?2021年山東青島中考數(shù)學(xué)模擬沖刺卷
一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分）
1．如果兩個(gè)相似三角形的相似比是1：2，那么它們的面積比是（　?。?br /> A．1：2 B．1：4 C．1： D．2：1
2．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，則sinB的值是（　?。?br /> A． B． C． D．
3．如圖，AB是⊙O的直徑，∠ACD=15°，則∠BAD的度數(shù)為（　?。?br />
A．15° B．30° C．60° D．75°
4．如圖所示，給出下列條件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD?AB．其中單獨(dú)能夠判定△ABC∽△ACD的個(gè)數(shù)為（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
5．在△ABC中，若cosA=，tanB=，則這個(gè)三角形一定是（　?。?br /> A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰三角形
　
6．如圖，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形與左圖中△ABC相似的是（　?。?br />
A． B． C． D．
7．如圖，BC是⊙O的直徑，P是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，如果PA=4，PB=2，那么線段BC的長(zhǎng)等于（　?。?br />
A．3 B．4 C． 5 D．6
8．如圖，在半徑為6cm的⊙O中，點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是優(yōu)弧上一點(diǎn)，且∠D=30°，下列四個(gè)結(jié)論：
①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四邊形ABOC是菱形．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（　?。?br />
A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
9．等腰三角形底邊長(zhǎng)10cm，周長(zhǎng)為36cm，則一底角的正切值為　　　　　?。?br /> 10．弧長(zhǎng)為6π的弧所對(duì)的圓心角為60°，則該弧所在圓的半徑是　　　　　?。?br /> 11．將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則的值是　　　　　?。?br />
12．如圖，平行四邊形ABCD中，E是邊BC上的點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，如果，則=　　　　　?。?br />
13．如圖，AB、AC是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為B、C，D是優(yōu)弧BC上的一點(diǎn)，已知∠BAC=80°，那么∠BDC=　　　　　　度．

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形，頂點(diǎn)A、C分別在x，y軸的正半軸上．點(diǎn)Q在對(duì)角線OB上，且QO=OC，連接CQ并延長(zhǎng)CQ交邊AB于點(diǎn)P．則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　　　　?。?br />
三、解答題（本大題共10個(gè)小題，共78分）
15．計(jì)算：tan30°?sin60°+cos230°﹣sin245°?tan45°．
　




16．如圖，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，求BC的長(zhǎng)．

　




17．如圖是以△ABC的邊AB為直徑的半圓O，點(diǎn)C恰好在半圓上，過(guò)C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，求AC的長(zhǎng)．

　






18．如圖，△ABC的三頂點(diǎn)分別為A（4，4），B（﹣2，2），C（3，0）．請(qǐng)畫(huà)出一個(gè)以原點(diǎn)O為位似中心，且與△ABC相似比為的位似圖形△A1B1C1，并寫(xiě)出△A1B1C1各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．（只需畫(huà)出一種情況，A1B1：AB=）

19．如圖1表示一個(gè)時(shí)鐘的鐘面垂直固定與水平桌面上，其中分針上有一點(diǎn)A，且當(dāng)鐘面顯示3點(diǎn)30分時(shí)，分針垂直與桌面，A點(diǎn)距桌面的高度為10公分．如圖2，若此鐘面顯示3點(diǎn)45分時(shí)，A點(diǎn)距離桌面的高度為16公分，則鐘面顯示3點(diǎn)50分時(shí)，A點(diǎn)距桌面的高度為多少公分？

　





20．如圖，小明為測(cè)量某鐵塔AB的高度，他在離塔底B的10米C處測(cè)得塔頂?shù)难鼋铅?43°，已知小明的測(cè)角儀高CD=1.5米，求鐵塔AB的高．（精確到0.1米）
（參考數(shù)據(jù)：sin43°=0.6820，cos43°=0.7314，tan43°=0.9325）

　









21．如圖，以線段AB為直徑的⊙O交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，OM交AC于點(diǎn)D，∠BOE=60°，cosC=，BC=2．
（1）求∠A的度數(shù)；
（2）求證：BC是⊙O的切線；
（3）求MD的長(zhǎng)度．

