1．直線與平面垂直
(1)定義
如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α垂直．
(2)判定定理與性質(zhì)定理
2.直線和平面所成的角
(1)定義
平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．若一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角，若一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°的角．
(2)范圍：[0，eq \f(π,2)]．
3．平面與平面垂直
(1)二面角的有關(guān)概念
①二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角；
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角．
(2)平面和平面垂直的定義
兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．
(3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理
【知識(shí)拓展】
重要結(jié)論：
(1)若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．
(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個(gè)重要方法)．
(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．
(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這一條直線與另一個(gè)平面也垂直．
【思考辨析】
判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.( × )
(2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行．( × )
(3)直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.( √ )
(4)若α⊥β，a⊥β?a∥α.( × )
(5)若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直．( √ )
1．(教材改編)下列命題中不正確的是( )
A．如果平面α⊥平面β，且直線l∥平面α，則直線l⊥平面β
B．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β
C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β
D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ
答案 A
解析 根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，知A不正確，直線l可能平行平面β，也可能在平面β內(nèi)．
2．設(shè)平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 若α⊥β，因?yàn)棣痢搔拢絤，b?β，b⊥m，所以根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理可得b⊥α，又a?α，所以a⊥b；反過(guò)來(lái)，當(dāng)a∥m時(shí)，因?yàn)閎⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保證b⊥α，所以不能推出α⊥β.
3．(2017·寶雞質(zhì)檢)對(duì)于四面體ABCD，給出下列四個(gè)命題：
①若AB＝AC，BD＝CD，則BC⊥AD；
②若AB＝CD，AC＝BD，則BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD；
④若AB⊥CD，AC⊥BD，則BC⊥AD.
其中為真命題的是( )
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
答案 D
解析
①如圖，取BC的中點(diǎn)M，連接AM，DM，由AB＝AC?AM⊥BC，同理DM⊥BC?BC⊥平面AMD，而AD?平面AMD，故BC⊥AD.④設(shè)A在平面BCD內(nèi)的射影為O，連接BO，CO，DO，由AB⊥CD?BO⊥CD，由AC⊥BD?CO⊥BD?O為△BCD的垂心?DO⊥BC?AD⊥BC.
4．(2016·濟(jì)南模擬)如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，G為MC的中點(diǎn)．則下列結(jié)論中不正確的是( )
A．MC⊥AN
B．GB∥平面AMN
C．平面CMN⊥平面AMN
D．平面DCM∥平面ABN
答案 C
解析
顯然該幾何圖形為正方體截去兩個(gè)三棱錐所剩的幾何體，把該幾何體放置到正方體中(如圖)，
取AN的中點(diǎn)H，連接HB，MH，GB，則MC∥HB，又HB⊥AN，所以MC⊥AN，所以A正確；由題意易得GB∥MH，又GB?平面AMN，
MH?平面AMN，所以GB∥平面AMN，所以B正確；因?yàn)锳B∥CD，DM∥BN，且AB∩BN＝B，CD∩DM＝D，所以平面DCM∥平面ABN，所以D正確．
5．(教材改編)在三棱錐P－ABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O.
(1)若PA＝PB＝PC，則點(diǎn)O是△ABC的________心．
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點(diǎn)O是△ABC的________心．
答案 (1)外 (2)垂
解析 (1)如圖1，連接OA，OB，OC，OP，
在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，
所以O(shè)A＝OB＝OC，即O為△ABC的外心．
(2)如圖2，延長(zhǎng)AO，BO，CO分別交BC，AC，AB于H，D，G.
∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，
∴PC⊥平面PAB，AB?平面PAB，∴PC⊥AB，
又AB⊥PO，PO∩PC＝P，
∴AB⊥平面PGC，
又CG?平面PGC，
∴AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB的高．
同理可證BD，AH為△ABC底邊上的高，
即O為△ABC的垂心．
題型一 直線與平面垂直的判定與性質(zhì)
例1 (2016·全國(guó)甲卷改編)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB＝5，AC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF＝eq \f(5,4)，EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置．OD′＝eq \r(10).
證明：D′H⊥平面ABCD.
