福建省高考數(shù)學(xué)模擬試卷與解析(理科)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?福建省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題所給的四個(gè)答案中有且只有一個(gè)答案是正確的．把正確選項(xiàng)涂在答題卡的相應(yīng)位置上．）
1．已知復(fù)數(shù)z滿足zi=2i+x（x∈R），若z的虛部為2，則|z|=（　?。?br /> A．2 B．2 C． D．
2．已知命題p：“?x∈R，ex﹣x﹣1≤0”，則命題￢p（　　）
A．?x∈R，ex﹣x﹣1＞0 B．?x?R，ex﹣x﹣1＞0 C．?x∈R，ex﹣x﹣1≥0 D．?x∈R，ex﹣x﹣1＞0
3．閱讀算法框圖，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間[1，8]上，則輸入的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　　）

A．[0，2） B．[2，7] C．[2，4] D．[0，7]
4．若2cos2α=sin（α﹣），且α∈（，π），則cos2α的值為（　　）
A．﹣ B．﹣ C．1 D．
5．若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組目標(biāo)函數(shù)t=x﹣2y的最大值為2，則實(shí)數(shù)a的值是（　?。?br /> A．﹣2 B．0 C．1 D．2
6．如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（　?。?br />
A．3++ B．6+2+2 C．3+2 D．2++
7．（1﹣x）6（1+x）4的展開式中x2的系數(shù)是（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
8．已知拋物線C：y2=8x與直線y=k（x+2）（k＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|=2|FB|，則k=（　?。?br /> A． B． C． D．
9．已知f（x）=，若函數(shù)g（x）=f（x）﹣k有兩個(gè)零點(diǎn)，則兩零點(diǎn)所在的區(qū)間為（　　）
A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（1，+∞）
10．已知三棱錐O﹣ABC底面ABC的頂點(diǎn)在半徑為4的球O表面上，且AB=6，BC=2，AC=4，則三棱錐O﹣ABC的體積為（　　）
A．4 B．12 C．18 D．36
11．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線=1（a＞0，b＞0）的左，右兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P，使（）?=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且||=||，則雙曲線的離心率為（　　）
A． B． +1 C． D．
12．已知偶函數(shù)f（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x＜0時(shí)有2f（x）+xf′（x）＞x2，C，則不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0的解集為（　?。?br /> A．（﹣∞，﹣2012） B．（﹣2016，﹣2012） C．（﹣∞，﹣2016） D．（﹣2016，0）
　
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上．）
13．在等比數(shù)列{an}中，a3a7=8，a4+a6=6，則a2+a8=______．
14．已知在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=，其外接圓的圓心為O，則______．
15．以下命題正確的是：______．
①把函數(shù)y=3sin（2x+）的圖象向右平移個(gè)單位，可得到y(tǒng)=3sin2x的圖象；
②四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，AB=2，BC=1，O為AB中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，取得的P點(diǎn)到O的距離大于1的概率為1﹣；
③某校開設(shè)A類選修課3門，B類選擇課4門，一位同學(xué)從中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有30種；
④在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）內(nèi)取值的概率為0.1，則ξ在（2，3）內(nèi)取值的概率為0.4．
16．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，且a=3，則△ABC面積的最大值為______．
　
三、解答題：本大題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn=3an﹣1，其中n∈N*．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)anbn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn．
18．某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)該校高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高三的全體1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表，并得到如圖的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）試估計(jì)該校高三學(xué)生視力在5.0以上的人數(shù)；
（Ⅱ）為了進(jìn)一步調(diào)查學(xué)生的護(hù)眼習(xí)慣，學(xué)習(xí)小組成員進(jìn)行分層抽樣，在視力4.2～4.4和5.0～5.2的學(xué)生中抽取9人，并且在這9人中任取3人，記視力在4.2～4.4的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

19．已知：矩形A1ABB1，且AB=2AA1，C1，C分別是A1B1、AB的中點(diǎn)，D為C1C中點(diǎn)，將矩形A1ABB1沿著直線C1C折成一個(gè)60°的二面角，如圖所示．

