?2013年福建省高考數(shù)學試卷（理科）
　
一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目的要求的.
1．（5分）已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（　?。?br /> A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，則“a=3”是“A?B“的（　　）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（5分）雙曲線的頂點到漸近線的距離等于（　?。?br /> A． B． C． D．
4．（5分）某校從高一年級學生中隨機抽取部分學生，將他們的模塊測試成績分成6組：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級共有學生600名，據(jù)此估計，該模塊測試成績不少于60分的學生人數(shù)為（　?。?br />
A．588 B．480 C．450 D．120
5．（5分）滿足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實數(shù)解的有序數(shù)對的個數(shù)為（　?。?br /> A．14 B．13 C．12 D．10
6．（5分）閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入的k=10，則該算法的功能是（　?。?br />
A．計算數(shù)列{2n﹣1}的前10項和 B．計算數(shù)列{2n﹣1}的前9項和
C．計算數(shù)列{2n﹣1}的前10項和 D．計算數(shù)列{2n﹣1}的前9項和
7．（5分）在四邊形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），則該四邊形的面積為（　?。?br /> A． B． C．5 D．10
8．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，x0（x0≠0）是f（x）的極大值點，以下結(jié)論一定正確的是（　?。?br /> A．?x∈R，f（x）≤f（x0） B．﹣x0是f（﹣x）的極小值點
C．﹣x0是﹣f（x）的極小值點 D．﹣x0是﹣f（﹣x）的極小值點
9．（5分）已知等比數(shù)列{an}的公比為q，記bn=am（n﹣1）+1+am（n﹣1）+2+…+am（n﹣1）+m，cn=am（n﹣1）+1?am（n﹣1）+2?…?am（n﹣1）+m，（m，n∈N*），則以下結(jié)論一定正確的是（　?。?br /> A．數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，公差為qm
B．數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，公比為q2m
C．數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為
D．數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為
10．（5分）設(shè)S，T是R的兩個非空子集，如果存在一個從S到T的函數(shù)y=f（x）滿足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）對任意x1，x2∈S，當x1＜x2時，恒有f（x1）＜f（x2），那么稱這兩個集合“保序同構(gòu)”，以下集合對不是“保序同構(gòu)”的是（　　）
A．A=N*，B=N
B．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}
C．A={x|0＜x＜1}，B=R
D．A=Z，B=Q
　
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填寫在答題卡的相應(yīng)位置.
11．（4分）利用計算機產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機數(shù)a，則事件“3a﹣1＞0”發(fā)生的概率為　 　．
12．（4分）已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個簡單組合體，如果該組合體的正視圖、俯視圖、均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該球的表面積是　 ?。?br />
13．（4分）如圖，在△ABC中，已知點D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，則BD的長為　 ?。?br />
14．（4分）橢圓Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c，若直線y=與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于　 ?。?br /> 15．（4分）當x∈R，|x|＜1時，有如下表達式：1+x+x2+…+xn+…=
兩邊同時積分得：dx+xdx+x2dx+…+xndx+…=dx
從而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1+…=ln2
請根據(jù)以上材料所蘊含的數(shù)學思想方法，計算：
×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1=　 ?。?br /> 　
三、解答題：本大題共5小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16．（13分）某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為，中獎可以獲得2分；方案乙的中獎率為，中獎可以獲得3分；未中獎則不得分．每人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結(jié)束后憑分數(shù)兌換獎品．
（1）若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為x，求x≤3的概率；
（2）若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的數(shù)學期望較大？
17．（13分）已知函數(shù)f（x）=x﹣alnx（a∈R）
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．
18．（13分）如圖，在正方形OABC中，O為坐標原點，點A的坐標為（10，0），點C的坐標為（0，10），分別將線段OA和AB十等分，分點分別記為A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，連接OBi，過Ai作x軸的垂線與OBi，交于點．
（1）求證：點都在同一條拋物線上，并求拋物線E的方程；
（2）過點C作直線l與拋物線E交于不同的兩點M，N，若△OCM與△OCN的面積之比為4：1，求直線l的方程．

19．（13分）如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）
（1）求證：CD⊥平面ADD1A1
（2）若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為，求k的值
（3）現(xiàn)將與四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼成一個新的四棱柱，規(guī)定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為f（k），寫出f（k）的解析式．（直接寫出答案，不必說明理由）

