=3分別與直線l及y軸交于點M，N，以MN為直徑作圓C，過點A作圓C的切線，切點為B，試探究：當(dāng)點P在曲線Γ上運動（點P與原點不重合）時，線段AB的長度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論．
22．（14分）已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax（a為常數(shù)）的圖象與y軸交于點A，曲線y=f（x）在點A處的切線斜率為﹣1．
（1）求a的值及函數(shù)f（x）的極值；
（2）證明：當(dāng)x＞0時，x2＜ex；
（3）證明：對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x∈（x0，+∞）時，恒有x＜cex．
　

2014年福建省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）
參考答案與試題解析
　
一．選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分
1．（5分）若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，則P∩Q等于（　?。?br /> A．{x|3≤x＜4} B．{x|3＜x＜4} C．{x|2≤x＜3} D．{x|2≤x≤3}
【分析】由于兩集合已是最簡，直接求它們的交集即可選出正確答案
【解答】解：∵P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，
∴P∩Q={x|3≤x＜4}．
故選：A．
【點評】本題考查交集的運算，理解好交集的定義是解題的關(guān)鍵
　
2．（5分）復(fù)數(shù)（3+2i）i等于（　　）
A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i
【分析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡求值．
【解答】解：（3+2i）i=3i+2i2=﹣2+3i．
故選：B．
【點評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，是基礎(chǔ)的計算題．
　
3．（5分）以邊長為1的正方形的一邊所在所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于（　?。?br /> A．2π B．π C．2 D．1
【分析】邊長為1的正方形，繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體為圓柱，從而可求圓柱的側(cè)面積．
【解答】解：邊長為1的正方形，繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體為圓柱，
則所得幾何體的側(cè)面積為：1×2π×1=2π，
故選：A．
【點評】本題是基礎(chǔ)題，考查旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積的求法，考查計算能力．
　
4．（5分）閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的n的值為（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根據(jù)框圖的流程模擬運行程序，直到不滿足條件2n＞n2，跳出循環(huán)，確定輸出的n值．
【解答】解：由程序框圖知：第一次循環(huán)n=1，21＞1；
第二次循環(huán)n=2，22=4．
不滿足條件2n＞n2，跳出循環(huán)，輸出n=2．
故選：B．
【點評】本題考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程模擬運行程序是解答此類問題的常用方法．
　
5．（5分）命題“?x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（　　）
A．?x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．?x∈（﹣∞，0），x3+x≥0
C．?x0∈[0，+∞），x03+x0＜0 D．?x0∈[0，+∞），x03+x0≥0
【分析】全稱命題的否定是一個特稱命題，按此規(guī)則寫出其否定即可得出正確選項．
【解答】解：∵命題“?x∈[0，+∞），x3+x≥0”是一個全稱命題．
∴其否定命題為：?x0∈[0，+∞），x03+x0＜0
故選：C．
【點評】本題考查全稱命題的否定，掌握此類命題的否定的規(guī)則是解答的關(guān)鍵．
　
6．（5分）已知直線l過圓x2+（y﹣3）2=4的圓心，且與直線x+y+1=0垂直，則l的方程是（　　）
A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0
【分析】由題意可得所求直線l經(jīng)過點（0，3），斜率為1，再利用點斜式求直線l的方程．
【解答】解：由題意可得所求直線l經(jīng)過點（0，3），斜率為1，
故l的方程是 y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0，
故選：D．
【點評】本題主要考查用點斜式求直線的方程，兩條直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
　
7．（5分）將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)y=f（x）的函數(shù)圖象，則下列說法正確的是（　?。?br /> A．y=f（x）是奇函數(shù)
B．y=f（x）的周期為π
C．y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱
D．y=f（x）的圖象關(guān)于點（﹣，0）對稱
【分析】利用函數(shù)圖象的平移法則得到函數(shù)y=f（x）的圖象對應(yīng)的解析式為f（x）=cosx，則可排除選項A，B，再由
cos=cos（﹣）=0即可得到正確選項．
【解答】解：將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移個單位，得y=sin（x+）=cosx．
即f（x）=cosx．
∴f（x）是周期為2π的偶函數(shù)，選項A，B錯誤；
∵cos=cos（﹣）=0，
∴y=f（x）的圖象關(guān)于點（﹣，0）、（，0）成中心對稱．
故選：D．
【點評】本題考查函數(shù)圖象的平移，考查了余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
　
8．（5分）若函數(shù)y=logax（a＞0，且a≠1）的圖象如圖所示，則下列函數(shù)正確的是（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象所過的特殊點求出a的值，再研究四個選項中函數(shù)與圖象是否對應(yīng)即可得出正確選項．
【解答】解：由對數(shù)函數(shù)的圖象知，此函數(shù)圖象過點（3，1），故有y=loga3=1，解得a=3，
對于A，由于y=a﹣x是一個減函數(shù)故圖象與函數(shù)不對應(yīng)，A錯；
對于B，由于冪函數(shù)y=xa是一個增函數(shù)，且是一個奇函數(shù)，圖象過原點，且關(guān)于原點對稱，圖象與函數(shù)的性質(zhì)對應(yīng)，故B正確；
對于C，由于a=3，所以y=（﹣x）a是一個減函數(shù)，圖象與函數(shù)的性質(zhì)不對應(yīng)，C錯；
對于D，由于y=loga（﹣x）與y=logax的圖象關(guān)于y軸對稱，所給的圖象不滿足這一特征，故D錯．
故選：B．
【點評】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)圖象的對應(yīng)，熟練掌握各類函數(shù)的性質(zhì)是快速準(zhǔn)確解答此類題的關(guān)鍵．
　
9．（5分）要制作一個容積為4m3，高為1m的無蓋長方體容器，已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是（　?。?br /> A．80元 B．120元 C．160元 D．240元
【分析】設(shè)池底長和寬分別為a，b，成本為y，建立函數(shù)關(guān)系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求．
【解答】解：設(shè)池底長和寬分別為a，b，成本為y，則
∵長方形容器的容器為4m3，高為1m，
∴底面面積S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，
∵a+b≥2=4，
∴當(dāng)a=b=2時，y取最小值160，
即該容器的最低總造價是160元，
故選：C．
【點評】本題以棱柱的體積為載體，考查了基本不等式，難度不大，屬于基礎(chǔ)題，由實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．
　
10．（5分）設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則等于（　?。?br /> A． B．2 C．3 D．4
【分析】慮用特殊值法去做，因為O為任意一點，不妨把O看成是特殊點，再代入計算，結(jié)果滿足哪一個選項，就選哪一個．
【解答】解：∵O為任意一點，不妨把A點看成O點，則=，
∵M是平行四邊形ABCD的對角線的交點，∴=2=4
故選：D．