（Ⅰ）求證：AB1⊥A1D；
（Ⅱ）求AB1與平面A1B1D所成角的正弦值．．
20．已知以A為圓心的圓（x﹣2）2+y2=64上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，B（﹣2，0），線段BM的垂直平分線交AM于點(diǎn)P，點(diǎn)P的軌跡為E．
（Ⅰ）求軌跡E的方程；
（Ⅱ）過(guò)A點(diǎn)作兩條相互垂直的直線l1，l2分別交曲線E于D，E，F(xiàn)，G四個(gè)點(diǎn)，求|DE|+|FG|的取值范圍．
21．已知函數(shù)f（x）=lnx+，a∈R，且函數(shù)f（x）在x=1處的切線平行于直線2x﹣y=0．
（Ⅰ）實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一點(diǎn)x0，使得x0+＜mf（x0）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
　
四.本題有（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中．[選修4-1：幾何證明講]
22．如圖，已知AB為圓O的一條直徑，以端點(diǎn)B為圓心的圓交直線AB于C、D兩點(diǎn)，交圓O于E、F兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作垂直于AD的直線，交直線AF于H點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：B、D、H、F四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）若AC=2，AF=2，求△BDF外接圓的半徑．

　
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
23．在極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求圓C的參數(shù)方程；
（Ⅱ）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（x，y）是圓C上動(dòng)點(diǎn)，試求x+y的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)．
　
[選修4-5：不等式選講]
24．已知a、b都是實(shí)數(shù)，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．
（1）若f（x）＞2，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）對(duì)滿足條件的所有a、b都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．
　
福建省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）試題解析
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題所給的四個(gè)答案中有且只有一個(gè)答案是正確的．把正確選項(xiàng)涂在答題卡的相應(yīng)位置上．）
1．已知復(fù)數(shù)z滿足zi=2i+x（x∈R），若z的虛部為2，則|z|=（　?。?br /> A．2 B．2 C． D．
【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模．
【分析】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，然后求解復(fù)數(shù)的模．
【解答】解：復(fù)數(shù)z滿足zi=2i+x（x∈R），
可得z==2﹣xi．
若z的虛部為2，
可得x=﹣2．
z=2﹣2i．
∴|z|=2　
故選：B．
2．已知命題p：“?x∈R，ex﹣x﹣1≤0”，則命題￢p（　?。?br /> A．?x∈R，ex﹣x﹣1＞0 B．?x?R，ex﹣x﹣1＞0
C．?x∈R，ex﹣x﹣1≥0 D．?x∈R，ex﹣x﹣1＞0
【考點(diǎn)】特稱命題；命題的否定．
【分析】利用含邏輯連接詞的否定是將存在變?yōu)槿我?，同時(shí)將結(jié)論否定，可寫出命題的否定．
【解答】解：∵命題p：“?x∈R，ex﹣x﹣1≤0”，
∴命題￢p：?x∈R，ex﹣x﹣1＞0，
故選：A
3．閱讀算法框圖，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間[1，8]上，則輸入的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　　）

A．[0，2） B．[2，7] C．[2，4] D．[0，7]
【考點(diǎn)】程序框圖．
【分析】模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程，得出該程序運(yùn)行輸出的是什么，由此得出解答來(lái)．
【解答】解：根據(jù)題意，得
當(dāng)x∈（﹣2，2）時(shí)，f（x）=2x，
∴1≤2x≤8，
∴0≤x≤3；
當(dāng)x?（﹣2，2）時(shí)，f（x）=x+1，
∴1≤x+1≤8，
∴0≤x≤7，
∴x的取值范圍是[0，7]．
故選：D．
4．若2cos2α=sin（α﹣），且α∈（，π），則cos2α的值為（　　）
A．﹣ B．﹣ C．1 D．
【考點(diǎn)】二倍角的余弦；三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．
【分析】法一、由已知推導(dǎo)出cosα+sinα=，cosα﹣sinα=﹣，解得cosα=，由此利用二倍角的余弦求得cos2α的值．
法二、利用誘導(dǎo)公式及倍角公式把已知變形，求出cos（α）=﹣，由α得范圍求出的范圍，進(jìn)一步求得sin（α），再由倍角公式得答案．
【解答】解：法一、
∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，
∵2cos2α=sin（α﹣），
∴2（cos2α﹣sin2α）=（sinα﹣cosα），
∴cosα+sinα=，①
∴1+2sinαcosα=，則2sinαcosα=﹣，
（cosα﹣sinα）2=1﹣2sinαcosα=1+，
∴cosα﹣sinα=，②
聯(lián)立①②，解得cosα=，
∴cos2α=2cos2α﹣1=2（）2﹣1=．
法二、
由2cos2α=sin（α﹣），
得2sin（）=sin（α﹣），
則4sin（）cos（α）=sin（α﹣），
∴cos（α）=﹣，
∵α∈（，π），
∴∈（），
則sin（）=﹣，
則cos2α=sin（）=2sin（）cos（α）=2×．
故選：D．
　
5．若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組目標(biāo)函數(shù)t=x﹣2y的最大值為2，則實(shí)數(shù)a的值是（　　）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．
【分析】畫出約束條件表示的可行域，然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)z=x﹣2y的最大值為2，確定約束條件中a的值即可．
【解答】解：畫出約束條件表示的可行域
由?A（2，0）是最優(yōu)解，
直線x+2y﹣a=0，過(guò)點(diǎn)A（2，0），
所以a=2，
故選D

