高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章第2節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與最值-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．增函數(shù)、減函數(shù)
一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I，如果對(duì)于任意x1，x2∈D，且x1＜x2，則都有：
(1)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)?f(x1)＜f(x2)；
(2)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)?f(x1)＞f(x2)．
2．單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義
若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．
3．函數(shù)的最值
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)對(duì)于函數(shù)f(x)，x∈D，若對(duì)任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)．( )
(2)函數(shù)y＝eq \f(1,x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )
(3)函數(shù)y＝|x|是R上的增函數(shù)．( )
(4)所有的單調(diào)函數(shù)都有最值．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．(2016·北京高考)下列函數(shù)中，在區(qū)間(－1,1)上為減函數(shù)的是( )
A．y＝eq \f(1,1－x)
B．y＝cs x
C．y＝ln(x＋1)
D．y＝2－x
D [選項(xiàng)A中，y＝eq \f(1,1－x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上為增函數(shù)，故y＝eq \f(1,1－x)在(－1,1)上為增函數(shù)；
選項(xiàng)B中，y＝cs x在(－1,1)上先增后減；
選項(xiàng)C中，y＝ln(x＋1)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)，故y＝ln(x＋1)在(－1,1)上為增函數(shù)；
選項(xiàng)D中，y＝2－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在R上為減函數(shù)，故y＝2－x在(－1,1)上是減函數(shù)．]
3．(教材改編)已知函數(shù)f(x)＝eq \f(2,x－1)，x∈[2,6]，則f(x)的最大值為_(kāi)_______，最小值為_(kāi)_______．
2 eq \f(2,5) [可判斷函數(shù)f(x)＝eq \f(2,x－1)在[2,6]上為減函數(shù)，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝eq \f(2,5).]
4．函數(shù)y＝(2k＋1)x＋b在R上是減函數(shù)，則k的取值范圍是________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31222025】
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2))) [由題意知2k＋1＜0，得k＜－eq \f(1,2).]
5．f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_______，f(x)max＝________.
[1,3] 8 [f(x)＝(x－1)2－1，故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[1,3]，f(x)max＝f(－2)＝8.]
(1)函數(shù)f(x)＝lg2(x2－1)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_______．
(2)試討論函數(shù)f(x)＝x＋eq \f(k,x)(k＞0)的單調(diào)性．
(1)(－∞，－1) [由x2－1＞0得x＞1或x＜－1，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，－1)∪(1，＋∞)．
令t＝x2－1，因?yàn)閥＝lg2t在t∈(0，＋∞)上為增函數(shù)，
t＝x2－1在x∈(－∞，－1)上是減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)＝lg2(x2－1)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)．]
(2)法一：由解析式可知，函數(shù)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)內(nèi)任取x1，x2，令0＜x1＜x2，那么f(x2)－f(x1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(k,x2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(k,x1)))＝(x2－x1)＋keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)－\f(1,x1)))＝(x2－x1)eq \f(x1x2－k,x1x2).2分
因?yàn)?＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2＞0.
故當(dāng)x1，x2∈(eq \r(k)，＋∞)時(shí)，f(x1)＜f(x2)，
即函數(shù)在(eq \r(k)，＋∞)上單調(diào)遞增.6分
當(dāng)x1，x2∈(0，eq \r(k))時(shí)，f(x1)＞f(x2)，
即函數(shù)在(0，eq \r(k))上單調(diào)遞減．
考慮到函數(shù)f(x)＝x＋eq \f(k,x)(k＞0)是奇函數(shù)，在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，故在(－∞，－eq \r(k))上單調(diào)遞增，在(－eq \r(k)，0)上單調(diào)遞減．
綜上，函數(shù)f(x)在(－∞，－eq \r(k))和(eq \r(k)，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－eq \r(k)，0)和(0，eq \r(k))上單調(diào)遞減.12分
法二：f′(x)＝1－eq \f(k,x2).2分
令f′(x)＞0得x2＞k，即x∈(－∞，－eq \r(k))或x∈(eq \r(k)，＋∞)，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－eq \r(k))和(eq \r(k)，＋∞).6分
令f′(x)＜0得x2＜k，即x∈(－eq \r(k)，0)或x∈(0，eq \r(k))，故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(－eq \r(k)，0)和(0，eq \r(k)).10分
故函數(shù)f(x)在(－∞，－eq \r(k))和(eq \r(k)，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－eq \r(k)，0)和(0，eq \r(k))上單調(diào)遞減.12分
[規(guī)律方法] 1.利用定義判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，作差后應(yīng)注意差式的分解變形要徹底．
2．利用導(dǎo)數(shù)法證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，求導(dǎo)運(yùn)算及導(dǎo)函數(shù)符號(hào)判斷要準(zhǔn)確．
易錯(cuò)警示：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間，如本題(1)．
[變式訓(xùn)練1] (1)(2017·深圳二次調(diào)研)下列四個(gè)函數(shù)中，在定義域上不是單調(diào)函數(shù)的是( )
A．y＝x3 B．y＝eq \r(x)
C．y＝eq \f(1,x)D．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x
(2)函數(shù)f(x)＝lgeq \f(1,2)(x2－4)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A．(0，＋∞)B．(－∞，0)
C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)
(1)C (2)D [(1)選項(xiàng)A，B中函數(shù)在定義域內(nèi)均為單調(diào)遞增函數(shù)，選項(xiàng)D為在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，選項(xiàng)C中，設(shè)x1＜x2(x1，x2≠0)，則y2－y1＝eq \f(1,x2)－eq \f(1,x1)＝eq \f(x1－x2,x1x2)，因?yàn)閤1－x2＜0，當(dāng)x1，x2同號(hào)時(shí)x1x2＞0，eq \f(1,x2)－eq \f(1,x1)＜0，當(dāng)x1，x2異號(hào)時(shí)x1x2＜0，eq \f(1,x2)－eq \f(1,x1)＞0，所以函數(shù)y＝eq \f(1,x)在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，故選C.
