數(shù)學必修 第四冊第十一章 立體幾何初步11.1 空間幾何體11.1.6 祖暅原理與幾何體的體積教案配套課件ppt

這是一份數(shù)學必修 第四冊第十一章 立體幾何初步11.1 空間幾何體11.1.6 祖暅原理與幾何體的體積教案配套課件ppt，共41頁。PPT課件主要包含了激趣誘思，知識點撥，答案D，答案28，微練習1，答案B，答案36π，探究一，探究二，探究三等內容，歡迎下載使用。
祖暅是我國南北朝時期的數(shù)學家,是祖沖之的兒子.他提出了一條原理:“冪勢既同,則積不容異.”這里的“冪”指水平截面的面積,“勢”指高.這句話的意思是:兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等,則這兩個幾何體的體積相等.祖暅不僅首次明確提出了這一原理,還成功地將其應用到球體積的推算上.我們把這條原理稱為祖暅原理.這一原理在西方文獻中稱為“卡瓦列里原理”,由意大利數(shù)學家卡瓦列里(1598—1647年)獨立提出,對微積分的建立有重要影響.
知識點一:祖暅原理1.祖暅原理“冪勢既同,則積不容異”,即“夾在兩個平行平面間的兩個幾何體,如果被平行于這兩個平面的任意平面所截,兩個截面的面積總相等,那么這兩個幾何體的體積一定相等”.2.作用:等底面積、等高的兩個柱體或錐體的體積相等.3.說明:祖暅原理充分體現(xiàn)了空間與平面問題的相互轉化思想,是推導柱、錐、臺體積公式的理論依據.
微思考運用祖暅原理來證明兩個幾何體的體積相等,需要幾個條件?分別是什么?提示:需要三個條件,分別是:①這兩個幾何體夾在兩個平行平面之間.②平行于兩個平行平面的每一個平面可截得兩個截面.③兩個截面的面積總相等.
微判斷(1)等底等高的兩個柱體的體積相同.(　　)(2)等底等高的圓柱的體積是圓錐的體積的9倍.(　　)(3)在三棱柱A1B1C1-ABC中,有 (　　)答案:(1)√　(2)×　(3)×
知識點二:柱、錐、臺的體積柱體、錐體、臺體的體積公式如下表,其中,棱柱、棱錐的底面積為S,圓柱、圓錐的底面圓半徑為r,高為h,臺體的上、下底面面積分別為S1,S2,高為h,上、下底面圓的半徑分別為r'和r.
名師點析 柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關系
微思考求三棱錐的體積時有什么技巧?提示:因為三棱錐的任何一個面都可以作為它的底面,因此求三棱錐的體積時可以更換三棱錐的頂點和底面,尋求底面積與高易求的三棱錐.
微判斷(1)棱臺的體積可由兩個棱錐的體積差得出.(　　)(2)棱臺的側面展開圖是由若干個等腰梯形組成的.(　　)(3)圓臺的高就是相應母線的長.(　　)答案:(1)√　(2)×　(3)×
微練習1圓錐底面半徑為3,母線長為5,則這個圓錐的體積為(　　)A.36πB.18πC.45πD.12π
微練習2已知棱臺的上、下底面面積分別為4,16,高為3,則該棱臺的體積為　　　　　.?
知識點三:球的體積一般地,如果球的半徑為R,那么球的體積計算公式為V球= πR3.名師點析 求解與球有關切接問題時要認真分析題中已知條件,明確切點與接點位置,正確作出截面圖,再分析相關量間的數(shù)量關系.
微判斷(1)決定球的大小的因素是球的半徑.(　　)(2)球面被經過球心的平面截得的圓的半徑等于球的半徑.(　　)(3)球的體積V與球的表面積S的數(shù)值關系為V= S.(　　)(4)兩個球的體積之比等于其半徑比的立方.(　　)答案:(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
微練習2已知某球的體積與其表面積的數(shù)值相等,則此球的體積為　　　　　.?
柱體的體積例1用一塊長4 m,寬2 m的矩形鐵皮卷成一個圓柱形鐵筒,如何制作可使鐵筒的體積最大?
解:①若以矩形的長為圓柱的母線l,則l=4 m,此時圓柱底面周長為2 m,
變式訓練 1如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中截去三棱錐D-A1B1C1,若AB⊥AC,AB=4 cm,AC=3 cm,AA1=5 cm,BD=2 cm,則剩余部分的體積為　　　　　cm3.?
(2)如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,過頂點B,D,A1截下一個三棱錐,求剩余部分的體積.
(1)答案:A解析:作圓錐的軸截面(如圖所示).由題設,在△POB中,∠APB=90°,PA=PB.
變式訓練 2(1)將若干毫升水倒入底面半徑為2 cm的圓柱形器皿中,量得水面高度為6 cm,若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中,則水面高度為(　　)
答案:(1)B　(2)B
臺體的體積例3已知一個三棱臺上、下底面分別是邊長為 20 cm和30 cm的正三角形,側面是全等的等腰梯形,且側面面積等于上、下底面面積之和,求棱臺的高和體積.
解:如圖,在三棱臺ABC-A'B'C'中,O'、O分別為上、下底面的中心,D,D'分別是BC,B'C'的中點,
變式訓練 3已知圓臺的高為3,在軸截面中,母線AA1與底面圓直徑AB的夾角為60°,軸截面中的一條對角線垂直于腰,求圓臺的體積.
解:如圖所示,作軸截面A1ABB1,設圓臺的上、下底面半徑和母線長分別為r、R,l,高為h.作A1D⊥AB于點D,則A1D=3.
球的體積例4已知正四面體ABCD的外接球的體積為4 π,求正四面體的體積.
解:將正四面體ABCD置于正方體中.正四面體的外接球即為正方體的外接球(如圖所示),正方體的體對角線長即為球的直徑.設外接球的半徑為R,
變式訓練 4如果三個球的半徑之比是1∶2∶3,那么最大球的體積是其余兩個球的體積之和的(　　)A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍
邏輯推理、數(shù)學運算在求體積中的體現(xiàn)典例如圖所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為1,且AA1⊥底面ABC,則三棱錐B1-ABC1的體積為(　　)
方法點睛邏輯推理、數(shù)學運算是解決數(shù)學問題的基本素養(yǎng),它將新的問題轉化為已知問題,復雜問題轉化為簡單問題,最終將不易解決的問題轉化為已解決的問題.如若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出,則常用等積法、分割法、補形法等方法進行轉化求解.
1.(2020四川廣元川師大萬達中學高二期中)體積為8的正方體的頂點都在同一球面上,則該球面的表面積為(　　)
2.在棱長為1的正方體上,分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方體,則截去8個三棱錐后,剩下的凸多面體的體積是(　　)
3.若圓錐的側面展開圖為一個半徑為2的半圓,則圓錐的體積是　　　　　.?
4.正四棱臺的斜高與上、下底面邊長之比為5∶2∶8,體積為14 cm3,則該棱臺的高為　　　　　.?
解析:如圖所示,設正四棱臺AC'的上底面邊長為2a cm,則斜高EE',下底面邊長分別為5a cm,8a cm.
5.如圖所示,四棱錐的底面ABCD是一個矩形,AC與BD交于點M,VM是四棱錐的高.若VM=4 cm,AB=4 cm,VC=5 cm,求四棱錐的體積.