　
6．如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（　?。?br />
A．3++ B．6+2+2 C．3+2 D．2++
【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．
【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，畫出該幾何體的直觀圖，結(jié)合圖形求出答案來(lái)．
【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖得，
該幾何體是底面為直角三角形的三棱錐，如圖所示；
∴它的表面積為
S=S底+S側(cè)
=××+（××2+×2×2+××）
=1+（+2+）
=3++．
故選：A．

　
7．（1﹣x）6（1+x）4的展開式中x2的系數(shù)是（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．
【分析】把已知二項(xiàng)式變形，然后展開二項(xiàng)式定理，則展開式中x2的系數(shù)可求．
【解答】解：（1﹣x）6（1+x）4 =（1﹣2x+x2）（1﹣x2）4
=（1﹣2x+x2）．
∴（1﹣x）6（1+x）4的展開式中x2的系數(shù)是．
故選：B．
　
8．已知拋物線C：y2=8x與直線y=k（x+2）（k＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|=2|FB|，則k=（　?。?br /> A． B． C． D．
【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．
【分析】根據(jù)直線方程可知直線恒過(guò)定點(diǎn)，如圖過(guò)A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根據(jù)|FA|=2|FB|，推斷出|AM|=2|BN|，點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)、連接OB，可知|OB|=|AF|，推斷出|OB|=|BF|，進(jìn)而求得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)可得，最后利用直線上的兩點(diǎn)求得直線的斜率．
【解答】解：設(shè)拋物線C：y2=8x的準(zhǔn)線為l：x=﹣2，
直線y=k（x+2）恒過(guò)定點(diǎn)P（﹣2，0）
如圖過(guò)A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|=2|FB|，則|AM|=2|BN|，
點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)、連接OB，
則|OB|=|AF|，
∴|OB|=|BF|，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，
∵k＞0，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），
∴k==．
故選：A．

　
9．已知f（x）=，若函數(shù)g（x）=f（x）﹣k有兩個(gè)零點(diǎn)，則兩零點(diǎn)所在的區(qū)間為（　?。?br /> A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（1，+∞）
【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．
【分析】求得x≥2時(shí)，x＜2時(shí)，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)性和值域，即有y=f（x）的圖象和直線y=k有兩個(gè)交點(diǎn)．通過(guò)圖象觀察，即可得到所求區(qū)間．
【解答】解：f（x）=，可得x≥2時(shí)，f（x）=遞減，且f（x）∈（0，1]；
當(dāng)x＜2時(shí)，f（x）=（x﹣1）3遞增，且f（x）∈（﹣∞，1）．
畫出函數(shù)f（x）的圖象，如圖：
令g（x）=f（x）﹣k=0，即有y=f（x）的圖象和直線y=k有兩個(gè)交點(diǎn)．
由圖象可得，當(dāng)0＜k＜1時(shí)，直線y=k和y=f（x）有兩個(gè)交點(diǎn)，
可得函數(shù)g（x）=f（x）﹣k的兩個(gè)零點(diǎn)在（1，+∞）．
故選：D．

　
10．已知三棱錐O﹣ABC底面ABC的頂點(diǎn)在半徑為4的球O表面上，且AB=6，BC=2，AC=4，則三棱錐O﹣ABC的體積為（　?。?br /> A．4 B．12 C．18 D．36
【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．
【分析】由勾股定理的逆定理得出AB⊥BC，故O在底面ABC上的投影為斜邊AC的中點(diǎn)，利用勾股定理計(jì)算出棱錐的高，代入體積公式計(jì)算．
【解答】解：∵AB=6，BC=2，AC=4，
∴AB2+BC2=AC2，
∴AB⊥BC．
過(guò)O作OD⊥平面ABC，則D為AC的中點(diǎn)．
∴OD===2．
∴VO﹣ABC===4．
故選A．

