?第1課時


進門測




判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底．(　×　)
(2)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　)
(3)平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個向量都可被這組基底唯一表示．(　√　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成＝.(　×　)
(5)當向量的起點在坐標原點時，向量的坐標就是向量終點的坐標．(　√　)

作業(yè)檢查



無
第2課時


階段訓(xùn)練



題型一　平面向量基本定理的應(yīng)用
例1　(1)在平行四邊形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，則＝________.(用e1，e2表示)
(2) 如圖，在△ABC中，BO為邊AC上的中線，＝2，設(shè)∥，若＝＋λ(λ∈R)，則λ的值為(　　)

A. B.
C. D．2
答案　(1)－e1＋e2　(2)C
解析　(1)如圖，＝－
＝＋2＝＋
＝－＋(－)
＝－e2＋(e2－e1)
＝－e1＋e2.

(2)因為＝2，所以＝＋＝＋.又∥，可設(shè)＝m，所以＝＋＝＋＋＝(1＋)＋.因為＝＋λ，所以＝，λ＝1＋＝.
思維升華　平面向量基本定理應(yīng)用的實質(zhì)和一般思路
(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．
(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．
　在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點，若＝λ＋μ，則λ＋μ等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因為＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，
所以＝－，所以λ＋μ＝.
題型二　平面向量的坐標運算
例2　(1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，則c等于(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，則2a－b等于(　　)
A．(4,0) B．(0,4)
C．(4，－8) D．(－4,8)
答案　(1)D　(2)C
解析　(1)由已知3c＝－a＋2b
＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．
所以c＝.
(2)因為向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，
所以1×4＋2m＝0，即m＝－2，
所以2a－b＝2×(1，－2)－(－2,4)＝(4，－8)．
思維升華　向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行計算．若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則．
　(1)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝________.

(2)已知四邊形ABCD的三個頂點A(0,2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，則頂點D的坐標為(　　)
A．(2，) B．(2，－)
C．(3,2) D．(1,3)
答案　(1)4　(2)A
解析　(1)以向量a和b的交點為原點建立如圖所示的平面直角坐標系(設(shè)每個小正方形邊長為1)，

則A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，
∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb，
∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
即
解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4.
(2)設(shè)D(x，y)，＝(x，y－2)，＝(4,3)，
又＝2，∴∴故選A.
題型三　平面向量坐標的應(yīng)用
命題點1　利用向量共線求向量或點的坐標
例3　已知點A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點P的坐標為________．
答案　(3,3)
解析　方法一　由O，P，B三點共線，可設(shè)＝λ＝(4λ，4λ)，則＝－＝(4λ－4,4λ)．
又＝－＝(－2,6)，
由與共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，
所以＝＝(3,3)，
所以點P的坐標為(3,3)．
方法二　設(shè)點P(x，y)，則＝(x，y)，因為＝(4,4)，且與共線，所以＝，即x＝y(tǒng).
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且與共線，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，
所以點P的坐標為(3,3)．
命題點2　利用向量共線求參數(shù)
例4　(1)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝(，1＋sin θ)，若a∥b，則銳角θ＝________.
(2)設(shè)＝(－2,4)，＝(－a,2)，＝(b,0)，a>0，b>0，O為坐標原點，若A，B，C三點共線，則＋的最小值為________．
答案　(1)45°　(2)
解析　(1)由a∥b，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝，
所以cos2θ＝，∴cos θ＝或cos θ＝－，
又θ為銳角，∴θ＝45°.
(2)由已知得＝(－a＋2，－2)，＝(b＋2，－4)，
又∥，所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)，
即整理得2a＋b＝2，
所以＋＝(2a＋b)(＋)＝(3＋＋)≥(3＋2 )＝(當且僅當b＝a時，等號成立)．
思維升華　平面向量共線的坐標表示問題的常見類型及解題策略
(1)利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便．
(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標．一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
命題點3　利用平面向量的坐標求最值
例5　在平行四邊形ABCD中，∠BAD＝，AB＝1，AD＝，P為平行四邊形內(nèi)一點，AP＝，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的最大值為________．
答案　1
解析　以點A為原點建立如圖所示的直角坐標系，則A(0,0)，B(1,0)，D(，)，所以＝(1,0)，＝(，)．設(shè)，的夾角為θ(0

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