　











22．釣魚(yú)島自古以來(lái)就是我國(guó)的神圣領(lǐng)土，為維護(hù)國(guó)家主權(quán)和海洋權(quán)利，我國(guó)海監(jiān)和漁政部門對(duì)釣魚(yú)島 海域?qū)崿F(xiàn)了常態(tài)化巡航管理．如圖，某日在我國(guó)釣魚(yú)島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時(shí)刻兩海監(jiān)船同時(shí)測(cè)得在A的東北方向，B的北偏東15°方向有一我國(guó)漁政執(zhí)法船C，求此時(shí)船C與船B的距離是多少．（結(jié)果保留根號(hào)）

　









23．在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分別交BD、AD于點(diǎn)E、F，連接BF．
（1）求證：△DEC∽△FDC；
（2）當(dāng)F為AD的中點(diǎn)時(shí)，求sin∠FBD的值及BC的長(zhǎng)度．

　





24．如圖，在Rt△ABC中，斜邊BC=12，∠C=30°，D為BC的中點(diǎn)，△ABD的外接圓⊙O與AC交于F點(diǎn)，過(guò)A作⊙O的切線AE交DF的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)．
（1）求證：AE⊥DE；
（2）計(jì)算：AC?AF的值．

　
　
參考答案
一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分）
1．如果兩個(gè)相似三角形的相似比是1：2，那么它們的面積比是（　?。?br /> A．1：2 B．1：4 C．1： D．2：1
【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)．
【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可得出．
【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形的相似比是1：2，
∴（1：2）2=1：4．故選B．
【點(diǎn)評(píng)】本題是一道考查相似三角形性質(zhì)的基本題目，比較簡(jiǎn)單．
　
2．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，則sinB的值是（　　）
A． B． C． D．
【考點(diǎn)】互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系．
【分析】根據(jù)互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系：sin2A+sin2B=1解答．
【解答】解：∵在Rt△ABC，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sin2A+sin2B=1，sinB＞0，
∵sinA=，
∴sinB==．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，掌握sin2A+sin2B=1是解題的關(guān)鍵．
　
3．如圖，AB是⊙O的直徑，∠ACD=15°，則∠BAD的度數(shù)為（　?。?br />
A．15° B．30° C．60° D．75°
【考點(diǎn)】圓周角定理．
【專題】壓軸題．
【分析】由AB是圓的直徑，則∠ADB=90°，由圓周角定理知，∠ABD=∠ACD=15°，即可求∠BAD=90°﹣∠B=75°．
【解答】解：連接BD，

∵AB是圓的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=∠ACD=15°，
∴∠BAD=90°﹣∠ABD=75°．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直徑對(duì)的圓周角定理是直角和圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．
　
4．如圖所示，給出下列條件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD?AB．其中單獨(dú)能夠判定△ABC∽△ACD的個(gè)數(shù)為（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
【考點(diǎn)】相似三角形的判定．
【分析】由圖可知△ABC與△ACD中∠A為公共角，所以只要再找一組角相等，或一組對(duì)應(yīng)邊成比例即可解答．
【解答】解：有三個(gè)．
①∠B=∠ACD，再加上∠A為公共角，可以根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來(lái)判定；
②∠ADC=∠ACB，再加上∠A為公共角，可以根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來(lái)判定；
③中∠A不是已知的比例線段的夾角，不正確
④可以根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個(gè)三角形相似來(lái)判定；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定方法的掌握情況．
　
5．在△ABC中，若cosA=，tanB=，則這個(gè)三角形一定是（　?。?br /> A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值．
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和三角形的內(nèi)角和定理求出角的度數(shù)，再進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵cosA=，tanB=，
∴∠A=45°，∠B=60°．
∴∠C=180°﹣45°﹣60°=75°．
∴△ABC為銳角三角形．
故選A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算，特殊角三角函數(shù)值計(jì)算在2016屆中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主．
　
6．如圖，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形與左圖中△ABC相似的是（　?。?br />
A． B． C． D．
【考點(diǎn)】相似三角形的判定．
【專題】網(wǎng)格型．
【分析】本題主要應(yīng)用兩三角形相似判定定理，三邊對(duì)應(yīng)成比例，分別對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行分析即可得出答案．
【解答】解：已知給出的三角形的各邊AB、CB、AC分別為、2、、
只有選項(xiàng)B的各邊為1、、與它的各邊對(duì)應(yīng)成比例．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形相似判定定理的應(yīng)用．
　
7．如圖，BC是⊙O的直徑，P是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，如果PA=4，PB=2，那么線段BC的長(zhǎng)等于（　?。?br />
A．3 B．4 C．5 D．6
【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)．
【分析】如圖，連接OA．根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP=90°，所以在直角△AOP中，利用勾股定理來(lái)求該圓的半徑，則易求直徑BC的長(zhǎng)度．
【解答】解：設(shè)該圓的半徑為r（r＞0），
如圖，連接OA，
∵PA切⊙O于點(diǎn)A，
∴OA⊥AP，即∠OAP=90°，
又∵PA=4，PB=2，
∴在直角△AOP中，利用勾股定理得到：PA2+OA2=OP2，即42+r2=（r+2）2，
則r=3，
∴⊙O的直徑BC=2r=6，
故選D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題是解答此題的關(guān)鍵．
　
8．如圖，在半徑為6cm的⊙O中，點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是優(yōu)弧上一點(diǎn)，且∠D=30°，下列四個(gè)結(jié)論：
①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四邊形ABOC是菱形．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是（　　）