證明 由已知得AC⊥BD，AD＝CD.
又由AE＝CF得eq \f(AE,AD)＝eq \f(CF,CD)，故AC∥EF.
因此EF⊥HD，從而EF⊥D′H.
由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝eq \r(AB2－AO2)＝4.
由EF∥AC得eq \f(OH,DO)＝eq \f(AE,AD)＝eq \f(1,4).
所以O(shè)H＝1，D′H＝DH＝3.
于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.
又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF?平面ABCD，
所以D′H⊥平面ABCD.
思維升華 證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵
(1)證明直線和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．
(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想．
(2015·江蘇)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.設(shè)AB1的中點(diǎn)為D，B1C∩BC1＝E.
求證：(1)DE∥平面AA1C1C；
(2)BC1⊥AB1.
證明 (1)由題意知，E為B1C的中點(diǎn)，
又D為AB1的中點(diǎn)，因此DE∥AC.
又因?yàn)镈E?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C，
所以DE∥平面AA1C1C.
(2)因?yàn)槔庵鵄BCA1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC.
因?yàn)锳C?平面ABC，
所以AC⊥CC1.
又因?yàn)锳C⊥BC，CC1?平面BCC1B1，
BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，
所以AC⊥平面BCC1B1.
又因?yàn)锽C1?平面BCC1B1，
所以BC1⊥AC.
因?yàn)锽C＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，
因此BC1⊥B1C.
因?yàn)锳C，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C，
所以BC1⊥平面B1AC.
又因?yàn)锳B1?平面B1AC，
所以BC1⊥AB1.
題型二 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)
例2 如圖，四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn)．
(1)求證：CE∥平面PAD；
(2)求證：平面EFG⊥平面EMN.
證明 (1)方法一
取PA的中點(diǎn)H，連接EH，DH.
又E為PB的中點(diǎn)，
所以EH綊eq \f(1,2)AB.
又CD綊eq \f(1,2)AB，
所以EH綊CD.
所以四邊形DCEH是平行四邊形，所以CE∥DH.
又DH?平面PAD，CE?平面PAD.
所以CE∥平面PAD.
方法二
連接CF.
因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，
所以AF＝eq \f(1,2)AB.
又CD＝eq \f(1,2)AB，所以AF＝CD.
又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形．
因此CF∥AD，又CF?平面PAD，AD?平面PAD，
所以CF∥平面PAD.
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA.
又EF?平面PAD，PA?平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
因?yàn)镃F∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.
又CE?平面CEF，所以CE∥平面PAD.
(2)因?yàn)镋、F分別為PB、AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA.
又因?yàn)锳B⊥PA，
所以EF⊥AB，同理可證AB⊥FG.
又因?yàn)镋F∩FG＝F，EF?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG.
所以AB⊥平面EFG.
又因?yàn)镸，N分別為PD，PC的中點(diǎn)，
所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，
所以MN⊥平面EFG.
又因?yàn)镸N?平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.
引申探究
1．在本例條件下，證明：平面EMN⊥平面PAC.
證明 因?yàn)锳B⊥PA，AB⊥AC，
且PA∩AC＝A，所以AB⊥平面PAC.
又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，
所以MN⊥平面PAC.
又MN?平面EMN，
所以平面EMN⊥平面PAC.
2．在本例條件下，證明：平面EFG∥平面PAC.
證明 因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別為PB，AB，BC的中點(diǎn)，
所以EF∥PA，F(xiàn)G∥AC，
又EF?平面PAC，PA?平面PAC，
所以EF∥平面PAC.
同理，F(xiàn)G∥平面PAC.
又EF∩FG＝F，
所以平面EFG∥平面PAC.
思維升華 (1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定義；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．
(2)在已知平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．
(2016·江蘇)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求證：(1)直線DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
證明 (1)由已知，DE為△ABC的中位線，
∴DE∥AC，又由三棱柱的性質(zhì)可得AC∥A1C1，
∴DE∥A1C1，
又∵DE?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F，
∴DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，
∴AA1⊥A1C1，
又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，
∴A1C1⊥平面ABB1A1，
∵B1D?平面ABB1A1，
∴A1C1⊥B1D，
又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，
∴B1D⊥平面A1C1F，
又∵B1D?平面B1DE，
∴平面B1DE⊥平面A1C1F.