【點評】本題考查了平面向量的加法，做題時應(yīng)掌握規(guī)律，認真解答．
　
11．（5分）已知圓C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，設(shè)平面區(qū)域Ω=，若圓心C∈Ω，且圓C與x軸相切，則a2+b2的最大值為（　　）
A．49 B．37 C．29 D．5
【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用圓C與x軸相切，得到b=1為定值，此時利用數(shù)形結(jié)合確定a的取值即可得到結(jié)論．
【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
圓心為（a，b），半徑為1
∵圓心C∈Ω，且圓C與x軸相切，
∴b=1，
則a2+b2=a2+1，
∴要使a2+b2的取得最大值，則只需a最大即可，
由圖象可知當(dāng)圓心C位于B點時，a取值最大，
由，解得，即B（6，1），
∴當(dāng)a=6，b=1時，a2+b2=36+1=37，即最大值為37，
故選：B．

【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．
　
12．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）間的“L﹣距離”定義為|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．則平面內(nèi)與x軸上兩個不同的定點F1，F(xiàn)2的“L﹣距離”之和等于定值（大于|F1F2|）的點的軌跡可以是（　　）
A． B． C． D．
【分析】設(shè)出F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)，在設(shè)出動點M的坐標(biāo)，由新定義列式后分類討論去絕對值，然后結(jié)合選項得答案．
【解答】解：設(shè)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），
再設(shè)動點M（x，y），動點到定點F1，F(xiàn)2的“L﹣距離”之和等于m（m＞2c＞0），
由題意可得：|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m，
即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m．
當(dāng)x＜﹣c，y≥0時，方程化為2x﹣2y+m=0；
當(dāng)x＜﹣c，y＜0時，方程化為2x+2y+m=0；
當(dāng)﹣c≤x＜c，y≥0時，方程化為y=；
當(dāng)﹣c≤x＜c，y＜0時，方程化為y=c﹣；
當(dāng)x≥c，y≥0時，方程化為2x+2y﹣m=0；
當(dāng)x≥c，y＜0時，方程化為2x﹣2y﹣m=0．
結(jié)合題目中給出的四個選項可知，選項A中的圖象符合要求．
故選：A．
【點評】本題考查軌跡方程的求法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，解答的關(guān)鍵是正確分類，是中檔題．
　
二、填空題:本大題共4小題，每小題4分，共16分
13．（4分）如圖，在邊長為1的正方形中隨機撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計陰影部分的面積為　0.18?。?br />
【分析】根據(jù)幾何槪型的概率意義，即可得到結(jié)論．
【解答】解：正方形的面積S=1，設(shè)陰影部分的面積為S，
∵隨機撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，
∴幾何槪型的概率公式進行估計得，
即S=0.18，
故答案為：0.18．
【點評】本題主要考查幾何槪型的概率的計算，利用豆子之間的關(guān)系建立比例關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．
　
14．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，則AB等于　1?。?br /> 【分析】利用余弦定理列出關(guān)系式，將AC，BC，以及cosA的值代入即可求出AB的長．
【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=4+c2﹣2c，
解得：c=1，
則AB=c=1，
故答案為：1
【點評】此題考查了余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．
　
15．（4分）函數(shù)f（x）=的零點個數(shù)是　2?。?br /> 【分析】根據(jù)函數(shù)零點的定義，直接解方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：當(dāng)x≤0時，由f（x）=0得x2﹣2=0，解得x=或x=（舍去），
當(dāng)x＞0時，由f（x）=0得2x﹣6+lnx=0，即lnx=6﹣2x，
作出函數(shù)y=lnx和y=6﹣2x在同一坐標(biāo)系圖象，由圖象可知此時兩個函數(shù)只有1個交點，故x＞0時，函數(shù)有1個零點．
故函數(shù)f（x）的零點個數(shù)為2，
故答案為：2

