高三百校聯(lián)合調(diào)研測試（一）數(shù)學試題 本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.選修測試歷史的而考生僅需做第I卷，共160分，考試用時120分鐘.選修測物理的考生需做第I卷和第II卷，共200分考試用時150分鐘.第I卷（必做題  共160分）一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.把答案填在題中橫線上。1．已知集合,,則      ．2．復數(shù)(i是虛數(shù)單位)是純虛數(shù),則實數(shù)的值為           ．3．一個社會調(diào)查機構就某地居民的月收入調(diào)查了10 000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）．為了分析居民的收入與年齡、學歷、職業(yè)等方面的關系，要從這10 000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進一步調(diào)查，則在［2500，3000）（元）月收入段應抽出      人．4．某算法的偽代碼如圖所示,若輸出y的值為1,則輸入的值為       ．5．已知雙曲線的右焦點為，則該雙曲線的漸近線方程為________.6．已知，則________.7.已知正三棱柱底面邊長是2，，外接球的表面積是，則該三棱柱的側棱長       ．8. 在R上定義運算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，則不等式x⊙(x－2)＜0的解集是            ．9．投擲一枚正方體骰子(六個面上分別標有1,2,3,4,5,6),向上的面上的數(shù)字記為,又表示集合的元素個數(shù),,則的概率為    10．函數(shù)的所有零點之和為         ．11．如圖，是半徑為1的圓的直徑，△ABC是邊長為1的正三角形，則的最大值為          ．12. 已知數(shù)列的首項，其前和為，且滿足．若對任意的，恒成立，則的取值范圍是          ．13. 已知圓，點在直線上，若過點存在直線與圓交于、兩點，且點為的中點，則點橫坐標的取值范圍是         ．14．記實數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.已知實數(shù)且三數(shù)能構成三角形的三邊長，若，則的取值范圍是           ．二、解答題：本大題共6小題，共90分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15. (本小題滿分14分)已知，，其中，函數(shù)的最小正周期為.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在中，角，，的對邊分別為，，．且，，求角、、的大小．16．(本小題滿分14分)如圖，在三棱錐中，，，分別是，的中點．求證：（1）∥平面；（2）平面⊥平面．  17. (本小題滿分14分)某音樂噴泉噴射的水珠呈拋物線形，它在每分鐘內(nèi)隨時間（秒）的變化規(guī)律大致可用（為時間參數(shù)，的單位：）來描述，其中地面可作為軸所在平面，泉眼為坐標原點，垂直于地面的直線為軸。（1）試求此噴泉噴射的圓形范圍的半徑最大值；（2）若在一建筑物前計劃修建一個矩形花壇并在花壇內(nèi)裝置兩個這樣的噴泉，則如何設計花壇的尺寸和兩個噴水器的位置，才能使花壇的面積最大且能全部噴到水？18. (本小題滿分16分)如圖，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點為圓心作圓：，設圓與橢圓交于點與點．（1）求橢圓的方程；（2）求的最小值，并求此時圓的方程；  （3）設點是橢圓上異于,的任意一點，且直線分別與軸交于點，為坐標原點，求證：為定值． 19. (本小題滿分16分)已知數(shù)列滿足下列條件：①首項；②當時，；③當時，（I）當，求首項之值；（II）當時，求；（III）試證：正整數(shù)3必為數(shù)列中的某一項；20. (本小題滿分16分) 已知函數(shù)()，其圖像在處的切線方程為．函數(shù)，．(Ⅰ)求實數(shù)、的值；（Ⅱ）以函數(shù)圖像上一點為圓心，2為半徑作圓，若圓上存在兩個不同的點到原點的距離為1，求的取值范圍；（Ⅲ）求最大的正整數(shù)，對于任意的，存在實數(shù)、滿足，使得．  第Ⅱ卷（附加題  共40分）21.【選做題】在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A．選修4—1　幾何證明選講如圖，已知⊙O的半徑為1，MN是⊙O的直徑，過M點作⊙O的切線AM，C是AM的中點，AN交⊙O于B點，若四邊形BCON是平行四邊形.求AM的長；解析：連接，則，因為四邊形是平行四邊形，所以∥，因為是⊙O的切線，所以，可得，又因為是的中點，所以，得，故.                    B．選修4—2　矩陣與變換已知二階矩陣M有特征值及對應的一個特征向量，并且矩陣M對應的變換將點變換成，求矩陣M。解析：設矩陣，則由條件得，從而，又，從而，聯(lián)立，解之得,故 C．