A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
【考點(diǎn)】垂徑定理；菱形的判定；圓周角定理；解直角三角形．
【專題】幾何圖形問(wèn)題．
【分析】分別根據(jù)垂徑定理、菱形的判定定理、銳角三角函數(shù)的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．
【解答】解：∵點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，OA過(guò)圓心，
∴OA⊥BC，故①正確；
∵∠D=30°，
∴∠ABC=∠D=30°，
∴∠AOB=60°，
∵點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，
∴BC=2CE，
∵OA=OB，
∴OA=OB=AB=6cm，
∴BE=AB?cos30°=6×=3cm，
∴BC=2BE=6cm，故②正確；
∵∠AOB=60°，
∴sin∠AOB=sin60°=，
故③正確；
∵∠AOB=60°，
∴AB=OB，
∵點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，
∴AC=AB，
∴AB=BO=OC=CA，
∴四邊形ABOC是菱形，
故④正確．
故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理、菱形的判定、圓周角定理、解直角三角形，綜合性較強(qiáng)，是一道好題．
　
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
9．等腰三角形底邊長(zhǎng)10cm，周長(zhǎng)為36cm，則一底角的正切值為　　．
【考點(diǎn)】解直角三角形．
【分析】易求腰長(zhǎng)．作底邊上的高，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解．
【解答】解：如圖，AB=AC，BC=10，AD為底邊上的高，周長(zhǎng)為36，
則AB=AC=（36﹣10）÷2=13．
∵BD=5，
∴由勾股定理得，AD=12．
tan∠ABC=AD：BD=12：5．

【點(diǎn)評(píng)】本題利用了等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的概念．
　
10．弧長(zhǎng)為6π的弧所對(duì)的圓心角為60°，則該弧所在圓的半徑是　18　．
【考點(diǎn)】弧長(zhǎng)的計(jì)算．
【分析】利用底面周長(zhǎng)=展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)可得．
【解答】解：=6π，
解得r=18．
【點(diǎn)評(píng)】解答本題的關(guān)鍵是有確定底面周長(zhǎng)=展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)這個(gè)等量關(guān)系，然后由扇形的弧長(zhǎng)公式和圓的周長(zhǎng)公式求值．
　
11．將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則的值是　　．

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．
【分析】由∠BAC=∠ACD=90°，可得AB∥CD，即可證得△ABE∽△DCE，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得：，然后利用三角函數(shù)，用AC表示出AB與CD，即可求得答案．
【解答】解：∵∠BAC=∠ACD=90°，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∵在Rt△ACB中∠B=45°，
∴AB=AC，
∵在Rt△ACD中，∠D=30°，
∴CD==AC，
∴==．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與三角函數(shù)的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
　
12．如圖，平行四邊形ABCD中，E是邊BC上的點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，如果，則=　　．