　
11．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線=1（a＞0，b＞0）的左，右兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P，使（）?=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且||=||，則雙曲線的離心率為（　?。?br /> A． B． +1 C． D．
【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．
【分析】取PF2的中點(diǎn)A，利用=2，可得⊥，從而可得PF1⊥PF2，利用雙曲線的定義及勾股定理，可得結(jié)論．
【解答】解：取PF2的中點(diǎn)A，則=2
∵（）?=0，∴2?=0
∴⊥
∵O是F1F2的中點(diǎn)
∴OA∥PF1，
∴PF1⊥PF2，
∵|PF1|=|PF2|，
∴2a=|PF1|﹣|PF2|=（﹣1）|PF2|，
∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，
∴c=|PF2|，
∴e===
故選B
　
12．已知偶函數(shù)f（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x＜0時(shí)有2f（x）+xf′（x）＞x2，C，則不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0的解集為（　?。?br /> A．（﹣∞，﹣2012） B．（﹣2016，﹣2012） C．（﹣∞，﹣2016） D．（﹣2016，0）
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．
【分析】通過(guò)觀察2f（x）+xf′（x）＞x2，不等式的左邊像一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，又直接寫不出來(lái)，對(duì)該不等式兩邊同乘以x，∵x＜0，∴會(huì)得到2xf（x）+x2f′（x）＜x3，而這時(shí)不等式的左邊是（x2f（x））′，所以構(gòu)造函數(shù)F（x）=x2f（x），則能判斷該函數(shù)在（﹣∞，0）上是減函數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）的奇偶性，得到F（x）是偶函數(shù)，發(fā)現(xiàn)不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0可以變成F（x+2014）＜F（﹣2）=F（2），從而|x+2014|＜2，解這個(gè)不等式便可．
【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0）；
得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3
即[x2f（x）]′＜x3＜0；
令F（x）=x2f（x）；
則當(dāng)x＜0時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是減函數(shù)；
∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F(xiàn)（﹣2）=4f（﹣2）；
即不等式等價(jià)為F（x+2014）﹣F（﹣2）＜0；
∵F（x）在（﹣∞，0）是減函數(shù)；
偶函數(shù)f（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，f（﹣x）=f（x），
∴F（﹣x）=F（x），F(xiàn)（x）在（0，+∞）遞增，
∴由F（x+2014）＜F（﹣2）=F（2）得，|x+2014|＜2，
∴﹣2016＜x＜﹣2012．
∴原不等式的解集是（﹣2016，﹣2012）．
故選：B．
　
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上．）
13．在等比數(shù)列{an}中，a3a7=8，a4+a6=6，則a2+a8=　9　．
【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【分析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a3a7=8=a4a6，a4+a6=6，解得，．可得q2．于是a2+a8=．
【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a3a7=8=a4a6，a4+a6=6，
解得，．
∴q2=2或．
則a2+a8==9．
故答案為：9．
　
14．已知在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=，其外接圓的圓心為O，則　10?。?br /> 【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義即可得到答案．
【解答】解： =（）=﹣?，
如圖，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義得）﹣?=6||﹣4||=6×3﹣4×2=10，
故答案為：10．