20．（14分）已知函數(shù)f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期為π，圖象的一個對稱中心為（，0），將函數(shù)f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式
（2）是否存在x0∈（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請確定x0的個數(shù)，若不存在，說明理由；
（3）求實數(shù)a與正整數(shù)n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）內(nèi)恰有2013個零點．
　
本題設(shè)有（21）、（22）、（23）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分.如果多做，則按所做的前兩題計分.
21．（7分）選修4﹣2：矩陣與變換
已知直線l：ax+y=1在矩陣對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l′：x+by=1
（I）求實數(shù)a，b的值
（II）若點P（x0，y0）在直線l上，且，求點P的坐標．
22．（7分）選修4﹣4：坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知點A的極坐標為，直線l的極坐標方程為，且點A在直線l上．
（Ⅰ）求a的值及直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）圓C的參數(shù)方程為，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系．
23．設(shè)不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集為A，且
（Ⅰ）求a的值
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．
　

2013年福建省高考數(shù)學試卷（理科）
參考答案與試題解析
　
一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目的要求的.
1．（5分）已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】求出復(fù)數(shù)z，復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點的坐標，即可得到選項．
【解答】解：因為復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，
所以z=1﹣2i，對應(yīng)的點的坐標為（1，﹣2）．
z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限．
故選：D．
【點評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示以及幾何意義，基本知識的考查．
　
2．（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，則“a=3”是“A?B“的（　?。?br /> A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【分析】先有a=3成立判斷是否能推出A?B成立，反之判斷“A?B”成立是否能推出a=3成立；利用充要條件的題意得到結(jié)論．
【解答】解：當a=3時，A={1，3}所以A?B，即a=3能推出A?B；
反之當A?B時，所以a=3或a=2，所以A?B成立，推不出a=3
故“a=3”是“A?B”的充分不必要條件
故選：A．
【點評】本題考查利用充要條件的定義判斷一個命題是另一個命題的什么條件．
　
3．（5分）雙曲線的頂點到漸近線的距離等于（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】由對稱性可取雙曲線的頂點（2，0），漸近線，利用點到直線的距離公式即可得到頂點到漸近線的距離．
【解答】解：由對稱性可取雙曲線的頂點（2，0），漸近線，
則頂點到漸近線的距離d=．
故選：C．
【點評】熟練掌握雙曲線的頂點、漸近線方程及得到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵．
　
4．（5分）某校從高一年級學生中隨機抽取部分學生，將他們的模塊測試成績分成6組：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級共有學生600名，據(jù)此估計，該模塊測試成績不少于60分的學生人數(shù)為（　?。?br />
A．588 B．480 C．450 D．120
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，成績不低于60分的頻率，然后根據(jù)頻數(shù)=頻率×總數(shù)可求出所求．
【解答】解：根據(jù)頻率分布直方圖，
成績不低于60（分）的頻率為1﹣10×（0.005+0.015）=0.8．
由于該校高一年級共有學生600人，利用樣本估計總體的思想，可估計該校高一年級模塊測試成績不低于60（分）的人數(shù)為600×0.8=480人．
故選：B．
【點評】本小題主要考查頻率、頻數(shù)、統(tǒng)計和概率等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及運算求解能力．
　