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．
【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，易得△BEF∽△DAF，即可得=，然后由，求得答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△BEF∽△DAF，
∴=，
∵，
∴=，
∴=．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
　
13．如圖，AB、AC是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為B、C，D是優(yōu)弧BC上的一點(diǎn)，已知∠BAC=80°，那么∠BDC=　50　度．

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理．
【分析】先用切線的性質(zhì)得出∠BAD=∠ACD=90°，再用四邊形內(nèi)角和定理得出∠BOC，∠BDC可求．
【解答】解：連接OB、OC，則∠ABO=∠ACO=90°，
∠BAC+∠BOC=360°﹣（∠ABO+∠ACO）=360°﹣180°=180°，
∠BOC=180°﹣∠BAC=180°﹣80°=100°，
故∠BDC=∠BOC=×100=50°．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)及圓周角定理，四邊形內(nèi)角和定理，比較簡(jiǎn)單．
　
14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形，頂點(diǎn)A、C分別在x，y軸的正半軸上．點(diǎn)Q在對(duì)角線OB上，且QO=OC，連接CQ并延長(zhǎng)CQ交邊AB于點(diǎn)P．則點(diǎn)P的坐標(biāo)為?。?，4﹣2）?。?br />
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．
【分析】根據(jù)正方形的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的倍求出OB，再求出BQ，然后求出△BPQ和△OCQ相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出BP的長(zhǎng)，再求出AP，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解：∵四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形，
∴OA=OC=2，OB=2，
∵QO=OC，
∴BQ=OB﹣OQ=2﹣2，
∵正方形OABC的邊AB∥OC，
∴△BPQ∽△OCQ，
∴=，
即=，
解得BP=2﹣2，
∴AP=AB﹣BP=2﹣（2﹣2）=4﹣2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4﹣2）．
故答案為：（2，4﹣2）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的倍的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出BP的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
　
三、解答題（本大題共7個(gè)小題，共78分）
15．計(jì)算：tan30°?sin60°+cos230°﹣sin245°?tan45°．
【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值．
【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入，然后化簡(jiǎn)求值即可．
【解答】解：原式=×+（）2﹣（）2×1
=+﹣=．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地2016屆中考題中常見(jiàn)的計(jì)算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．
　
16．如圖，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，求BC的長(zhǎng)．

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．
【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得出△ADE∽△ABC，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出BC的長(zhǎng)．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵DE=1，AD=2，DB=3，
∴AB=AD+DB=5，
∴BC==．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等是解答此題的關(guān)鍵．
　
17．如圖是以△ABC的邊AB為直徑的半圓O，點(diǎn)C恰好在半圓上，過(guò)C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，求AC的長(zhǎng)．

【考點(diǎn)】圓周角定理；解直角三角形．
【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90°，得∠ACB=90°，再由CD⊥AB．易得∠ACD=∠B，又由cos∠ACD=，得出tanB，即可求得答案．
【解答】解：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵cos∠ACD=，
∴cos∠B=，
∴tan∠B=，
∵BC=4，
∴tan∠B=，
∴=
∴AC=．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理以及三角函數(shù)的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
　
18．如圖，△ABC的三頂點(diǎn)分別為A（4，4），B（﹣2，2），C（3，0）．請(qǐng)畫(huà)出一個(gè)以原點(diǎn)O為位似中心，且與△ABC相似比為的位似圖形△A1B1C1，并寫(xiě)出△A1B1C1各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．（只需畫(huà)出一種情況，A1B1：AB=）

【考點(diǎn)】作圖-位似變換；坐標(biāo)確定位置．
【分析】先以原點(diǎn)O為位似中心，作△ABC的位似圖形，使相似比為，再根據(jù)所作三角形三點(diǎn)的位置寫(xiě)出三點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：如圖