題型三 垂直關(guān)系中的探索性問(wèn)題
例3 如圖，在三棱臺(tái)ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.
(1)設(shè)平面ACE∩平面DEF＝a，求證：DF∥a；
(2)若EF＝CF＝2BC，試問(wèn)在線段BE上是否存在點(diǎn)G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，請(qǐng)確定G點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(1)證明 在三棱臺(tái)ABC－DEF中，AC∥DF，AC?平面ACE，DF?平面ACE，∴DF∥平面ACE.
又∵DF?平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，
∴DF∥a.
(2)解 線段BE上存在點(diǎn)G，且BG＝eq \f(1,3)BE，使得平面DFG⊥平面CDE.
證明如下：
取CE的中點(diǎn)O，連接FO并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)G，
連接GD，GF，
∵CF＝EF，∴GF⊥CE.
在三棱臺(tái)ABC－DEF中，AB⊥BC?DE⊥EF.
由CF⊥平面DEF?CF⊥DE.
又CF∩EF＝F，∴DE⊥平面CBEF，∴DE⊥GF.
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(GF⊥CE,GF⊥DE,CE∩DE＝E))?GF⊥平面CDE.
又GF?平面DFG，∴平面DFG⊥平面CDE.
此時(shí)，如平面圖所示，延長(zhǎng)CB，F(xiàn)G交于點(diǎn)H，
∵O為CE的中點(diǎn)，EF＝CF＝2BC，
由平面幾何知識(shí)易證△HOC≌△FOE，
∴HB＝BC＝eq \f(1,2)EF.
由△HGB∽△FGE可知eq \f(BG,GE)＝eq \f(1,2)，即BG＝eq \f(1,3)BE.
思維升華 同“平行關(guān)系中的探索性問(wèn)題”的規(guī)律方法一樣，一般是先探求點(diǎn)的位置，多為線段的中點(diǎn)或某個(gè)三等分點(diǎn)，然后給出符合要求的證明．
(2016·北京東城區(qū)模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，M為棱AC的中點(diǎn)．AB＝BC，AC＝2，AA1＝eq \r(2).
(1)求證：B1C∥平面A1BM；
(2)求證：AC1⊥平面A1BM；
(3)在棱BB1上是否存在點(diǎn)N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此時(shí)eq \f(BN,BB1)的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(1)證明 連接AB1與A1B，兩線交于點(diǎn)O，連接OM，
在△B1AC中，∵M(jìn)，O分別為AC，AB1中點(diǎn)，
∴OM∥B1C，
又∵OM?平面A1BM，B1C?平面A1BM，
∴B1C∥平面A1BM.
(2)證明 ∵側(cè)棱AA1⊥底面ABC，BM?平面ABC，
∴AA1⊥BM，
又∵M(jìn)為棱AC中點(diǎn)，AB＝BC，∴BM⊥AC.
∵AA1∩AC＝A，∴BM⊥平面ACC1A1，
∴BM⊥AC1.
∵AC＝2，∴AM＝1.
又∵AA1＝eq \r(2)，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，
tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝eq \r(2).
∴∠AC1C＝∠A1MA，
即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，
∴A1M⊥AC1.
∵BM∩A1M＝M，∴AC1⊥平面A1BM.
(3)解 當(dāng)點(diǎn)N為BB1中點(diǎn)，即eq \f(BN,BB1)＝eq \f(1,2)時(shí)，
平面AC1N⊥平面AA1C1C.
證明如下：
設(shè)AC1中點(diǎn)為D，連接DM，DN.
∵D，M分別為AC1，AC中點(diǎn)，
∴DM∥CC1，且DM＝eq \f(1,2)CC1.
又∵N為BB1中點(diǎn)，∴DM∥BN，且DM＝BN，
∴四邊形BNDM為平行四邊形，
∴BM∥DN，
∵BM⊥平面ACC1A1，∴DN⊥平面ACC1A1.