【點評】本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷，對于比較好求的函數(shù)，直接解方程f（x）=0即可，對于比較復(fù)雜的函數(shù)，由利用數(shù)形結(jié)合進行求解．
　
16．（4分）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三個關(guān)系：①?a≠2；②?b=2；③?c≠0有且只有一個正確，則100a+10b+c等于　201?。?br /> 【分析】根據(jù)集合相等的條件，列出a、b、c所有的取值情況，再判斷是否符合條件，求出a、b、c的值后代入式子求值．
【解答】解：由{a，b，c}={0，1，2}得，a、b、c的取值有以下情況：
當(dāng)a=0時，b=1、c=2或b=2、c=1，此時不滿足題意；
當(dāng)a=1時，b=0、c=2或b=2、c=0，此時不滿足題意；
當(dāng)a=2時，b=1、c=0，此時不滿足題意；
當(dāng)a=2時，b=0、c=1，此時滿足題意；
綜上得，a=2、b=0、c=1，代入100a+10b+c=201，
故答案為：201．
【點評】本題考查了集合相等的條件的應(yīng)用，以及分類討論思想，注意列舉時按一定的順序列舉，做到不重不漏．
　
三．解答題：本大題共6小題，共74分.
17．（12分）在等比數(shù)列{an}中，a2=3，a5=81．
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）設(shè)bn=log3an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．
【分析】（Ⅰ）設(shè)出等比數(shù)列的首項和公比，由已知列式求解首項和公比，則其通項公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的an代入bn=log3an，得到數(shù)列{bn}的通項公式，由此得到數(shù)列{bn}是以0為首項，以1為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的前n項和公式得答案．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
由a2=3，a5=81，得
，解得．
∴；
（Ⅱ）∵，bn=log3an，
∴．
則數(shù)列{bn}的首項為b1=0，
由bn﹣bn﹣1=n﹣1﹣（n﹣2）=1（n≥2），
可知數(shù)列{bn}是以1為公差的等差數(shù)列．
∴．
【點評】本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列的前n項和公式，是基礎(chǔ)的計算題．
　
18．（12分）已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx+cosx）．
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．
【分析】（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f（x）=sin（2x+）+1，從而求得f（）的值．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)f（x）=sin（2x+）+1，求得它的最小正周期．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得x的范圍，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
【解答】解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+1，
∴f（）=sin（+）+1=sin+1=+1=2．
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）=sin（2x+）+1，故它的最小正周期為=π．
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
【點評】本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬于中檔題．
　
19．（12分）如圖，三棱錐A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M為AD中點，求三棱錐A﹣MBC的體積．