5．（5分）滿足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實數(shù)解的有序數(shù)對的個數(shù)為（　?。?br /> A．14 B．13 C．12 D．10
【分析】由于關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實數(shù)根，所以分兩種情況：（1）當a≠0時，方程為一元二次方程，那么它的判別式大于或等于0，由此即可求出a的取值范圍；（2）當a=0時，方程為2x+b=0，此時一定有解．
【解答】解：（1）當a=0時，方程為2x+b=0，此時一定有解；
此時b=﹣1，0，1，2；即（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2）四種．
（2）當a≠0時，方程為一元二次方程，
∴△=4﹣4ab≥0，
∴ab≤1．所以a=﹣1，1，2，此時a，b的對數(shù)為（﹣1，0），（﹣1，2），（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），共9種，
關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實數(shù)解的有序數(shù)對的個數(shù)為13種，
故選：B．
【點評】本題考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根，在解題時要注意分類討論思想運用．考查分類討論思想．
　
6．（5分）閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入的k=10，則該算法的功能是（　?。?br />
A．計算數(shù)列{2n﹣1}的前10項和 B．計算數(shù)列{2n﹣1}的前9項和
C．計算數(shù)列{2n﹣1}的前10項和 D．計算數(shù)列{2n﹣1}的前9項和
【分析】從賦值框給出的兩個變量的值開始，逐漸分析寫出程序運行的每一步，便可得到程序框圖表示的算法的功能．
【解答】解：框圖首先給累加變量S和循環(huán)變量i賦值，
S=0，i=1；
判斷i＞10不成立，執(zhí)行S=1+2×0=1，i=1+1=2；
判斷i＞10不成立，執(zhí)行S=1+2×1=1+2，i=2+1=3；
判斷i＞10不成立，執(zhí)行S=1+2×（1+2）=1+2+22，i=3+1=4；
…
判斷i＞10不成立，執(zhí)行S=1+2+22+…+29，i=10+1=11；
判斷i＞10成立，輸出S=1+2+22+…+29．
算法結(jié)束．
故則該算法的功能是計算數(shù)列{2n﹣1}的前10項和．
故選：A．
【點評】本題考查解決程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)時，常采用寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果，找規(guī)律．
　
7．（5分）在四邊形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），則該四邊形的面積為（　?。?br /> A． B． C．5 D．10
【分析】通過向量的數(shù)量積判斷四邊形的形狀，然后求解四邊形的面積即可．
【解答】解：因為在四邊形ABCD中，，，=0，
所以四邊形ABCD的對角線互相垂直，又，
，
該四邊形的面積：==5．
故選：C．
【點評】本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，向量的數(shù)量積判斷四邊形的形狀是解題的關(guān)鍵，考查分析問題解決問題的能力．
　
8．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，x0（x0≠0）是f（x）的極大值點，以下結(jié)論一定正確的是（　　）
A．?x∈R，f（x）≤f（x0） B．﹣x0是f（﹣x）的極小值點
C．﹣x0是﹣f（x）的極小值點 D．﹣x0是﹣f（﹣x）的極小值點
【分析】A項，x0（x0≠0）是f（x）的極大值點，不一定是最大值點，故不正確；
B項，f（﹣x）是把f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，因此，﹣x0是f（﹣x）的極大值點；
C項，﹣f（x）是把f（x）的圖象關(guān)于x軸對稱，因此，x0是﹣f（x）的極小值點；
D項，﹣f（﹣x）是把f（x）的圖象分別關(guān)于x軸、y軸做對稱，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的極小值點．
【解答】解：對于A項，x0（x0≠0）是f（x）的極大值點，不一定是最大值點，因此不能滿足在整個定義域上值最大，故A錯誤；
對于B項，f（﹣x）是把f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，因此，﹣x0是f（﹣x）的極大值點，故B錯誤；
對于C項，﹣f（x）是把f（x）的圖象關(guān)于x軸對稱，因此，x0是﹣f（x）的極小值點，故C錯誤；
對于D項，﹣f（﹣x）是把f（x）的圖象分別關(guān)于x軸、y軸做對稱，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的極小值點，故D正確．
故選：D．
【點評】本題考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)圖象的對稱性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
　