△A1B1C1就是所求的三角形，A1（﹣2，﹣2），B1（1，﹣1），C1（﹣1.5，0）．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查位似三角形的作法和點(diǎn)的坐標(biāo)的寫(xiě)法，難度中等．
　
19．如圖1表示一個(gè)時(shí)鐘的鐘面垂直固定與水平桌面上，其中分針上有一點(diǎn)A，且當(dāng)鐘面顯示3點(diǎn)30分時(shí)，分針垂直與桌面，A點(diǎn)距桌面的高度為10公分．如圖2，若此鐘面顯示3點(diǎn)45分時(shí)，A點(diǎn)距離桌面的高度為16公分，則鐘面顯示3點(diǎn)50分時(shí)，A點(diǎn)距桌面的高度為多少公分？

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．
【分析】根據(jù)當(dāng)鐘面顯示3點(diǎn)30分時(shí)，分針垂直于桌面，A點(diǎn)距桌面的高度為10公分得出AD=10，進(jìn)而得出A′C=16，從而得出A′A″=3，得出答案即可．
【解答】解：連接A″A′，
∵當(dāng)鐘面顯示3點(diǎn)30分時(shí)，分針垂直于桌面，A點(diǎn)距桌面的高度為10公分．
∴AD=10，
∵鐘面顯示3點(diǎn)45分時(shí)，A點(diǎn)距桌面的高度為16公分，
∴A′C=16，
∴AO=A″O=6，
則鐘面顯示3點(diǎn)50分時(shí)，
∠A″OA′=30°，
∴A′A″=3，
∴A點(diǎn)距桌面的高度為：16+3=19公分．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形以及鐘面角，得出∠A′OA=30°，進(jìn)而得出A′A″=3，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
　
20．如圖，小明為測(cè)量某鐵塔AB的高度，他在離塔底B的10米C處測(cè)得塔頂?shù)难鼋铅?43°，已知小明的測(cè)角儀高CD=1.5米，求鐵塔AB的高．（精確到0.1米）
（參考數(shù)據(jù)：sin43°=0.6820，cos43°=0.7314，tan43°=0.9325）

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題．
【專題】應(yīng)用題．
【分析】本題是一個(gè)直角梯形的問(wèn)題，可以過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，把求AB的問(wèn)題轉(zhuǎn)化求AE的長(zhǎng)，從而可以在△ADE中利用三角函數(shù)求解．
【解答】解：如圖，可知四邊形DCBE是矩形．
∴EB=DC=1.5米，DE=CB=10米．
在Rt△AED中，∠ADE=α=43°．
∴tanα=．
∴AE=DE?tan43°=10×0.9325=9.325米；
∴AB=AE+EB=9.325+1.5=10.825≈10.8（米）．
【點(diǎn)評(píng)】解直角梯形可以通過(guò)作高線轉(zhuǎn)化為解直角三角形和矩形的問(wèn)題．
　
21．如圖，以線段AB為直徑的⊙O交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，OM交AC于點(diǎn)D，∠BOE=60°，cosC=，BC=2．
（1）求∠A的度數(shù)；
（2）求證：BC是⊙O的切線；
（3）求MD的長(zhǎng)度．

【考點(diǎn)】圓周角定理；切線的判定與性質(zhì)；弧長(zhǎng)的計(jì)算；特殊角的三角函數(shù)值．
【專題】計(jì)算題；證明題；壓軸題．
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)即可得出∠A的度數(shù)．
（2）要證BC是⊙O的切線，只要證明AB⊥BC即可．
（3）根據(jù)切線的性質(zhì)，運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)求出MD的長(zhǎng)度．
【解答】（1）解：∵∠BOE=60°，
∴∠A=∠BOE=30°．

（2）證明：在△ABC中，∵cosC=，
∴∠C=60°．
又∵∠A=30°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC．
∴BC是⊙O的切線．