又∵DN?平面AC1N，∴平面AC1N⊥平面AA1C1C.
17．立體幾何證明問(wèn)題中的轉(zhuǎn)化思想
典例 (12分)如圖所示，M，N，K分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中點(diǎn)．
求證：(1)AN∥平面A1MK；
(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.
思想方法指導(dǎo) (1)線面平行、垂直關(guān)系的證明問(wèn)題的指導(dǎo)思想是線線、線面、面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，交替使用平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理；
(2)線線關(guān)系是線面關(guān)系、面面關(guān)系的基礎(chǔ)．證明過(guò)程中要注意利用平面幾何中的結(jié)論，如證明平行時(shí)常用的中位線、平行線分線段成比例；證明垂直時(shí)常用的等腰三角形的中線等；
(3)證明過(guò)程一定要嚴(yán)謹(jǐn)，使用定理時(shí)要對(duì)照條件、步驟書(shū)寫(xiě)要規(guī)范．
規(guī)范解答
證明 (1)如圖所示，連接NK.
在正方體ABCD—A1B1C1D1中，
∵四邊形AA1D1D，DD1C1C都為正方形，
∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，
C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分]
∵N，K分別為CD，C1D1的中點(diǎn)，
∴DN∥D1K，DN＝D1K，
∴四邊形DD1KN為平行四邊形，[3分]
∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，
∴四邊形AA1KN為平行四邊形，∴AN∥A1K.[4分]
∵A1K?平面A1MK，AN?平面A1MK，
∴AN∥平面A1MK.[6分]
(2)如圖所示，連接BC1.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.
∵M(jìn)，K分別為AB，C1D1的中點(diǎn)，
∴BM∥C1K，BM＝C1K，
∴四邊形BC1KM為平行四邊形，∴MK∥BC1.[8分]
在正方體ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，
BC1?平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.
∵M(jìn)K∥BC1，∴A1B1⊥MK.
∵四邊形BB1C1C為正方形，∴BC1⊥B1C.[10分]
∴MK⊥B1C.
∵A1B1?平面A1B1C，B1C?平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.
又∵M(jìn)K?平面A1MK，
∴平面A1B1C⊥平面A1MK.[12分]
1．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直線l，則( )
A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α
B．垂直于直線l的直線一定垂直于平面α
C．垂直于平面β的平面一定平行于直線l
D．垂直于直線l的平面一定與平面α，β都垂直
答案 D
解析 對(duì)于A，垂直于平面β的平面與平面α平行或相交，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，垂直于直線l的直線與平面α垂直、斜交、平行或在平面α內(nèi)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，垂直于平面β的平面與直線l平行或相交，故C錯(cuò)誤；易知D正確．
2．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是( )
A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n
B．若α∥β，m?α，n?β，，則m∥n
C．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β
答案 D
解析 A中，m與n可垂直、可異面、可平行；B中，m與n可平行、可異面；C中，若α∥β，仍然滿足m⊥n，m?α，n?β，故C錯(cuò)誤；故選D.
3．(2016·包頭模擬)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中點(diǎn)，則下列敘述正確的是( )
A．CC1與B1E是異面直線
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE與B1C1是異面直線，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
答案 C
解析 A不正確，因?yàn)镃C1與B1E在同一個(gè)側(cè)面中，故不是異面直線；B不正確，由題意知，上底面ABC是一個(gè)正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正確，因?yàn)锳E，B1C1為在兩個(gè)平行平面中且不平行的兩條直線，故它們是異面直線；D不正確，因?yàn)锳1C1所在的平面與平面AB1E相交，且A1C1與交線有公共點(diǎn)，故A1C1∥平面AB1E不正確，故選C.
4．如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論：
①BD⊥AC；
②△BAC是等邊三角形；
③三棱錐D－ABC是正三棱錐；
④平面ADC⊥平面ABC.
其中正確的是( )
A．①②④B．①②③
C．②③④D．①③④
答案 B
解析 由題意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正確；AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等邊三角形，②正確；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正確；由①知④錯(cuò)．故選B.