9．（5分）已知等比數(shù)列{an}的公比為q，記bn=am（n﹣1）+1+am（n﹣1）+2+…+am（n﹣1）+m，cn=am（n﹣1）+1?am（n﹣1）+2?…?am（n﹣1）+m，（m，n∈N*），則以下結(jié)論一定正確的是（　?。?br /> A．數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，公差為qm
B．數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，公比為q2m
C．數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為
D．數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為
【分析】①，當q=1時，bn=mam（n﹣1），bn+1=mam（n﹣1）+m=mam（n﹣1）=bn，此時是常數(shù)列，可判斷A，B兩個選項
②由于等比數(shù)列{an}的公比為q，利用等比數(shù)列的通項公式可得，=，得出即可判斷出C，D兩個選項．
【解答】解：①，當q=1時，bn=mam（n﹣1），bn+1=mam（n﹣1）+m=mam（n﹣1）=bn，此時是常數(shù)列，選項A不正確，選項B正確；
當q≠1時，，=，此時，選項B不正確，
又bn+1﹣bn=，不是常數(shù)，故選項A不正確，
②∵等比數(shù)列{an}的公比為q，∴，
∴=，
∴===，故C正確D不正確．
綜上可知：只有C正確．
故選：C．
【點評】熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項公式及其前n項和公式是解題的關(guān)鍵．
　
10．（5分）設(shè)S，T是R的兩個非空子集，如果存在一個從S到T的函數(shù)y=f（x）滿足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）對任意x1，x2∈S，當x1＜x2時，恒有f（x1）＜f（x2），那么稱這兩個集合“保序同構(gòu)”，以下集合對不是“保序同構(gòu)”的是（　?。?br /> A．A=N*，B=N
B．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}
C．A={x|0＜x＜1}，B=R
D．A=Z，B=Q
【分析】利用題目給出的“保序同構(gòu)”的概念，對每一個選項中給出的兩個集合，利用所學知識，找出能夠使兩個集合滿足題目所給出的條件的函數(shù)，即B是函數(shù)的值域，且函數(shù)為定義域上的增函數(shù)．排除掉是“保序同構(gòu)”的，即可得到要選擇的答案．
【解答】解：對于A=N*，B=N，存在函數(shù)f（x）=x﹣1，x∈N*，滿足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）對任意x1，x2∈A，當x1＜x2時，恒有f（x1）＜f（x2），所以選項A是“保序同構(gòu)”；
對于A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}，存在函數(shù)，滿足：
（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）對任意x1，x2∈A，當x1＜x2時，恒有f（x1）＜f（x2），所以選項B是“保序同構(gòu)”；
對于A={x|0＜x＜1}，B=R，存在函數(shù)f（x）=tan（），滿足：（i）B={f（x）|x∈A}；
（ii）對任意
x1，x2∈A，當x1＜x2時，恒有f（x1）＜f（x2），所以選項C是“保序同構(gòu)”；
前三個選項中的集合對是“保序同構(gòu)”，由排除法可知，不是“保序同構(gòu)”的只有D．
故選：D．
【點評】本題是新定義題，考查了函數(shù)的定義域和值域，考查了函數(shù)的單調(diào)性，綜合考查了不同類型函數(shù)的基本性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．
　
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填寫在答題卡的相應(yīng)位置.
11．（4分）利用計算機產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機數(shù)a，則事件“3a﹣1＞0”發(fā)生的概率為　　．
【分析】本題考查的知識點是幾何概型的意義，關(guān)鍵是要找出（0，1）上產(chǎn)生隨機數(shù)a所對應(yīng)圖形的長度，及事件“3a﹣1＞0”對應(yīng)的圖形的長度，并將其代入幾何概型計算公式，進行求解．
【解答】解：3a﹣1＞0即a＞，
則事件“3a﹣1＞0”發(fā)生的概率為P==．
故答案為：．
【點評】幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)．
　
12．（4分）已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個簡單組合體，如果該組合體的正視圖、俯視圖、均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該球的表面積是　12π?。?br />
【分析】由三視圖可知，組合體是球內(nèi)接正方體，正方體的棱長為2，求出球的半徑，然后求出球的表面積即可．
【解答】解：由三視圖可知，組合體是球內(nèi)接正方體，正方體的棱長為2，
球的直徑就是正方體的體對角線的長，所以2r=，r=，
所以球的表面積為：4πr2=12π．
故答案為：12π．

