哈師大附中2020-2021年度高二學(xué)年上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（文科）考試時間：120分鐘      滿分：150分一．選擇題（本題共12題，每題5分，共60分，每題給出的四個選項中只有一項正確）1. 在上隨機取一個值，則的概率為（        ）A.                                   B.                                 C.                                   D. 2. 已知 ，則的最大值為（  C     ）A. 1                                    B.                              C.                                 D.63. 若橢圓C的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)），則橢圓C的焦距為（         ）A.  1                                      B. 2                                  C.                               D. 4. 若直線 被圓 所截得的弦長為 ，則實數(shù) 的值為  A. 或  B. 或  C. 或  D. 或 5. 從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離小于該正方形邊長的概率為(　 　)A.                                      B.                                     C.                                      D.6. 某中學(xué)高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比依次為6:5:7 ．防疫站欲對該校學(xué)生進(jìn)行身體健康調(diào)查，用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學(xué)生中抽取容量為  的樣本，樣本中高三年級的學(xué)生有 人，則 等于（        ）A.  B.  C.  D. 7. 設(shè) ， 是橢圓 ： 的左、右焦點， 為直線 上一點， 是底角為 的等腰三角形，則 的離心率為 （          ） A.  B.  C.  D. 8. 若從極點 作圓 的弦 ，則 的中點 的軌跡的極坐標(biāo)方程是（          ）A.            B.          C.               D.        9. 設(shè) 是雙曲線 上一點，雙曲線的一條漸近線方程為 ， 、 分別是雙曲線的左、右焦點，若 ，則   （        ） A. 或  B. 或  C.  D. 10. 甲、乙兩個班級共105名學(xué)生，某次數(shù)學(xué)考試后按照大于等于 分為優(yōu)秀，小于 分為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績，已知甲班優(yōu)秀人數(shù)為10人，乙班非優(yōu)秀人數(shù)為30人，在全部 人中隨機抽取 人為優(yōu)秀的概率為 ，則認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”犯錯誤的概率至多為（      ）(參考公式：) A.                               B.                                    C.                                  D.  11. 設(shè)雙曲線 ： 的左、右焦點分別為 ，，離心率為 ． 是 上一點，且 ．若 的面積為 ，則 （         ） A.  B.  C.  D. 12. 已知橢圓 的左、 右頂點分別為 ，， 為橢圓 的右焦點，圓 上有一動點 ， 不同于 ， 兩點，直線 與橢圓 交于點A,Q，則 的取值范圍是 （         ） A.  B.  C.  D. 二．填空題：（本題共4題，每題5分，共20分）  13.已知實數(shù) ， 滿足條件 則目標(biāo)函數(shù) 的最大值為                 ．男職工 女職工 50 6 9 8 562 3 4 4 98 7 6 6 5 1729 7 6 4 3 2 0855 4 291 314.某單位在職工體測后就某項健康指數(shù)（百分制）隨機抽取了 名職工的體測數(shù)據(jù)作為樣本進(jìn)行調(diào)查，具體數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，則從莖葉圖上看，該項健康指數(shù)整體上相對較高的是                   職工．   15. 直角坐標(biāo)系中直線 過點 ，傾斜角為 ，．以直角坐標(biāo)系的原點 為極點， 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 的極坐標(biāo)方程為 ．若直線 與曲線 相交于 ， 兩點， ，則 的值為                  ．16. 已知拋物線 的焦點為 ，準(zhǔn)線為，經(jīng)過點 的直線交 于 ， 兩點，過點 ， 分別作 的垂線，垂足分別為 、 兩點，直線 交 于 點，若 ，則下述四個結(jié)論：① ；②直線 的傾斜角為 或 ；③ 是 的中點；④ 為等邊三角形，其中所有正確結(jié)論的編號是?????????????                 ．      三．解答題：（本題共6小題，共70分，解答題應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟） 17. （本題滿分10分）已知 ，求證：（1）；（2）．   18. （本題滿分12分）下面給出了根據(jù)我國 年 年水果人均占有量 （單位：）和年份代碼 繪制的散點圖和線性回歸方程的殘差圖（ 年 年的年份代碼 分別為 ）．  （1）          根據(jù)散點圖相應(yīng)數(shù)據(jù)計算得，，求 關(guān)于 回歸方程；（2）          由（1）中的回歸方程預(yù)測2020年我國水果人均占有量；（3）   根據(jù)線性回歸方程的殘差圖，分析線性回歸方程的擬合效果． 參考公式：回歸方程 中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為： ，．19. （本題滿分12分）如今電商已成為一種新型的購銷平臺，經(jīng)銷某種商品的一個電商在任何一個銷售季度內(nèi)，每售出 噸該商品可獲利潤 萬元，提前采購后未能售出的商品，每 噸虧損 萬元．根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗，得到一個銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖如圖所示．若電商為下一個銷售季度提前采購了 噸該商品．