　
15．以下命題正確的是：?、佗邰堋。?br /> ①把函數(shù)y=3sin（2x+）的圖象向右平移個(gè)單位，可得到y(tǒng)=3sin2x的圖象；
②四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，AB=2，BC=1，O為AB中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，取得的P點(diǎn)到O的距離大于1的概率為1﹣；
③某校開設(shè)A類選修課3門，B類選擇課4門，一位同學(xué)從中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有30種；
④在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）內(nèi)取值的概率為0.1，則ξ在（2，3）內(nèi)取值的概率為0.4．
【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．
【分析】①根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移關(guān)系進(jìn)行判斷．
②根據(jù)幾何概型的概率公式進(jìn)行判斷．
③根據(jù)排列組合的計(jì)數(shù)原理進(jìn)行判斷．
④根據(jù)正態(tài)分布的概率關(guān)系進(jìn)行判斷．
【解答】解：①把函數(shù)y=3sin（2x+）的圖象向右平移個(gè)單位，得到y(tǒng)=3sin[2（x﹣）+]=3sin（2x﹣+）=3sin2x，即可得到y(tǒng)=3sin2x的圖象；故①正確，
②解：已知如圖所示：長(zhǎng)方形面積為2，以O(shè)為圓心，1為半徑作圓，在矩形內(nèi)部的部分（半圓）面積為，
因此取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率P==1﹣；故②錯(cuò)誤；
③可分以下2種情況：（1）A類選修課選1門，B類選修課選2門，有C31C42種不同的選法；
（2）A類選修課選2門，B類選修課選1門，有C32C41種不同的選法．
∴根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知不同的選法共有C31C42+C32C41=18+12=30種．故要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有30種正確，故③正確，
④在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2）（σ＞0）．則正態(tài)曲線關(guān)于x=2對(duì)稱，
若ξ在（﹣∞，1）內(nèi)取值的概率為0.1，則ξ在[1，2]的概率P（1＜x＜2）=0.5﹣0．=4，
則在（2，3）內(nèi)取值的概率P（2＜x＜3）=P（1＜x＜2）=0.4．故④正確，
故答案為：①③④

　
16．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，且a=3，則△ABC面積的最大值為　?。?br /> 【考點(diǎn)】正弦定理．
【分析】由（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，a=3，利用正弦定理可得（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化簡(jiǎn)利用余弦定理可得A，再利用余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式即可得出．
【解答】解：∵（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，a=3，
∴（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，
∴b2+c2﹣a2=bc，
∴cosA==，
∵A∈（0，π），∴A=．
∴b2+c2=9+bc≥2bc，化為bc≤9，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時(shí)取等號(hào)．
∴S△ABC==．
故最大值為：．
　
三、解答題：本大題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn=3an﹣1，其中n∈N*．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)anbn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn．
【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．
【分析】（ I）分n=1與n≥2討論，從而判斷出{an}是等比數(shù)列，從而求通項(xiàng)公式；
（ II）化簡(jiǎn)可得=3（﹣），利用裂項(xiàng)求和法求解．
【解答】解：（ I）∵，①
當(dāng)n=1時(shí)，a1=a1﹣，∴a1=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，∵Sn﹣1=an﹣1﹣，②
①﹣②得：
an=an﹣an﹣1，
即：an=3an﹣1（n≥2），
又∵a1=1，a2=3，
∴對(duì)n∈N*都成立，
故{an}是等比數(shù)列，
∴．
（ II）∵，
∴=3（﹣），
∴，
∴，
即Tn=．
　
18．某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)該校高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高三的全體1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表，并得到如圖的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）試估計(jì)該校高三學(xué)生視力在5.0以上的人數(shù)；
（Ⅱ）為了進(jìn)一步調(diào)查學(xué)生的護(hù)眼習(xí)慣，學(xué)習(xí)小組成員進(jìn)行分層抽樣，在視力4.2～4.4和5.0～5.2的學(xué)生中抽取9人，并且在這9人中任取3人，記視力在4.2～4.4的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列．
【分析】（I）設(shè)各組的頻率為f1=0.03，f2=0.07，f3=0.27，f4=0.26，f5=0.23，由此求出視力在5.0以上的頻率，從而能估計(jì)該校高三學(xué)生視力在5.0以上的人數(shù)．
（II）依題意9人中視力在4.2～4.4和5.0～5.2的學(xué)生分別有3人和6人，X可取0、1、2、3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【解答】（本小題滿分12分）
解：（I）設(shè)各組的頻率為fi（i=1，2，3，4，5，6），
f1=0.03，f2=0.07，f3=0.27，f4=0.26，f5=0.23，
∴視力在5.0以上的頻率為1﹣（0.03+0.07+0.27+0.26+0.23）=0.14，
估計(jì)該校高三學(xué)生視力在5.0以上的人數(shù)約為1000×0.14=140人． …
（II）依題意9人中視力在4.2～4.4和5.0～5.2的學(xué)生分別有3人和6人，X可取0、1、2、3，
，
，
，
．…
X的分布列為
X
0

1
2
3
P

X的數(shù)學(xué)期望．…
　
19．已知：矩形A1ABB1，且AB=2AA1，C1，C分別是A1B1、AB的中點(diǎn)，D為C1C中點(diǎn)，將矩形A1ABB1沿著直線C1C折成一個(gè)60°的二面角，如圖所示．