【點評】本題考查三視圖與幾何體的關(guān)系，球的內(nèi)接體以及球的表面積的求法，考查空間想象能力與計算能力．
　
13．（4分）如圖，在△ABC中，已知點D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，則BD的長為　?。?br />
【分析】由∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用誘導公式化簡sin∠BAC，求出cos∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cos∠BAD的值，利用余弦定理即可求出BD的長．
【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，
∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=，
在△ABD中，AB=3，AD=3，
根據(jù)余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB?AD?cos∠BAD=18+9﹣24=3，
則BD=．
故答案為：
【點評】此題考查了余弦定理，誘導公式，以及垂直的定義，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．
　
14．（4分）橢圓Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c，若直線y=與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于　　．
【分析】由直線可知斜率為，可得直線的傾斜角α=60°．又直線與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1，可得，進而．
設(shè)|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、橢圓的定義及其邊角關(guān)系可得，解出a，c即可．
【解答】解：如圖所示，
由直線可知傾斜角α與斜率有關(guān)系=tanα，∴α=60°．
又橢圓Γ的一個交點滿足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴，∴．
設(shè)|MF2|=m，|MF1|=n，則，解得．
∴該橢圓的離心率e=．
故答案為．

【點評】本題綜合考查了直線的斜率與傾斜角的關(guān)系、勾股定理、含30°角的直角三角形的邊角關(guān)系、橢圓的定義、離心率等基礎(chǔ)知識，考查了推理能力和計算能力即數(shù)形結(jié)合的思想方法．
　
15．（4分）當x∈R，|x|＜1時，有如下表達式：1+x+x2+…+xn+…=
兩邊同時積分得：dx+xdx+x2dx+…+xndx+…=dx
從而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1+…=ln2
請根據(jù)以上材料所蘊含的數(shù)學思想方法，計算：
×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1=　?。?br /> 【分析】根據(jù)二項式定理得Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n，兩邊同時積分整理后，整理即可得到結(jié)論．
【解答】解：二項式定理得Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n，
對Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n
兩邊同時積分得：
從而得到如下等式：=
故答案為：．
【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用．是道好題，解決問題的關(guān)鍵在于對Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n，兩邊同時積分，要是想不到這一點，就變成難題了．
　
三、解答題：本大題共5小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16．（13分）某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為，中獎可以獲得2分；方案乙的中獎率為，中獎可以獲得3分；未中獎則不得分．每人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結(jié)束后憑分數(shù)兌換獎品．
（1）若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為x，求x≤3的概率；
（2）若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的數(shù)學期望較大？
【分析】（1）記“他們的累計得分X≤3”的事事件為A，則事件A的對立事件是“X=5”，由題意知，小明中獎的概率為，小紅中獎的概率為，且兩人抽獎中獎與否互不影響，先根據(jù)相互獨立事件的乘法公式求出對立事件的概率，再利用對立事件的概率公式即可求出他們的累計得分x≤3的概率．
（2）設(shè)小明、小紅兩人都選擇甲方案抽獎中獎次數(shù)為X1，甲小明、小紅兩人都選擇方案乙抽獎中獎次數(shù)為X2，則這兩人都選擇甲方案抽獎累計得分的數(shù)學期望為E（2X1），都選擇乙方案抽獎累計得分的數(shù)學期望為E（3X2）．根據(jù)題意知X1～B（2，），X2～B（2，），利用貝努利概率的期望公式計算即可得出E（2X1）＞E（3X2），從而得出答案．
【解答】解：（1）由題意知，小明中獎的概率為，小紅中獎的概率為，且兩人抽獎中獎與否互不影響，
記“他們的累計得分X≤3”的事件為A，則事件A的對立事件是“X=5”，
因為P（X=5）=，∴P（A）=1﹣P（X=5）=；
即他們的累計得分x≤3的概率為．
（2）設(shè)小明、小紅兩人都選擇甲方案抽獎中獎次數(shù)為X1，
小明、小紅兩人都選擇方案乙抽獎中獎次數(shù)為X2，則這兩人都選擇甲方案抽獎累計得分的數(shù)學期望為E（2X1）
都選擇乙方案抽獎累計得分的數(shù)學期望為E（3X2）
由已知可得，X1～B（2，），X2～B（2，），
∴E（X1）=2×=，E（X2）=2×=，
從而E（2X1）=2E（X1）=，E（3X2）=3E（X2）=，
由于E（2X1）＞E（3X2），
∴他們選擇甲方案抽獎，累計得分的數(shù)學期望較大．
【點評】本題考查利用概率知識解決實際問題，考查分類討論的數(shù)學思想，考查數(shù)學期望的計算，確定X服從的分布是解題的關(guān)鍵．
　
17．（13分）已知函數(shù)f（x）=x﹣alnx（a∈R）
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．
【分析】（1）把a=2代入原函數(shù)解析式中，求出函數(shù)在x=1時的導數(shù)值，直接利用直線方程的點斜式寫直線方程；
（2）求出函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)可知，當a≤0時，f′（x）＞0，函數(shù)在定義域（0，+∝）上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值，當a＞0時，求出導函數(shù)的零點，由導函數(shù)的零點對定義域分段，利用原函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的極值．
【解答】解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），．
（1）當a=2時，f（x）=x﹣2lnx，，
因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，
所以曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程為y﹣1=﹣（x﹣1），
即x+y﹣2=0
（2）由，x＞0知：
①當a≤0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，函數(shù)f（x）無極值；
②當a＞0時，由f′（x）=0，解得x=a．
又當x∈（0，a）時，f′（x）＜0，當x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0．
從而函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值，且極小值為f（a）=a﹣alna，無極大值．
綜上，當a≤0時，函數(shù)f（x）無極值；
當a＞0時，函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值a﹣alna，無極大值．
【點評】本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了分類討論得數(shù)學思想，屬中檔題．
　
18．（13分）如圖，在正方形OABC中，O為坐標原點，點A的坐標為（10，0），點C的坐標為（0，10），分別將線段OA和AB十等分，分點分別記為A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，連接OBi，過Ai作x軸的垂線與OBi，交于點．
（1）求證：點都在同一條拋物線上，并求拋物線E的方程；
（2）過點C作直線l與拋物線E交于不同的兩點M，N，若△OCM與△OCN的面積之比為4：1，求直線l的方程．

