1．(2020·秦皇島模擬)如圖是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)y＝f′(x)的圖象，則下面判斷正確的是( )
A．在(－3,1)上，f(x)是增函數(shù)
B．當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得極大值
C．在(4,5)上，f(x)是增函數(shù)
D．當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取得極小值
答案 C
解析 根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(3,2)))上，f′(x)＜0，f(x)為減函數(shù)，錯誤；對于B，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，2))上，f′(x)＞0，f(x)為增函數(shù)，x＝1不是f(x)的極大值點(diǎn)，錯誤；對于C，在(4,5)上，f′(x)＞0，f(x)為增函數(shù)，正確；對于D，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，2))上，f′(x)＞0，f(x)為增函數(shù)，在(2,4)上，f′(x)＜0，f(x)為減函數(shù)，則當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取得極大值，D錯誤．
2．已知函數(shù)f(x)＝eq \f(1,3)ax3＋eq \f(1,2)bx2＋cx＋d(a，b，c，d∈R)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－3,1)，則( )
A．a(chǎn)1時(shí)，b′>0，函數(shù)b＝2aln a－2a(a＞0)單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，b′0)單調(diào)遞減，
∴a＝1為極小值點(diǎn)，也為最小值點(diǎn)，
∴b的最小值為2ln 1－2＝－2.
10．若函數(shù)f(x)＝ex－ax的極值為1，則實(shí)數(shù)a的值為________．
答案 1
解析 由已知可得f′(x)＝ex－a.
當(dāng)a≤0時(shí)，對任意的x∈R，f′(x)>0，此時(shí)函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)無極值；
當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)ln a，此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．
所以函數(shù)f(x)＝ex－ax的極小值為f(ln a)＝eln a－aln a＝a－aln a＝1，
令g(a)＝a－aln a，則a>0且g(1)＝1，
g′(a)＝－ln a.
當(dāng)01時(shí)，g′(a)eq \f(2,3)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解 (1)f′(x)＝x2－2bx＋2.
∵x＝2是f(x)的一個極值點(diǎn)，
∴x＝2是方程x2－2bx＋2＝0的一個根，
解得b＝eq \f(3,2).
令f′(x)>0，則x2－3x＋2>0，解得x2.
∴函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1)，(2，＋∞)．
(2)∵當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，f′(x)0，
∴f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,3)上單調(diào)遞增．
∴f(2)是f(x)在區(qū)間[1,3]上的最小值，且f(2)＝eq \f(2,3)＋a.
若當(dāng)x∈[1,3]時(shí)，要使f(x)－a2>eq \f(2,3)恒成立，
只需f(2)>a2＋eq \f(2,3)，即eq \f(2,3)＋a>a2＋eq \f(2,3)，
解得0

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