5.如圖所示，直線PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)．現(xiàn)有結(jié)論：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③點(diǎn)B到平面PAC的距離等于線段BC的長(zhǎng)．其中正確的是( )
A．①②B．①②③
C．①D．②③
答案 B
解析 對(duì)于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
∵AB為⊙O的直徑，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，
又PC?平面PAC，∴BC⊥PC；
對(duì)于②，∵點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)，∴OM∥PA，
∵PA?平面PAC，OM?平面PAC，∴OM∥平面PAC；
對(duì)于③，由①知BC⊥平面PAC，∴線段BC的長(zhǎng)即是點(diǎn)B到平面PAC的距離，故①②③都正確．
6.如圖，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC和△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有________；與AP垂直的直線有________．
答案 AB、BC、AC AB
解析 ∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直線AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴與AP垂直的直線是AB.
7.如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn)，AB1，DF交于點(diǎn)E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
答案 eq \f(1,2)
解析 設(shè)B1F＝x，
因?yàn)锳B1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，
所以AB1⊥DF.
由已知可得A1B1＝eq \r(2)，
設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，
則DE＝eq \f(1,2)h.
又2×eq \r(2)＝heq \r(22＋?\r(2)?2)，
所以h＝eq \f(2\r(3),3)，DE＝eq \f(\r(3),3).
在Rt△DB1E中，
B1E＝eq \r(?\f(\r(2),2)?2－?\f(\r(3),3)?2)＝eq \f(\r(6),6).
由面積相等得eq \f(\r(6),6)×eq \r(x2＋?\f(\r(2),2)?2)＝eq \f(\r(2),2)x，
得x＝eq \f(1,2).
8.如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)A在PB，PC上的射影，給出下列結(jié)論：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．
答案 ①②③
解析 由題意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.
∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，
∴AF⊥平面PBC，
∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，
∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.
故①②③正確．
9．(2016·保定模擬)如圖，在直二面角α－MN－β中，等腰直角三角形ABC的斜邊BC?α，一直角邊AC?β，BC與β所成角的正弦值為eq \f(\r(6),4)，則AB與β所成的角是________．
答案 eq \f(π,3)
解析 如圖所示，作BH⊥MN于點(diǎn)H，連接AH，
則BH⊥β，∠BCH為BC與β所成的角．
∵sin∠BCH＝eq \f(\r(6),4)＝eq \f(BH,BC)，
設(shè)BC＝1，則BH＝eq \f(\r(6),4).
∵△ABC為等腰直角三角形，∴AC＝AB＝eq \f(\r(2),2)，
∴AB與β所成的角為∠BAH.
∴sin∠BAH＝eq \f(BH,AB)＝eq \f(\f(\r(6),4),\f(\r(2),2))＝eq \f(\r(3),2)，
∴∠BAH＝eq \f(π,3).
10．(2016·全國(guó)乙卷)如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，平面ABEF為正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角DAFE與二面角CBEF都是60°.
(1)證明：平面ABEF⊥EFDC；
(2)求二面角EBCA的余弦值．
(1)證明 由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，DF∩FE＝F，
所以AF⊥平面EFDC，
又AF?平面ABEF，
故平面ABEF⊥平面EFDC.
(2)解 過(guò)D作DG⊥EF，垂足為G，
由(1)知DG⊥平面ABEF.以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq \(GF,\s\up6(→))的方向?yàn)閤軸正方向，|eq \(GF,\s\up6(→))|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Gxyz.由(1)知∠DFE為二面角DAFE的平面角，故∠DFE＝60°，則|DF|＝2，|DG|＝eq \r(3)，可得A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0，eq \r(3))．
由已知，AB∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC，
所以AB∥平面EFDC，
又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，
故AB∥CD，CD∥EF，
由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，
所以∠CEF為二面角CBEF的平面角，∠CEF＝60°，
從而可得C(－2,0，eq \r(3))．
所以eq \(EC,\s\up6(→))＝(1,0，eq \r(3))，eq \(EB,\s\up6(→))＝(0,4,0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－3，－4，eq \r(3))，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－4,0,0)．
設(shè)n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(EC,\s\up6(→))＝0，,n·\(EB,\s\up6(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\r(3)z＝0，,4y＝0.))所以可取n＝(3,0，－eq \r(3))．
設(shè)m是平面ABCD的法向量，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(AC,\s\up6(→))＝0，,m·\(AB,\s\up6(→))＝0.))