(2)由x2－4＞0得x＞2或x＜－2，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，－2)∪(2，＋∞)，因?yàn)閥＝lgeq \f(1,2)t在定義域上是減函數(shù)，所以求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)t＝x2－4的單調(diào)遞減區(qū)間，可知所求區(qū)間為(－∞，－2)．]
已知f(x)＝eq \f(x2＋2x＋a,x)，x∈[1，＋∞)，且a≤1. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31222026】
(1)當(dāng)a＝eq \f(1,2)時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；
(2)若對(duì)任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
[思路點(diǎn)撥] (1)先判斷函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上的單調(diào)性，再求最小值；(2)根據(jù)f(x)min＞0求a的范圍，而求f(x)min應(yīng)對(duì)a分類(lèi)討論．
[解] (1)當(dāng)a＝eq \f(1,2)時(shí)，f(x)＝x＋eq \f(1,2x)＋2，f′(x)＝1－eq \f(1,2x2)＞0，x∈[1，＋∞)，
即f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(x)min＝f(1)＝1＋eq \f(1,2×1)＋2＝eq \f(7,2).4分
(2)f(x)＝x＋eq \f(a,x)＋2，x∈[1，＋∞)．
法一：①當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在[1，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)．
f(x)min＝f(1)＝a＋3.
要使f(x)＞0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3＞0，
∴－3＜a≤0.7分
②當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f(x)在[1，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)，
f(x)min＝f(1)＝a＋3，
∴a＋3＞0，a＞－3，∴0＜a≤1.
綜上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零時(shí)，a的取值范圍是(－3,1].10分
法二：f(x)＝x＋eq \f(a,x)＋2＞0，∵x≥1，∴x2＋2x＋a＞0，8分
∴a＞－(x2＋2x)，而－(x2＋2x)在x＝1時(shí)取得最大值－3，∴－3＜a≤1，即a的取值范圍為(－3,1].12分
[規(guī)律方法] 利用函數(shù)的單調(diào)性求最值是求函數(shù)最值的重要方法，若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(b)，最小值為f(a)．
請(qǐng)思考，若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)呢？
[變式訓(xùn)練2] (2016·北京高考)函數(shù)f(x)＝eq \f(x,x－1)(x≥2)的最大值為_(kāi)_______．
2 [法一：∵f′(x)＝eq \f(－1,?x－1?2)，∴x≥2時(shí)，f′(x)＜0恒成立，
∴f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，
∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值為f(2)＝2.
法二：∵f(x)＝eq \f(x,x－1)＝eq \f(x－1＋1,x－1)＝1＋eq \f(1,x－1)，
∴f(x)的圖象是將y＝eq \f(1,x)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到的．∵y＝eq \f(1,x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，故f(x)在[2，＋∞)上的最大值為f(2)＝2.
法三：由題意可得f(x)＝1＋eq \f(1,x－1).
∵x≥2，∴x－1≥1，∴0＜eq \f(1,x－1)≤1，
∴1＜1＋eq \f(1,x－1)≤2，即1＜eq \f(x,x－1)≤2.
故f(x)在[2，＋∞)上的最大值為2.]
eq \a\vs4\al(?)角度1 比較大小
(2015·山東高考)設(shè)a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是( )
A．a(chǎn)

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