現(xiàn)以 （單位：噸，）表示下一個銷售季度的市場需求量，（單位：萬元）表示該電商下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該商品獲得的利潤． （1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計一個銷售季度內(nèi)市場需求量 的平均數(shù)與中位數(shù)的大??；（2）根據(jù)直方圖估計利潤 不少于 萬元的概率． 20. （本題滿分12分）在直角坐標(biāo)系 中，曲線 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點 為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線 的極坐標(biāo)方程為 ．（1）求曲線 的普通方程和直線 的直角坐標(biāo)方程（2）射線 的極坐標(biāo)方程為 ，若射線 與曲線 的交點為 ，與直線 的交點為 ，求線段 的長． 21. （本題滿分12分）已知 為坐標(biāo)原點，過點 的直線 與拋物線 交于 ， 兩點，且 ．（1）求拋物線 的方程；（2）過點 作直線 交拋物線 于P,Q兩點，記 ， 的面積分別為 ，，證明： 為定值．22. （本題滿分12分）已知橢圓 的離心率為 ，，，， 的面積為 ．（1）求橢圓 的方程；（2）設(shè) 是橢圓 上一點，且不與四個頂點重合，若直線 與直線 交于點 ，直線 與直線 交于點 ．求證： 為等腰三角形．                       哈師大附中2020-2021年度高二學(xué)年上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)答案（文科）考試時間：120分鐘      滿分：150分一．選擇題   B  C  B  A  B  C  C  C  D  B  A  D 二．填空題 13.  4        14. 男        15.         16.① ③ ④       三．解答題   17.（1）因為, 則 ， 故              ——————————————————  5分（2）因為, 所以 ．故．————  5分 18. （1） 由散點圖可以看出，點大致分布在某一直線的附近，且從左下方到右上方分布，從而 與 之間是線性相關(guān)，且為正相關(guān)關(guān)系                                                —— ——————  1分     由題中數(shù)據(jù)可得 ，，從而                                                                 —— ——————  5分   ．                                                     —— ——————  7分從而所求 關(guān)于 的線性回歸方程為 ．                       —— ——————  8分 （2）令x=8，（） ，故預(yù)測2020年我國水果人均占有量為187     — ——————  10分（3） 由殘差圖可以看出，殘差對應(yīng)的點均勻地落在0附近水平帶狀區(qū)域內(nèi)，且寬度較窄，說明擬合效果較好．                                                                                              —— ——————  12分 19. （1）估計一個銷售季度內(nèi)市場需求量 的平均數(shù)為 （噸）；—— ——————  2分由頻率分布直方圖易知，由于 時，對應(yīng)的頻率為 ，而 時，對應(yīng)的頻率為 ，因此一個銷售季度內(nèi)市場需求量 的中位數(shù)應(yīng)屬于區(qū)間 ，于是估計中位數(shù)應(yīng)為 （噸）．—— ——————  6分（2） 當(dāng) 時，；當(dāng) 時，，所以，．      根據(jù)頻率分布直方圖知，當(dāng) 時，由 ，得 ，當(dāng) 時，由 ，所以，利潤 不少于 萬元當(dāng)且僅當(dāng) ，                           —— ——————  9分由頻率分布直方圖可知市場需求量 的頻率為 ．所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤 不少于 萬元的概率的估計值為 ．—— —————  12分 20. （1） 由 所以 ，所以曲線 的普通方程為 ．                                           —— ——————  3分由 ，可得 ，所以直線 的直角坐標(biāo)方程為 ．                                 —— ——————  5分      （2） 方法一：曲線 的方程可化為 ，所以曲線 的極坐標(biāo)方程為 ．                                  —— ——————  7分由題意設(shè) ，，將 代入 ，可得：，所以 或 （舍去），                                                               —— ——————  9分將 代入 ，可得：，                                 —— ——————  11分所以 ．                                                                         —— ——————  12分方法二：因為射線 的極坐標(biāo)方程為 ，所以射線 的直角坐標(biāo)方程為 ，由 ，解得 ，由 ，解得 ，所以 ．21. （1） 設(shè)直線 的方程為：，與拋物線 聯(lián)立，消去 得： ；設(shè) ，，則    >0,   ；                                             —— ——————  1分由 ，得  解得 ，所以拋物線 的方程為 ．                                      —— ——————  5分      （2） 由（）知，點 是拋物線 的焦點，所以 ，又原點到直線 的距離為 ，所以 的面積為 ，—————  8分又直線 過點 ，且 ，所以 的面積為 ；         —— ——————  10分所以 為定值．            —— ——————  12分22. （1） 由條件解得： 所以橢圓 的方程為 ．—— ——————4分      （2） 方法一：設(shè) ，所以 ．可求得直線 ，直線 ． 聯(lián)立 解得： 所以 ．                                          —— ——————  6分同理：直線 ，直線 ，可求得 ．                                   —— ——————  8分可求得：， ，而 其中 — ——————  11分所以 ，即 ，所以 為等腰三角形．— —————  12分方法二：設(shè) ，所以 ．可求得直線 ，直線 ．聯(lián)立： 解得： 所以 ．同理：直線 ，直線 ，可求得 ．線段 的中點 ，．所以 ，因為  所以 的斜率不存在，所以 ，所以 為等腰三角形．方法三：因為 ，， ， ，而  其中  所以 ，即 ，所以 為等腰三角形．   

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