【分析】（I）由題意，求出過且與x軸垂直的直線方程為x=i，Bi的坐標為（10，i），即可得到直線OBi的方程為．聯(lián)立方程，即可得到Pi滿足的方程；
（II）由題意，設(shè)直線l的方程為y=kx+10，與拋物線的方程聯(lián)立得到一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，及利用面積公式S△OCM=S△OCN，可得|x1|=4|x2|．即x1=﹣4x2．聯(lián)立即可得到k，進而得到直線方程．
【解答】（I）證明：由題意，過且與x軸垂直的直線方程為x=i，Bi的坐標為（10，i），
∴直線OBi的方程為．
設(shè)Pi（x，y），由，解得，即x2=10y．
∴點都在同一條拋物線上，拋物線E的方程為x2=10y．
（II）由題意，設(shè)直線l的方程為y=kx+10，
聯(lián)立消去y得到x2﹣10kx﹣100=0，
此時△＞0，直線與拋物線恒有兩個不同的交點，
設(shè)為M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=10k，x1x2=﹣100，
∵S△OCM=4S△OCN，∴|x1|=4|x2|．∴x1=﹣4x2．
聯(lián)立，解得．
∴直線l的方程為．即為3x+2y﹣20=0或3x﹣2y+20=0．
【點評】本題主要考查了拋物線的性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、三角形的面積等基礎(chǔ)知識，考查了推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸方法、計算能力、數(shù)形結(jié)合的思想方法、函數(shù)與方程得思想方法、分析問題和解決問題的能力．
　
19．（13分）如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）
（1）求證：CD⊥平面ADD1A1
（2）若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為，求k的值
（3）現(xiàn)將與四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼成一個新的四棱柱，規(guī)定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為f（k），寫出f（k）的解析式．（直接寫出答案，不必說明理由）

