專題一　共點(diǎn)、共線、共面問題?例1如圖所示,在空間四邊形ABCD中,E,F分別為AB,AD的中點(diǎn),G,H分別在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2,求證:
(1)E,F,G,H四點(diǎn)共面;(2)EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上.
證明:(1)因?yàn)锽G∶GC=DH∶HC,所以GH∥BD.又因?yàn)镋,F分別為AB,AD的中點(diǎn),所以EF∥BD.所以EF∥GH.所以E,F,G,H四點(diǎn)共面.(2)因?yàn)镚,H不是BC,CD的中點(diǎn),所以EF∥GH,且EF≠GH.所以EG與FH必相交,設(shè)交點(diǎn)為M.而EG?平面ABC,HF?平面ACD,所以點(diǎn)M∈平面ABC,且點(diǎn)M∈平面ACD.因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ACD=AC,所以點(diǎn)M∈AC,即EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上.
專題二　空間中的平行關(guān)系?例2如圖所示,四邊形ABCD是平行四邊形,PB⊥平面ABCD,MA∥PB,PB=2MA.在線段PB上是否存在一點(diǎn)F,使平面AFC∥平面PMD?若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)F的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.
解:當(dāng)點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)時(shí),平面AFC∥平面PMD.證明如下:如圖連接BD和AC交于點(diǎn)O,連接FO,則PF= PB.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴O是BD的中點(diǎn).∴OF∥PD.又OF?平面PMD,PD?平面PMD,∴OF∥平面PMD.
∴四邊形AFPM是平行四邊形.∴AF∥PM.又AF?平面PMD,PM?平面PMD.∴AF∥平面PMD.又AF∩OF=F,AF?平面AFC,OF?平面AFC.∴平面AFC∥平面PMD.
專題三　空間中的垂直關(guān)系?例3如圖,斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形,∠ACB=90°,點(diǎn)B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中點(diǎn),且BC=CA=AA1.(1)求證:平面ACC1A1⊥平面B1C1CB;(2)求證:BC1⊥AB1.
證明:(1)設(shè)BC的中點(diǎn)為M,連接B1M.∵點(diǎn)B1在底面ABC上的射影恰好是點(diǎn)M,∴B1M⊥平面ABC.∵AC?平面ABC,∴B1M⊥AC.又∵BC⊥AC,B1M∩BC=M,∴AC⊥平面B1C1CB.又∵AC?平面ACC1A1,∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.
(2)連接B1C.∵AC⊥平面B1C1CB,∴AC⊥BC1.在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∵BC=CC1.∴四邊形B1C1CB是菱形,∴B1C⊥BC1.又∵B1C∩AC=C,∴BC1⊥平面ACB1,∴BC1⊥AB1.
專題四　空間角的計(jì)算?例4如圖,在Rt△AOB中,∠OAB=30°,斜邊AB=4,Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到,且二面角B-AO-C是直二面角,動(dòng)點(diǎn)D在斜邊AB上.(1)求證:平面COD⊥平面AOB;(2)當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí),求異面直線AO與CD所成角的正切值;(3)求CD與平面AOB所成角的正切值的最大值.
(1)證明:由題意,CO⊥AO,BO⊥AO,∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角,又∵二面角B-AO-C是直二面角.∴CO⊥BO.又∵AO∩BO=O,∴CO⊥平面AOB.又CO?平面COD,∴平面COD⊥平面AOB.
(2)解:作DE⊥OB,垂足為點(diǎn)E,連接CE(如圖),則DE∥AO.∴∠CDE是異面直線AO與CD所成的角.
(3)解:由(1)知,CO⊥平面AOB,∴∠CDO是CD與平面AOB所成的角,
例5在《九章算術(shù)》中,將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖,在陽馬P-ABCD中,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,過棱PC的中點(diǎn)E,作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F,連接DE,DF,BD,BE.
(1)證明:PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是不是鱉臑,若是,寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,說明理由.
解:(1)因?yàn)镻D⊥底面ABCD,所以PD⊥BC,由底面ABCD為長(zhǎng)方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD.而DE?平面PCD,所以BC⊥DE.又因?yàn)镻D=CD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),所以DE⊥PC.而PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.而PB?平面PBC,所以PB⊥DE.又PB⊥EF,DE∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.又DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形,即四面體BDEF是一個(gè)鱉臑,其四個(gè)面的直角分別為∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.
(2)如圖,在平面PBC內(nèi),延長(zhǎng)BC與FE交于點(diǎn)G,則DG是平面DEF與平面ABCD的交線.由(1)知,PB⊥平面DEF,所以PB⊥DG.又因?yàn)镻D⊥底面ABCD,所以PD⊥DG.而PD∩PB=P,所以DG⊥平面PBD.故∠BDF是平面DEF與平面ABCD所成二面角的平面角,設(shè)
專題五　邏輯推理的核心素養(yǎng)?例6如圖所示,AB為☉O的直徑,C為☉O上一點(diǎn),AD⊥平面ABC,AE⊥BD于點(diǎn)E,AF⊥CD于點(diǎn)F.求證:BD⊥平面AEF.
證明:∵AB為☉O直徑,C為☉O上一點(diǎn),∴BC⊥AC,
?BD⊥平面AEF.
專題六　函數(shù)與方程思想?例7如圖所示,正方形ABCD,ABEF的邊長(zhǎng)都是1,而且平面ABCD與平面ABEF互相垂直,點(diǎn)M在AC上移動(dòng),點(diǎn)N在BF上移動(dòng),若CM=BN=a(0

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