【分析】（Ⅰ）證明：CD⊥平面ABD，只需證明AB⊥CD；
（Ⅱ）利用轉(zhuǎn)換底面，VA﹣MBC=VC﹣ABM=S△ABM?CD，即可求出三棱錐A﹣MBC的體積．
【解答】（Ⅰ）證明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD，
∵CD⊥BD，AB∩BD=B，
∴CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）解：∵AB⊥平面BCD，BD?平面BCD，
∴AB⊥BD．
∵AB=BD=1，
∴S△ABD=，
∵M為AD中點，
∴S△ABM=S△ABD=，
∵CD⊥平面ABD，
∴VA﹣MBC=VC﹣ABM=S△ABM?CD=．
【點評】本題考查線面垂直，考查三棱錐A﹣MBC的體積，正確運用線面垂直的判定定理是關(guān)鍵．
　
20．（12分）根據(jù)世行2013年新標(biāo)準(zhǔn)，人均GDP低于1035美元為低收入國家；人均GDP為1035﹣4085美元為中等偏下收入國家；人均GDP為4085﹣12616美元為中等偏上收入國家；人均GDP不低于12616美元為高收入國家．某城市有5個行政區(qū)，各區(qū)人口占該城市人口比例及人均GDP如下表：
行政區(qū)
區(qū)人口占城市人口比例
區(qū)人均GDP（單位：美元）
A
25%
8000
B
30%
4000
C
15%
6000
D
10%
3000
E
20%
10000
（Ⅰ）判斷該城市人均GDP是否達到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)；
（Ⅱ）現(xiàn)從該城市5個行政區(qū)中隨機抽取2個，求抽到的2個行政區(qū)人均GDP都達到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)的概率．
【分析】（Ⅰ）利用所給數(shù)據(jù)，計算該城市人均GDP，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)該城市人口總數(shù)為a，則該城市人均GDP為=6400
∴該城市人均GDP達到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)；
（Ⅱ）從該城市5個行政區(qū)中隨機抽取2個，共有=10種情況，GDP都達到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)的區(qū)域有A，C，E，抽到的2個行政區(qū)人均GDP都達到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)，共有=3種情況，
∴抽到的2個行政區(qū)人均GDP都達到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)的概率．
【點評】本題考查概率與統(tǒng)計等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力、應(yīng)用意識，考查必然、或然思想．
　
21．（12分）已知曲線Γ上的點到點F（0，1）的距離比它到直線y=﹣3的距離小2．
（Ⅰ）求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）曲線Γ在點P處的切線l與x軸交于點A．直線y=3分別與直線l及y軸交于點M，N，以MN為直徑作圓C，過點A作圓C的切線，切點為B，試探究：當(dāng)點P在曲線Γ上運動（點P與原點不重合）時，線段AB的長度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論．
【分析】（Ⅰ）設(shè)S（x，y）曲線Γ上的任意一點，利用拋物線的定義，判斷S滿足配額我想的定義，即可求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）通過拋物線方程利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出切線方程，求出A、M的坐標(biāo)，N的坐標(biāo)，以MN為直徑作圓C，求出圓心坐標(biāo)，半徑是常數(shù)，即可證明當(dāng)點P在曲線Γ上運動（點P與原點不重合）時，線段AB的長度不變．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)S（x，y）曲線Γ上的任意一點，
由題意可得：點S到F（0，1）的距離與它到直線y=﹣1的距離相等，
曲線Γ是以F為焦點直線y=﹣1為準(zhǔn)線的拋物線，
∴曲線Γ的方程為：x2=4y．
（Ⅱ）當(dāng)點P在曲線Γ上運動（點P與原點不重合）時，線段AB的長度不變，
證明如下：由（Ⅰ）可知拋物線的方程為y=，
設(shè)P（x0，y0）（x0≠0）則y0=，
由y得切線l的斜率k==
∴切線l的方程為：，即．
由得，
由得，
又N（0，3），
所以圓心C（），半徑r==
∴點P在曲線Γ上運動（點P與原點不重合）時，線段AB的長度不變．

【點評】本題考查軌跡方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，圓的方程函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等指數(shù)的應(yīng)用，難度較大．
　
22．（14分）已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax（a為常數(shù)）的圖象與y軸交于點A，曲線y=f（x）在點A處的切線斜率為﹣1．
（1）求a的值及函數(shù)f（x）的極值；
（2）證明：當(dāng)x＞0時，x2＜ex；
（3）證明：對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x∈（x0，+∞）時，恒有x＜cex．
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得a，再利用導(dǎo)數(shù)法求得函數(shù)的極值；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=ex﹣x2，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值，即可得出結(jié)論；
（3）利用（2）的結(jié)論，令x0=，則ex＞x2＞x，即x＜cex．即得結(jié)論成立．
【解答】解：（1）由f（x）=ex﹣ax得f′（x）=ex﹣a．
又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，
∴f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2．
由f′（x）=0得x=ln2，
當(dāng)x＜ln2時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞ln2時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
∴當(dāng)x=ln2時，f（x）有極小值為f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4．
f（x）無極大值．

（2）令g（x）=ex﹣x2，則g′（x）=ex﹣2x，
由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，
∴當(dāng)x＞0時，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex；

（3）對任意給定的正數(shù)c，總存在x0=＞0．當(dāng)x∈（x0，+∞）時，
由（2）得ex＞x2＞x，即x＜cex．
∴對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x∈（x0，+∞）時，恒有x＜cex．
【點評】本題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、全稱量詞、存在量詞等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力、抽象概括能力，考查函數(shù)與方程思想、有限與無限思想、劃歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、特殊與一般思想．屬難題．
　

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