選修4—4　參數(shù)方程與極坐標已知曲線的極坐標方程是，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）．設直線與軸的交點是,是曲線上一動點,求的最大值.解析：曲線的直角坐標方程為，故圓的圓心坐標為(0,1)，半徑直線l的直角坐標方程, 令,得,即點的坐標為(2,0). 從而,所以.即的最大值為。 D．選修4—5　不等式證明選講已知，且，求的最小值．解析：, , ,   ，  當且僅當，或時      的最小值是1.     22．(本小題滿分10分)如圖，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直線與直線所成的角為60°.(Ⅰ)求二面角的的余弦值；（Ⅱ）求點到面的距離.  (Ⅰ)∵∴．在平面內(nèi)，過作，建立空間直角坐標系（如圖）由題意有，設，則由直線與直線所成的解為，得，即，解得∴，設平面的一個法向量為，則，取，得，平面的法向量取為設與所成的角為，則．顯然，二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為．………………5分（Ⅱ），，，，．設平面的一個法向量，則，取，得，則點到平面的距離．………………10分23．(本小題滿分10分)已知二項式的展開式中第2項為常數(shù)項，其中，且展開式按的降冪排列．(Ⅰ)求及的值．(Ⅱ)數(shù)列中，，，，求證： 能被4整除．  數(shù)學試卷一參考答案及評分標準：1．答案：,解析：，所以.2．答案：4  解析：因原式=，故，3．答案：25   解析：從頻率分布直方圖可知， 月收入從1000至4000的人數(shù)依次是1000、2000、2500、2500、1500、500，從而所求人數(shù)是。4．答案：-1或2014解析：根據(jù)題意可知，當時，由得當時，由得，綜上所述，輸入的值為-1或2014。5．答案： ，解析：由條件得，，從而雙曲線方程為，故漸近線方程為。6．答案：    解析：由條件得，從而7．答案： 解析該三棱柱外接球的表面積是，該球的半徑R=2,又正三棱柱底面邊長是2，底面三角形的外接圓半徑，該三棱柱的側棱長是.8．答案：     解析：由定義可知，原不等式可化為，解之得。9．答案：   解析：由知,函數(shù)和的圖像有四個交點,所以的最小值, ,所以的取值是.又因為的取值可能是種,故概率是。10．答案：8解析：設，則，原函數(shù)可化為，其中，因，故是奇函數(shù)，觀察函數(shù)與 在的圖象可知，共有4個不同的交點，故在時有8個不同的交點，其橫坐標之和為0，即，從而11．答案： 解析：由圖可知，，從而，記，則故當時，的最大值為。12．答案：解析：由條件得，兩式相減得，故，兩式再相減得，由得， ，從而；得，，從而，由條件得，解之得13．答案：解析：法一：數(shù)形結合法：設，由題意可得，即，解之得．法二：設點，，則由條件得A點坐標為，，從而，整理得，化歸為，從而，于是由得。14．答案：解析：顯然，又，①當時，，作出可行區(qū)域，因拋物線與直線及在第一象限內(nèi)的交點分別是（1，1）和，從而②當時，，作出可行區(qū)域，因拋物線與直線及在第一象限內(nèi)的交點分別是（1，1）和，從而綜上所述，的取值范圍是。15．解：(1)，，故，                                                  ………………3分，由，得：.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．         ………………6分 (2)因為，所以． 因為，所以．所以．      ………………9分因為，，所以.             ………………12分因為，所以，，.                 ………………14分16．證明：⑴在中，因為分別是的中點，所以∥，              ………………3分又?平面，平面，所以∥平面；      ………………6分⑵ 因為，且點是的中點，所以⊥；  ………………9分又，∥，所以，               ………………12分因為?平面，?平面，，?平面，所以平面⊥平面.                           ………………14分17．解析：（1）當時，，     ………………3分因時，，故，從而當，即當時，有最小值5，所以此噴泉噴射的圓形范圍的半徑最大值是；……7分（2）設花壇的長、寬分別為xm，ym，根據(jù)要求，矩形花壇應在噴水區(qū)域內(nèi)，頂點應恰好位于噴水區(qū)域的邊界，依題意得：，（）問題轉化為在，的條件下，求的最大值。…………10分法一：，由和及得：                           ………………13分法二：∵，，=∴當，即，，由可解得：。                                           ………………13分答：花壇的長為，寬為，兩噴水器位于矩形分成的兩個正方形的中心，符合要求。                                               ………………14分18.：（1）依題意，得，，；故橢圓的方程為 ．  ………………3分（2）點與點關于軸對稱，設，， 不妨設．由于點在橢圓上，所以．     （*）   由已知，則，，．     ………………7分由于，故當時，取得最小值為．由（*）式，，故，又點在圓上，代入圓的方程得到．   