【分析】（1）取DC得中點E，連接BE，可證明四邊形ABED是平行四邊形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，可得AA1⊥DC，利用線面垂直的判定定理即可證明．（2）通過建立空間直角坐標系，求出平面的法向量與斜線的方向向量的夾角即可得出；（3）由題意可與左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案
新四棱柱共有此4種不同方案．寫出每一方案下的表面積，通過比較即可得出f（k）．
【解答】（1）證明：取DC的中點E，連接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，
又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．
∵側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，
∵AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1．
（2）解：以D為坐標原點，、、的方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，
則A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1）．
∴，，．
設(shè)平面AB1C的一個法向量為=（x，y，z），則，取y=2，則z=﹣6k，x=3．∴．
設(shè)AA1與平面AB1C所成角為θ，則===，解得k=1，故所求k=1．
（3）由題意可與左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4種不同方案．
寫出每一方案下的表面積，通過比較即可得出f（k）=
【點評】本題主要考查了線線、線面的位置關(guān)系、通過建立空間直角坐標系利用法向量求線面角、柱體的定義積表面積、勾股定理的逆定理等基礎(chǔ)知識，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力及化歸與轉(zhuǎn)化能力．
　
20．（14分）已知函數(shù)f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期為π，圖象的一個對稱中心為（，0），將函數(shù)f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式
（2）是否存在x0∈（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請確定x0的個數(shù)，若不存在，說明理由；
（3）求實數(shù)a與正整數(shù)n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）內(nèi)恰有2013個零點．
【分析】（1）依題意，可求得ω=2，φ=，利用三角函數(shù)的圖象變換可求得g（x）=sinx；
（2）依題意，當x∈（，）時，＜sinx＜，0＜cosx＜?sinx＞cos2x＞sinxcos2x，問題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（，）內(nèi)是否有解．通過G′（x）＞0，可知G（x）在（，）內(nèi)單調(diào)遞增，而G（）＜0，G（）＞0，從而可得答案；
（3）依題意，F(xiàn)（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等價于關(guān)于x的方程a=﹣，x≠kπ（k∈Z）．問題轉(zhuǎn)化為研究直線y=a與曲線y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交點情況．通過其導數(shù)，列表分析即可求得答案．
【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，
∴ω==2，
又曲線y=f（x）的一個對稱中心為，φ∈（0，π），
故f（）=sin（2×+φ）=0，得φ=，所以f（x）=cos2x．
將函數(shù)f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）后可得y=cosx的圖象，
再將y=cosx的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g（x）=cos（x﹣）的圖象，
∴g（x）=sinx．
（2）當x∈（，）時，＜sinx＜，0＜cos2x＜，
∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x，
問題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（，）內(nèi)是否有解．
設(shè)G（x）=sinx+sinxcos2x﹣2cos2x，x∈（，），
則G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2﹣sinx），
∵x∈（，），
∴G′（x）＞0，G（x）在（，）內(nèi)單調(diào)遞增，
又G（）=﹣＜0，G（）=＞0，且G（x）的圖象連續(xù)不斷，故可知函數(shù)G（x）在（，）內(nèi)存在唯一零點x0，即存在唯一零點x0∈（，）滿足題意．
（3）依題意，F(xiàn)（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，
當sinx=0，即x=kπ（k∈Z）時，cos2x=1，從而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解，
∴方程F（x）=0等價于關(guān)于x的方程a=﹣，x≠kπ（k∈Z）．
現(xiàn)研究x∈（0，π）∪（π，2π）時方程a=﹣的解的情況．
令h（x）=﹣，x∈（0，π）∪（π，2π），
則問題轉(zhuǎn)化為研究直線y=a與曲線y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交點情況．
h′（x）=，令h′（x）=0，得x=或x=，
當x變換時，h′（x），h（x）的變化情況如下表：
x
（0，）