（Ⅰ）求證：AB1⊥A1D；
（Ⅱ）求AB1與平面A1B1D所成角的正弦值．．
【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．
【分析】（I）連結(jié)AB、A1B1，則可證明幾何體ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．取BC中點(diǎn)O，B1C1的中點(diǎn)O1，連結(jié)OA，OO1，以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)AA1=2，求出和的坐標(biāo)，通過(guò)計(jì)算得出AB1⊥A1D；
（II）求出平面A1B1D的法向量，則AB1與平面A1B1D所成角的正弦值為|cos＜＞|．
【解答】證明：（Ⅰ）連結(jié)AB、A1B1，
∵C1，C分別是矩形A1ABB1邊A1B1、AB的中點(diǎn)，
∴AC⊥CC1，BC⊥CC1，AC∩BC=C
∴CC1⊥面ABC
∴∠ACB為二面角A﹣CC'﹣A'的平面角，則∠ACB=60°．
∴△ABC為正三角形，即幾何體ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．
取BC中點(diǎn)O，B1C1的中點(diǎn)O1，連結(jié)OA，OO1，則OA⊥平面BB1C1C，OO1⊥BC．
以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B，OO1，OA的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)AA1=2，則A（0，0，），B1（1，2，0），D（﹣1，1，0），A1（0，2，）．
∴=（1，2，﹣），，
∴=1×（﹣1）+2×（﹣1）+（﹣）×（﹣）=0，
∴
∴AB1⊥A1D．
（Ⅱ）=（1，0，﹣），
設(shè)平面A1B1D的法向量為=（x，y，z）．則，．
∴，令z=1，得．
∴cos＜＞===﹣．
∴AB1與平面A1B1D所成角的正弦值為．

　
20．已知以A為圓心的圓（x﹣2）2+y2=64上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，B（﹣2，0），線段BM的垂直平分線交AM于點(diǎn)P，點(diǎn)P的軌跡為E．
（Ⅰ）求軌跡E的方程；
（Ⅱ）過(guò)A點(diǎn)作兩條相互垂直的直線l1，l2分別交曲線E于D，E，F(xiàn)，G四個(gè)點(diǎn)，求|DE|+|FG|的取值范圍．
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．
【分析】（Ⅰ）連接PB，依題意得PB=PM，從而推導(dǎo)出點(diǎn)P的軌跡E是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，由此能求出E的軌跡方程．
（Ⅱ）當(dāng)直線l1，l2中有一條直線的斜率不存在時(shí)，|DE|+|FG|=6+8=14，當(dāng)直線l1的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線l1的方程y=k（x﹣2），聯(lián)立，整理得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0，由此利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式，結(jié)合題意能求出|DE|+|FG|的取值范圍．
【解答】（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）連接PB，依題意得PB=PM，所以PB+PA=PM=8
所以點(diǎn)P的軌跡E是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，
所以a=4，c=2，，
所以E的軌跡方程是． …
（Ⅱ）當(dāng)直線l1，l2中有一條直線的斜率不存在時(shí)，|DE|+|FG|=6+8=14，
當(dāng)直線l1的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線l1的方程y=k（x﹣2），設(shè)D（x1，y1），E（x2，y2），
聯(lián)立，整理得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0…
，，
所以DE===，…
設(shè)直線l2的方程為，
所以，
所以，…
設(shè)t=k2+1，所以t＞1，所以，
因?yàn)閠＞1，所以，所以|DE|+|FG|的取值范圍是．…
　
21．已知函數(shù)f（x）=lnx+，a∈R，且函數(shù)f（x）在x=1處的切線平行于直線2x﹣y=0．
（Ⅰ）實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一點(diǎn)x0，使得x0+＜mf（x0）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．
【分析】（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的概念求解即可；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，只需求出函數(shù)的最小值小于零即可，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)參數(shù)m進(jìn)行分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，最后得出m 的范圍．．
【解答】解：（Ⅰ）∵，函數(shù)f（x）在x=1處的切線平行于直線2x﹣y=0．
∴f'（1）=1﹣a=2
∴a=﹣1
（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一點(diǎn)x0，使得成立，
構(gòu)造函數(shù)的最小值小于零．
…
①當(dāng)m+1≥e時(shí)，即m≥e﹣1時(shí)，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，…
由可得，
因?yàn)?，所以? …
②當(dāng)m+1≤1，即m≤0時(shí)，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
由h（1）=1+1+m＜0可得m＜﹣2； …
③當(dāng)1＜m+1＜e，即0＜m＜e﹣1時(shí)，
最小值為h（1+m），
因?yàn)?＜ln（1+m）＜1，所以，0＜mln（1+m）＜m，
h（1+m）=2+m﹣mln（1+m）＞2
此時(shí)，h（1+m）＜0不成立．
綜上所述：可得所求m的范圍是：或m＜﹣2．…
　
四.本題有（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中．[選修4-1：幾何證明講]
22．如圖，已知AB為圓O的一條直徑，以端點(diǎn)B為圓心的圓交直線AB于C、D兩點(diǎn)，交圓O于E、F兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作垂直于AD的直線，交直線AF于H點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：B、D、H、F四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）若AC=2，AF=2，求△BDF外接圓的半徑．