故圓的方程為：                    ………………9分(3) 方法一：設，則直線的方程為：，令，得，                     ………………11分同理：，  故      （**）            ………………13分又點與點在橢圓上，故，，代入（**）式，得：  ．所以為定值．             ………………16分解析：（1）依題意，得，，；故橢圓的方程為 ．  ………………3分（2）點與點關于軸對稱，設，， 不妨設．由于點在橢圓上，所以．     （*）   由已知，則，，．     ………………7分由于，故當時，取得最小值為．由（*）式，，故，又點在圓上，代入圓的方程得到．   故圓的方程為：                    ………………9分(3) 方法一：設，則直線的方程為：，令，得，                     ………………11分同理：，  故      （**）            ………………13分又點與點在橢圓上，故，，代入（**）式，得：  ．所以為定值．             ………………16分解析：（I）當時，則，此時，若，則；若，則或8，綜上所述，之值為6或8或27。                       ………………4分（II）當時，，，，，以下出現(xiàn)周期為3的數(shù)列，從而；        ………8分（III）由條件知：若，則，； 若，則，；                                     若，則，；                             ………………13分綜上所述，，從而，故當時，必有，因，故，所以數(shù)列中必存在某一項（否則會與上述結論矛盾?。?/span>若,則；若,則,若,則,綜上所述，正整數(shù)3必為數(shù)列中的某一項。              ………………16分19.解析：（I）當時，則，此時，若，則；若，則或8，綜上所述，之值為6或8或27。                       ………………4分（II）當時，，，，，以下出現(xiàn)周期為3的數(shù)列，從而；        ………8分（III）由條件知：若，則，； 若，則，；                                     若，則，；                             ………………13分綜上所述，，從而，故當時，必有，因，故，所以數(shù)列中必存在某一項（否則會與上述結論矛盾?。?/span>若,則；若,則,若,則,綜上所述，正整數(shù)3必為數(shù)列中的某一項。              ………………16分20．解: (Ⅰ) 當時，，，故，解得．…………3分（Ⅱ）問題即為圓與以為圓心1為半徑的圓有兩個交點，即兩圓相交．設，則，即，，，必定有解；                                      ………………6分，，故有解，須，又，從而．   ………………8分（Ⅲ）顯然在區(qū)間上為減函數(shù)，于是，若，則對任意，有．當時，，令，則．令，則，故在上為增函數(shù)，又，，因此存在唯一正實數(shù)，使．故當時，，為減函數(shù)；當時，，為增函數(shù)，因此在有最小值，又，化簡得，．                                               ………………13分下面證明：當時，對，有．當時，．令，則，故在上為減函數(shù)，于是．同時，當時，．當時，；當時，．結合函數(shù)的圖像可知，對任意的正數(shù)，存在實數(shù)、滿足，使得．綜上所述，正整數(shù)的最大值為3．                     ………………16分 21. A．選修4—1　幾何證明選講解析：連接，則，因為四邊形是平行四邊形，所以∥，因為是⊙O的切線，所以，可得，又因為是的中點，所以，得，故.                    B．選修4—2　矩陣與變換解析：設矩陣，則由條件得，從而，又，從而，聯(lián)立，解之得,故C．選修4—4　參數(shù)方程與極坐標解析：曲線的直角坐標方程為，故圓的圓心坐標為(0,1)，半徑直線l的直角坐標方程, 令,得,即點的坐標為(2,0). 從而,所以.即的最大值為。 D．選修4—5　不等式證明選講解析：, , ,   ，  當且僅當，或時      的最小值是1.     22．(Ⅰ)∵∴．在平面內(nèi)，過作，建立空間直角坐標系（如圖）由題意有，設，則由直線與直線所成的解為，得，即，解得∴，設平面的一個法向量為，則，取，得，平面的法向量取為設與所成的角為，則．顯然，二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為．………………5分（Ⅱ），，，，．設平面的一個法向量，則，取，得，則點到平面的距離．………………10分23．解：(Ⅰ) ，                 ………………2分故，，．                         ………………4分(Ⅱ)證明：①當時，，，能被4整除．②假設當n=k時， 能被4整除，即，其中p是非負整數(shù)．那么當n =k+1時，===顯然是非負整數(shù)，能被4整除．由①、②可知，命題對一切都成立．              ………………10分   

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