考試時間：150分鐘 滿分：150分
一、選擇題（每題5分，共60分）
1. 已知命題 （ ）
A. B.
C. D.
2. 拋物線的準線方程是（ ）
A. B. C. D.
3. 若一個正方體截去一個三棱錐后所得的幾何體如圖所示.則該幾何體的正視圖是（ ）
A. B.
C. D.
4. 雙曲線的漸近線方程是（ ）
A. B. C. D.
5.設(shè)是三個不重合的平面， 是兩條不重合的直線，則下列命題正確的是（ ）
A.若則 B.若，則
C.若則 D.若則
6. 在普通高中新課程改革中，某地實施“3+1+2”選課方案．該方案中“2”指的是從政治、地理、化學、生物4門學科中任選2門，假設(shè)每門學科被選中的可能性相等，那么政治和地理同時被選中的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.已知橢圓 的兩個焦點是，橢圓上任意一點與兩焦點距離的和等于，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
8.三棱柱底面為正三角形,側(cè)棱與底面垂直，若 ，則點到平面的距離是（ ）
A. B. C. D.
9.如圖，在三棱錐中，為棱的中點,若, ,則異面直線與所成的角為（ ）
A. B.
C. D.
10.如圖所示為一正方體的平面展開圖，在這個正方體中，有下列四個命題：
①；
②與為異面直線且夾角為；
③；
④與平面所成的角為.其中正確命題的個數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
11. 《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中提到了一種名為“芻甍”的五面體（如圖）面為矩形，棱.若此幾何體中，和都是邊長為的等邊三角形，則此幾何體的表面積為（ ）
A.
B.
C.
D.
12. 點在雙曲線的右支上，其左，右焦點分別為，直線與以坐標原點為圓心，為半徑的圓相切于點，線段的垂直平分線恰好過點，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
二.填空題（每題5分，共20分）
13. 已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點， 則線段長度的最小值為_________
14. 在區(qū)間上隨機地取一個實數(shù)，若實數(shù)滿足的概率為，則實數(shù)
15. 已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且，則此三棱錐的外接球的表面積為________
16. 棱長為的正方體中，點分別在線段上運動（不包括線段端點），且.以下結(jié)論：①；②若點分別為線段的中點，則由線與確定的平面在正方體上的截面圖形為等邊三角形；③ 四面體的體積的最大值為；④直線與直線的夾角為定值.其中正確的結(jié)論為_______（填序號）
三、解答題（共70分）
17.（共10分）已知命題實數(shù)滿足方程表示雙曲線；命題實數(shù)滿足方程表示焦點在軸上的橢圓．
（1）若命題為真命題，求的取值范圍；
（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍
18.（共12分）將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲次，觀察向上的點數(shù)，并分別記為 .
（1）若記“”為事件，求事件發(fā)生的概率；
（2）若記“”為事件，求事件發(fā)生的概率.
19.（共12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，是的中點，是的中點.
（1）求四棱錐的體積;
（2）求證：平面
20.（共12分）設(shè)關(guān)于的一元二次方程
（1）若是從五個數(shù)中任取的一個數(shù)，是從三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率；
（2）若是從區(qū)間上任取的一個數(shù)，是從區(qū)間上任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率．

21.（共12分）已知正三角形, 正方形,平面平面, 為的中點,
（1）求證: 平面
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
22.（共12分）已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓，離心率，且橢圓過點.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓左、右焦點分別為，過的直線與橢圓交于不同的兩點,則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由.
高二文科數(shù)學期末答案
一 選擇題
1.A 2. C 3.A 4.B 5.C 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B 11.B 12.D
二 填空題 13. 8 14. 3 15. 16.
三 解答題
17.（1）解：因為命題 為真命題，所以 ， 得
（2）解：方程 表示雙曲線，則有 ， 得 ； ∵ 是 的充分不必要條件，∴ ， 解得
18. （1）解：將一顆質(zhì)地均勻的骰子拋擲 次，它的點數(shù)有 這 種結(jié)果， 拋擲第 次，它的點數(shù)有 這 種結(jié)果，
因為骰子共拋擲 次，所以共有 種結(jié)果， 事件A發(fā)生的基本事件有： 共 種結(jié)果， 所以事件A發(fā)生的概率為
（2）解：事件B發(fā)生的基本事件有： 共6種結(jié)果，所以事件B發(fā)生的概率為 。 答：……
19.（1）解：四棱錐的體積
（2）證明：在 上取中點為 ，連接 和 ，
則易得 ，且 ， 且故四邊形 為平行四邊形，故 ， 又 面 ， 面
故 面
20. （1）解：由題意知本題是一個古典概型，設(shè)事件A為“方程有實根”， 總的基本事件共15個：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3,0）（3,1）（3,2）（4，0）（4，1）（4，2），其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值．事件A中包含8個基本事件（a≥2b），（0，0）（1，0）（2，0）（2，1）（3，0）（3，1）（4，0）（4，1）（4，2），∴事件A發(fā)生的概率為
（2）解：由題意知本題是一個幾何概型，
試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤2}，
滿足條件的構(gòu)成事件A的區(qū)域為{（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤2，a≥2b}．
∴所求的概率是 ．
21.（1）證明：正方形 中, ,由于平面 平面 ,且交線為 ,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知 平面 .
（2）證明：過 作 ,交點為 ,則 ,由于 平面 所以 .由于 ,所以 平面 ,故 是直線 與平面 所成的角.設(shè)正方形和等邊三角形的邊長都為1,則 .
22.（1）解：由題意可設(shè)橢圓方程為 ．則 ，
解得： 橢圓方程為 ，
（2）解：設(shè) ，不妨 ，設(shè) 的內(nèi)切圓的半徑 ，
則 的周長為 因此 最大，就最大，
由題知，直線 的斜率不為零，可設(shè)直線的方程為 ，
由 得 ，得
則 ，令 ，可知 ，則 ，令 ，則 ，當 時， ， 在 上單調(diào)遞增，有 ，
即當 時， ，這時所求內(nèi)切圓面積的最大值為 ．故直線 內(nèi)切圓面積的最大值為 .

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