【考點(diǎn)】圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定；與圓有關(guān)的比例線段．
【分析】（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出BF⊥FH，DH⊥BD，由此能證明B、D、F、H四點(diǎn)共圓．
（2）因?yàn)锳H與圓B相切于點(diǎn)F，由切割線定理得AF2=AC?AD，解得AD=4，BF=BD=1，由△AFB∽△ADH，得DH=，由此能求出△BDF的外接圓半徑．
【解答】（Ⅰ）證明：因?yàn)锳B為圓O一條直徑，所以BF⊥FH，…
又DH⊥BD，
故B、D、F、H四點(diǎn)在以BH為直徑的圓上，
所以B、D、F、H四點(diǎn)共圓．…
（2）解：因?yàn)锳H與圓B相切于點(diǎn)F，
由切割線定理得AF2=AC?AD，即（2）2=2?AD，
解得AD=4，…
所以BD=，BF=BD=1，
又△AFB∽△ADH，
則，得DH=，…
連接BH，由（1）知BH為DBDF的外接圓直徑，
BH=，
故△BDF的外接圓半徑為．…

　
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
23．在極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求圓C的參數(shù)方程；
（Ⅱ）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（x，y）是圓C上動(dòng)點(diǎn)，試求x+y的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)．
【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）求出圓的普通方程，然后求解圓C的參數(shù)方程；
（Ⅱ）利用圓的參數(shù)方程，表示出x+y，通過(guò)兩角和與差的三角函數(shù)，求解最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)．
【解答】（本小題滿分10分）選修4﹣4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
解：（Ⅰ）因?yàn)棣?=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，
所以x2+y2=4x+4y﹣6，
所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，
即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2為圓C的普通方程．…
所以所求的圓C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…
當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（3，3）時(shí)，…x+y取到最大值為6．…
　
[選修4-5：不等式選講]
24．已知a、b都是實(shí)數(shù)，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．
（1）若f（x）＞2，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）對(duì)滿足條件的所有a、b都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．
【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題．
【分析】（1）利用絕對(duì)值的意義，|x﹣1|+|x﹣2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，而數(shù)軸上滿足|x﹣1|+|x﹣2|=2的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出結(jié)論．
（2）轉(zhuǎn)化不等式為|x﹣1|+|x﹣2|≤，利用函數(shù)恒成立以及絕對(duì)值的幾何意義，求出x的范圍即可．
【解答】解：（1）由f（x）＞2，即|x﹣1|+|x﹣2|＞2．
而|x﹣1|+|x﹣2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
而數(shù)軸上滿足|x﹣1|+|x﹣2|=2的點(diǎn)的坐標(biāo)為和，
故不等式|x﹣1|+|x﹣2|≥2的解集為﹛x|x≤或x≥﹜，
（2）由題知，|x﹣1|+|x﹣2|≤恒成立，故|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于的最小值．
∵|a+b|+|a﹣b|≥|a+b+a﹣b|=2|a|，當(dāng)且僅當(dāng) （a+b）（a﹣b）≥0 時(shí)取等號(hào)，
∴的最小值等于2，∴x的范圍即為不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解．
由于|x﹣1|+|x﹣2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，又由于數(shù)軸上的、對(duì)應(yīng)點(diǎn)到
1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和等于2，故不等式的解集為[，]，
故答案為[，]．
　

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