2021-2022學(xué)年度東北育才學(xué)校高中部高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)科試卷答題時(shí)間：120分鐘 滿分：150分  命題人：高三數(shù)學(xué)組  校對(duì)人：高三數(shù)學(xué)組I客觀卷一、單選題（共8小題，每題5分，共40分。每個(gè)題目四個(gè)選項(xiàng)中有且只有一個(gè)是正確答案。）1．已知全集，，，則（       ）A． B． C． D．2．18世紀(jì)末期，挪威測(cè)量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運(yùn)算具有了幾何意義．例如，，即復(fù)數(shù)的模的幾何意義為在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則與之間的最小距離為（       ）A．3 B．4 C．5 D．63．某大學(xué)有兩家餐廳，某同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐，如果第一天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率是；如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率是；則該同學(xué)第2天去餐廳用餐的概率是（       ）A． B． C． D．4．如圖，已知兩個(gè)單位向量，，且它們的夾角為，點(diǎn)C在以O為圓心，1為半徑的上運(yùn)動(dòng)，則·的最小值為（       ）A．           B．0               C． D．－5. 設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（    ）A.  B.  C.  D. 6．已知圓C的半徑為，其圓心C在直線上，圓C上的動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離的最大值為，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（       ）A． B．C． D．7.已知實(shí)數(shù)?滿足，有結(jié)論：①存在，，使得取到最大值；②存在，，使得取到最小值；正確的判斷是（       ）A．①成立，②成立 B．①不成立，②不成立C．①成立，②不成立 D．①不成立，②成立8.已知，，，則，，的大小關(guān)系是（       ）A．          B．         C．           D．二、多選題（共4小題，每題5分，共20分。多選不得分，漏選得2分。）9．已知函數(shù)，設(shè)，則成立的一個(gè)充分條件是（     ）A．          B．         C．        D．10.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，P為雙曲線的左支上一點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于3，則下列說法正確的是（       ）A．雙曲線的離心率為2                  B．若，且，則C．以線段，為直徑的兩個(gè)圓外切    D．若點(diǎn)P在第二象限，則11．若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其定義域上的任意實(shí)數(shù)都滿足和恒成立，則稱直線為和的“隔離直線”，已知函數(shù)，，，下列命題正確的是（       ）A．與有“隔離直線”B．和之間存在“隔離直線”，且的取值范圍為C．和之間存在“隔離直線”，且的取值范圍是D．和之間存在唯一的“隔離直線”12.在圓錐中，是母線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，底面圓的半徑為，圓錐的側(cè)面積為，則（       ）A．當(dāng)時(shí)，從點(diǎn)到點(diǎn)繞圓錐側(cè)面一周的最小長(zhǎng)度為B．當(dāng)時(shí)，過頂點(diǎn)和兩母線的截面三角形的最大面積為C．當(dāng)時(shí)，圓錐的外接球表面積為D．當(dāng)時(shí)，棱長(zhǎng)為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)II主觀卷三、填空題（共4小題，每題5分，共20分。）13．若的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為32，則該展開式中的系數(shù)是______.14.對(duì)一個(gè)物理量做次測(cè)量，并以測(cè)量結(jié)果的平均值作為該物理量的最后結(jié)果．已知最后結(jié)果的誤差，為使誤差在的概率不小于0.9545，至少要測(cè)量_____次（若，則）．15．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過弦AB的中點(diǎn)M作E的準(zhǔn)線的垂線，與拋物線E交于點(diǎn)P，若，則______．16．1643年法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出了一個(gè)著名的幾何問題：已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其到這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為最小.它的答案是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心（即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線段兩兩成角120°），該點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).已知中，其中，，P為費(fèi)馬點(diǎn)，則的取值范圍是__________.四、解答題（共6小題，共70分。其中第17題10分，第18題至第22題每題12分。）17.如圖所示，遙感衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)海面上有三個(gè)小島，小島 B位于小島A 北偏東距離60海里處，小島B北偏東距離海里處有一個(gè)小島 C.(1)求小島A到小島C的距離；(2)如果有游客想直接從小島A出發(fā)到小島 C，求游船航行的方向.  18.如圖，直三棱柱中，，、、分別是、、的中點(diǎn). (1)求證：；(2)若，求二面角的余弦值.       19.我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家楊輝，在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中，用如圖的三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律．此圖稱為“楊輝三角”，也稱為“賈憲三角”．在此圖中，從第三行開始，首尾兩數(shù)為，其他各數(shù)均為它肩上兩數(shù)之和．（1）把“楊輝三角”中第三斜列各數(shù)取出按原來的順序排列得一數(shù)列：，，，，，…，寫出與的遞推關(guān)系，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．      20.2021年春節(jié)前，受疫情影響，各地鼓勵(lì)外來務(wù)工人員選擇就地過年.某市統(tǒng)計(jì)了該市4個(gè)地區(qū)的外來務(wù)工人數(shù)與就地過年人數(shù)（單位：萬(wàn)），得到如下表格： A區(qū)B區(qū)C區(qū)D區(qū)外來務(wù)工人數(shù)x/萬(wàn)3456就地過年人數(shù)y/萬(wàn)2.5344.5 (1)請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說明y與x之間的關(guān)系可用線性回歸模型擬合，并求關(guān)于的線性回歸方程.(2)假設(shè)該市政府對(duì)外來務(wù)工人員中選擇就地過年的每人發(fā)放1000元補(bǔ)貼.（i）若該市E區(qū)有2萬(wàn)名外來務(wù)工人員，根據(jù)（1）的結(jié)論估計(jì)該市政府需要給E區(qū)就地過年的人員發(fā)放的補(bǔ)貼總金額；（ii）若A區(qū)的外來務(wù)工人員中甲?乙選擇就地過年的概率分別為，，該市政府對(duì)甲?乙兩人的補(bǔ)貼總金額的期望不超過1500元，求的取值范圍.參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，,.      21．已知函數(shù)，．（Ⅰ）若在內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，，證明：．      22.已知橢圓的離心率為，橢圓經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，射線與橢圓交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與橢圓交于兩個(gè)相異點(diǎn)，證明：面積為定值. 
 

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