(1) (2017·深圳二次調(diào)研)如圖1，正方形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，若eq \(AC,\s\up13(→))＝λeq \(AM,\s\up13(→))＋μeq \(BD,\s\up13(→))，則λ＋μ＝( )
圖1
A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,3)
C.eq \f(15,8) D.2
(2)在?ABCD中，AB＝a，eq \(AD,\s\up13(→))＝b,3eq \(AN,\s\up13(→))＝eq \(NC,\s\up13(→))，M為BC的中點(diǎn)，則eq \(MN,\s\up13(→))＝________.(用a，b表示)
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772163】
(1)B (2)－eq \f(3,4)a－eq \f(1,4)b [(1)因?yàn)閑q \(AC,\s\up13(→))＝λeq \(AM,\s\up13(→))＋μeq \(BD,\s\up13(→))＝λ(eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \(BM,\s\up13(→)))＋μ(eq \(BA,\s\up13(→))＋eq \(AD,\s\up13(→)))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up13(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up13(→))))＋μ(－eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \(AD,\s\up13(→)))＝(λ－μ)eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)λ＋μ))eq \(AD,\s\up13(→))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ－μ＝1，,\f(1,2)λ＋μ＝1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(4,3)，,μ＝\f(1,3)，))所以λ＋μ＝eq \f(5,3)，故選B.
(2)如圖所示，eq \(MN,\s\up13(→))＝eq \(MC,\s\up13(→))＋eq \(CN,\s\up13(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up13(→))＋eq \f(3,4)eq \(CA,\s\up13(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up13(→))＋eq \f(3,4)(eq \(CB,\s\up13(→))＋eq \(CD,\s\up13(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up13(→))＋eq \f(3,4)(eq \(DA,\s\up13(→))＋eq \(BA,\s\up13(→)))
＝eq \f(1,2)b－eq \f(3,4)a－eq \f(3,4)b＝－eq \f(3,4)a－eq \f(1,4)b.]
[規(guī)律方法] 1.解題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化．
2．用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問(wèn)題的步驟：(1)觀察各向量的位置；(2)尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；(3)運(yùn)用法則找關(guān)系；(4)化簡(jiǎn)結(jié)果．
3．O在AB外，A，B，C三點(diǎn)共線，且eq \(OA,\s\up13(→))＝λeq \(OB,\s\up13(→))＋μeq \(OC,\s\up13(→))，則有λ＋μ＝1.
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1] 設(shè)O在△ABC的內(nèi)部，D為AB的中點(diǎn)，且eq \(OA,\s\up13(→))＋eq \(OB,\s\up13(→))＋2eq \(OC,\s\up13(→))＝0，則△ABC的面積與△AOC的面積的比值為( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772164】
A．3 B.4
C.5 D.6
B [因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，
則eq \(OD,\s\up13(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up13(→))＋eq \(OB,\s\up13(→)))，
又eq \(OA,\s\up13(→))＋eq \(OB,\s\up13(→))＋2eq \(OC,\s\up13(→))＝0，
所以eq \(OD,\s\up13(→))＝－eq \(OC,\s\up13(→))，所以O(shè)為CD的中點(diǎn)．
又因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，
所以S△AOC＝eq \f(1,2)S△ADC＝eq \f(1,4)S△ABC，
則eq \f(S△ABC,SAOC)＝4.]
重點(diǎn)2 平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用
(2016·杭州模擬)已知兩定點(diǎn)M(4,0)，N(1,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|eq \(PM,\s\up13(→))|＝2|eq \(PN,\s\up13(→))|.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
(2)若點(diǎn)G(a,0)是軌跡C內(nèi)部一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G的直線l交軌跡C于A，B兩點(diǎn)，令f(a)＝eq \(GA,\s\up13(→))·eq \(GB,\s\up13(→))，求f(a)的取值范圍．
[解] (1)設(shè)P的坐標(biāo)為(x，y)，則eq \(PM,\s\up13(→))＝(4－x，－y)，eq \(PN,\s\up13(→))＝(1－x，－y)．
∵動(dòng)點(diǎn)P滿足|eq \(PM,\s\up13(→))|＝2|eq \(PN,\s\up13(→))|，
∴eq \r(?4－x?2＋y2)＝2eq \r(?1－x?2＋y2)，
整理得x2＋y2＝4.4分
(2)(a)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線的方程為x＝a，不妨設(shè)A在B的上方，直線方程與x2＋y2＝4聯(lián)立，可得A(a，eq \r(4－a2))，B(a，－eq \r(4－a2))，
∴f(a)＝eq \(GA,\s\up13(→))·eq \(GB,\s\up13(→))＝(0，eq \r(4－a2))·(0，－eq \r(4－a2))＝a2－4；6分
(b)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y＝k(x－a)，
代入x2＋y2＝4，整理可得(1＋k2)x2－2ak2x＋(k2a2－4)＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝eq \f(2ak2,1＋k2)，x1x2＝eq \f(k2a2－4,1＋k2)，
∴f(a)＝eq \(GA,\s\up13(→))·eq \(GB,\s\up13(→))＝(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋k2(x1－a)(x2－a)＝a2－4.
由(a)(b)得f(a)＝a2－4.10分
∵點(diǎn)G(a,0)是軌跡C內(nèi)部一點(diǎn)，
∴－2

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