（，π）
（π，）

（，2π）
h′（x）
+
0
﹣
﹣
0
+
h（x）
↗
1
↘
↘
﹣1
↗
當x＞0且x趨近于0時，h（x）趨向于﹣∞，
當x＜π且x趨近于π時，h（x）趨向于﹣∞，
當x＞π且x趨近于π時，h（x）趨向于+∞，
當x＜2π且x趨近于2π時，h（x）趨向于+∞，
故當a＞1時，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）內(nèi)無交點，在（π，2π）內(nèi)有2個交點；
當a＜﹣1時，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）內(nèi)有2個交點，在（π，2π）內(nèi)無交點；
當﹣1＜a＜1時，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）內(nèi)有2個交點，在（π，2π）內(nèi)有2個交點；
由函數(shù)h（x）的周期性，可知當a≠±1時，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，nπ）內(nèi)總有偶數(shù)個交點，從而不存在正整數(shù)n，使得直線y=a與曲線y=h（x）在（0，nπ）內(nèi)恰有2013個零點；
又當a=1或a=﹣1時，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）∪（π，2π）內(nèi)有3個交點，由周期性，2013=3×671，
∴依題意得n=671×2=1342．
綜上，當a=1，n=1342，或a=﹣1，n=1342時，函數(shù)F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）內(nèi)恰有2013個零點．
【點評】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系，三角恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)、函數(shù)的導數(shù)、函數(shù)的零點、不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，抽象概括能力，推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．
　
本題設(shè)有（21）、（22）、（23）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分.如果多做，則按所做的前兩題計分.
21．（7分）選修4﹣2：矩陣與變換
已知直線l：ax+y=1在矩陣對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l′：x+by=1
（I）求實數(shù)a，b的值
（II）若點P（x0，y0）在直線l上，且，求點P的坐標．
【分析】（I）任取直線l：ax+y=1上一點M（x，y），經(jīng)矩陣A變換后點為M′（x′，y′），利用矩陣乘法得出坐標之間的關(guān)系，求出直線l′的方程，從而建立關(guān)于a，b的方程，即可求得實數(shù)a，b的值；
（II）由得，從而解得y0的值，又點P（x0，y0）在直線l上，即可求出點P的坐標．
【解答】解：（I）任取直線l：ax+y=1上一點M（x，y），
經(jīng)矩陣A變換后點為M′（x′，y′），則有=，
可得，又點M′（x′，y′）在直線l′上，∴x+（b+2）y=1，
可得，解得
（II）由得，從而y0=0，
又點P（x0，y0）在直線l上，∴x0=1，
∴點P的坐標為（1，0）．
【點評】本題以矩陣為依托，考查矩陣的乘法，考查矩陣變換，關(guān)鍵是正確利用矩陣的乘法公式．
　
22．（7分）選修4﹣4：坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知點A的極坐標為，直線l的極坐標方程為，且點A在直線l上．
（Ⅰ）求a的值及直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）圓C的參數(shù)方程為，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系．
【分析】（Ⅰ）根據(jù)點A在直線l上，將點的極坐標代入直線的極坐標方程即可得出a值，再利用極坐標轉(zhuǎn)化成直角坐標的轉(zhuǎn)換公式求出直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）欲判斷直線l和圓C的位置關(guān)系，只需求圓心到直線的距離與半徑進行比較即可，根據(jù)點到線的距離公式求出圓心到直線的距離然后與半徑比較．
【解答】解：（Ⅰ）點A在直線l上，得，∴a=，
故直線l的方程可化為：ρsinθ+ρcosθ=2，
得直線l的直角坐標方程為x+y﹣2=0；
（Ⅱ）消去參數(shù)α，得圓C的普通方程為（x﹣1）2+y2=1
圓心C到直線l的距離d=＜1，
所以直線l和⊙C相交．
【點評】本題主要考查了簡單曲線的極坐標方程，以及圓的參數(shù)方程和直線與圓的位置關(guān)系的判定，屬于基礎(chǔ)題．
　
23．設(shè)不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集為A，且
（Ⅰ）求a的值
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．
【分析】（Ⅰ）利用，推出關(guān)于a的絕對值不等式，結(jié)合a為整數(shù)直接求a的值．
（Ⅱ）利用a的值化簡函數(shù)f（x），利用絕對值三角不等式求出|x+1|+|x﹣2|的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）因為，
所以且，
解得，
因為a∈N*，所以a的值為1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，
當且僅當（x+1）（x﹣2）≥0，即x≥2或x≤﹣1時取等號，
所以函數(shù)f（x）的最小值為3．
【點評】本題考查絕對值不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想．
　

相關(guān)試卷

福建省高考數(shù)學模擬試卷與解析(理科)：

這是一份福建省高考數(shù)學模擬試卷與解析(理科)，共21頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

福建省高考數(shù)學模擬試卷與解析(理科)：

這是一份福建省高考數(shù)學模擬試卷與解析(理科)，共19頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

福建省高考數(shù)學模擬試卷與解析(理科)：

這是一份福建省高考數(shù)學模擬試卷與解析(理科)，共21頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

福建省高考數(shù)學模擬試卷(理科)

福建省高考數(shù)學模擬試卷(理科)
2016年上海市高考數(shù)學試卷（理科）

2016年上海市高考數(shù)學試卷（理科）
2014年福建省高考數(shù)學試卷（理科）

2014年福建省高考數(shù)學試卷（理科）
2013年北京市高考數(shù)學試卷（理科）

2013年北京市高考數(shù)學試卷（理科）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部