（3）解：∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，
∴OM⊥AE．
在Rt△ABC中，∵BC=2，
∴AB=BC?tan60°=2×=6．
∴OA==3，
∴OD=OA=，
∴MD=．
【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了三角函數(shù)的知識(shí)、切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．
　
22．釣魚(yú)島自古以來(lái)就是我國(guó)的神圣領(lǐng)土，為維護(hù)國(guó)家主權(quán)和海洋權(quán)利，我國(guó)海監(jiān)和漁政部門對(duì)釣魚(yú)島 海域?qū)崿F(xiàn)了常態(tài)化巡航管理．如圖，某日在我國(guó)釣魚(yú)島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時(shí)刻兩海監(jiān)船同時(shí)測(cè)得在A的東北方向，B的北偏東15°方向有一我國(guó)漁政執(zhí)法船C，求此時(shí)船C與船B的距離是多少．（結(jié)果保留根號(hào)）

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．
【專題】壓軸題．
【分析】首先過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于D，由題意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，則可求得∠ACB的度數(shù)，然后利用三角函數(shù)的知識(shí)求解即可求得答案．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于D．
由題意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=30°，
在Rt△ABD中，BD=AB?sin∠BAD=20×=10（海里），
在Rt△BCD中，BC===20（海里）．
答：此時(shí)船C與船B的距離是20海里．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了方向角問(wèn)題．此題難度適中，注意能借助于方向角構(gòu)造直角三角形，并利用解直角三角形的知識(shí)求解是解此題的關(guān)鍵．
　
23．在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分別交BD、AD于點(diǎn)E、F，連接BF．
（1）求證：△DEC∽△FDC；
（2）當(dāng)F為AD的中點(diǎn)時(shí)，求sin∠FBD的值及BC的長(zhǎng)度．

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；解直角三角形．
【專題】壓軸題．
【分析】（1）根據(jù)題意可得∠DEC=∠FDC，利用兩角法即可進(jìn)行相似的判定；
（2）根據(jù)F為AD的中點(diǎn)，可得FB=FC，根據(jù)AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，設(shè)EF=x，則EC=2x，利用（1）的結(jié)論求出x，在Rt△CFD中求出FD，繼而得出BC．
【解答】解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，
∴△DEC∽△FDC．

（2）∵F為AD的中點(diǎn)，AD∥BC，
∴FE：EC=FD：BC=1：2，F(xiàn)B=FC，
∴FE：FC=1：3，
∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=；
設(shè)EF=x，則FC=3x，
∵△DEC∽△FDC，
∴=，即可得：6x2=12，
解得：x=，
則CF=3，
在Rt△CFD中，DF==，
∴BC=2DF=2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊成比例．
　
24．如圖，在Rt△ABC中，斜邊BC=12，∠C=30°，D為BC的中點(diǎn)，△ABD的外接圓⊙O與AC交于F點(diǎn)，過(guò)A作⊙O的切線AE交DF的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)．
（1）求證：AE⊥DE；
（2）計(jì)算：AC?AF的值．

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)；圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．
【專題】幾何綜合題；壓軸題．
【分析】（1）連接OA、OB，證明△ABD為等邊三角形后根據(jù)三心合一的定理求出∠OAC=60°，求出四邊形ABDF內(nèi)接于圓O，利用切線的性質(zhì)求出AE⊥DE；
（2）由1可得△ABD為等邊三角形，易證△ADF∽△ACD，可得AD2=AC?AF．
【解答】（1）證明：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，D為BC的中點(diǎn)，
∴∠ABD=60°，AD=BD=DC．
∴△ABD為等邊三角形．
∴O點(diǎn)為△ABD的中心（內(nèi)心，外心，垂心三心合一）．
連接OA，OB，∠BAO=∠OAD=30°，
∴∠OAC=60°．
又∵AE為⊙O的切線，
∴OA⊥AE，∠OAE=90°．
∴∠EAF=30°．
∴AE∥BC．
又∵四邊形ABDF內(nèi)接于圓O，
∴∠FDC=∠BAC=90°．
∴∠AEF=∠FDC=90°，即AE⊥DE．

（2）解：由（1）知，△ABD為等邊三角形，
∴∠ADB=60°．
∴∠ADF=∠C=30°，∠FAD=∠DAC．
∴△ADF∽△ACD，則．
∴AD2=AC?AF，
又∵AD=BC=6．
∴AC?AF=36．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識(shí)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．
　

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