同理可取m＝(0，eq \r(3)，4)，則cs〈n，m〉＝eq \f(n·m,|n||m|)＝－eq \f(2\r(19),19).故二面角EBCA的余弦值為－eq \f(2\r(19),19).
11．如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，BC＝EF＝1，AE＝eq \r(6)，DE＝3，∠BAD＝60°，G為BC的中點(diǎn)．
(1)求證：FG∥平面BED；
(2)求證：平面BED⊥平面AED；
(3)求直線EF與平面BED所成角的正弦值．
(1)證明 如圖，取BD的中點(diǎn)O，連接OE，OG.
在△BCD中，因?yàn)镚是BC的中點(diǎn)，
所以O(shè)G∥DC且OG＝eq \f(1,2)DC＝1.
又因?yàn)镋F∥AB，AB∥DC，
所以EF∥OG且EF＝OG，
所以四邊形OGFE是平行四邊形，所以FG∥OE.
又FG?平面BED，OE?平面BED，
所以FG∥平面BED.
(2)證明 在△ABD中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，
由余弦定理可得BD＝eq \r(3)，進(jìn)而∠ADB＝90°，
即BD⊥AD.
又因?yàn)槠矫鍭ED⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
平面AED∩平面ABCD＝AD，
所以BD⊥平面AED.
又因?yàn)锽D?平面BED，
所以平面BED⊥平面AED.
(3)解 因?yàn)镋F∥AB，所以直線EF與平面BED所成的角即為直線AB與平面BED所成的角．
過(guò)點(diǎn)A作AH⊥DE于點(diǎn)H，連接BH.
又平面BED∩平面AED＝ED，
由(2)知AH⊥平面BED，
所以直線AB與平面BED所成的角即為∠ABH.
在△ADE中，AD＝1，DE＝3，AE＝eq \r(6)，
由余弦定理得cs∠ADE＝eq \f(2,3)，所以sin∠ADE＝eq \f(\r(5),3)，
因此，AH＝AD·sin∠ADE＝eq \f(\r(5),3).
在Rt△AHB中，sin∠ABH＝eq \f(AH,AB)＝eq \f(\r(5),6).
所以直線EF與平面BED所成角的正弦值為eq \f(\r(5),6).
12．在直角梯形SBCD中，∠D＝∠C＝eq \f(π,2)，BC＝CD＝2，SD＝4，A為SD的中點(diǎn)，如圖(1)所示，將△SAB沿AB折起，使SA⊥AD，點(diǎn)E在SD上，且SE＝eq \f(1,3)SD，如圖(2)所示．
(1)求證：SA⊥平面ABCD；
(2)求二面角E－AC－D的正切值．
(1)證明 由題意，知SA⊥AB，
又SA⊥AD，AB∩AD＝A，
所以SA⊥平面ABCD.
(2)解 在AD上取一點(diǎn)O，使AO＝eq \f(1,3)AD，
連接EO，如圖所示．
又SE＝eq \f(1,3)SD，所以EO∥SA.
所以EO⊥平面ABCD.
過(guò)O作OH⊥AC交AC于H，連接EH，則AC⊥平面EOH，
所以AC⊥EH，
所以∠EHO為二面角E－AC－D的平面角．
已知EO＝eq \f(2,3)SA＝eq \f(4,3).
在Rt△AHO中，∠HAO＝45°，OH＝AO·sin 45°＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),3).
tan∠EHO＝eq \f(EO,OH)＝2eq \r(2)，即二面角E－AC－D的正切值為2eq \r(2).
文字語(yǔ)言
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
判定定理
一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α
性質(zhì)定理
垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))?a∥b
文字語(yǔ)言
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
判定定理
一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊥α,l?β))?α⊥β
性質(zhì)定理
兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α

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