?2021年湖南省常德市安鄉(xiāng)縣中考數(shù)學一模試卷
一.選擇題（共8小題，每小題3分，共24分）（下列各題中均有四個備選答案，其中有且只有一個正確，請將正確答案的選項涂在答題卡上）
1．（3分）“瓦當”是中國古建筑裝飾檐頭的附件，是中國特有的文化藝術遺產，下面“瓦當”圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
2．（3分）下列等式成立的是（　?。?br /> A．2a3?3a2＝6a5 B．a8+a4＝a2（a≠0）
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣a2）3＝a6
3．（3分）實數(shù)a、b、c、d在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，在這四個數(shù)中，絕對值最小的數(shù)是（　?。?br />
A．a B．b C．c D．d
4．（3分）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關系，它的圖象如圖所示．則用電阻R表示電流I的函數(shù)表達式為（　?。?br />
A． B． C． D．
5．（3分）測試五位學生的“1000米”跑成績，得到五個各不相同的數(shù)據(jù)，在統(tǒng)計時，出現(xiàn)了一處錯誤：將跑的最快一名學生成績寫得更快了，則計算結果不受影響的是（　?。?br /> A．總成績 B．方差 C．中位數(shù) D．平均數(shù)
6．（3分）一元二次方程kx2﹣6x+3＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（　　）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
7．（3分）攔水壩橫斷面如圖所示，迎水坡AB的坡比是1：，壩高BC＝10m，則坡面AB的長度是（　?。?br />
A．15m B．20m C．10m D．20m
8．（3分）如圖1，點P從△ABC的頂點A出發(fā)，沿A﹣B﹣C勻速運動，到點C停止運動．點P運動時，線段AP的長度y與運動時間x的函數(shù)關系如圖2所示，其中D為曲線部分的最低點，則△ABC的面積是（　?。?br />
A．10 B．12 C．20 D．24
二、填空題（本題共8個小題，每小題3分，共24分）
9．（3分）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是　 ?。?br /> 10．（3分）﹣27的立方根是　 ?。?br /> 11．（3分）在國家“一帶一路”戰(zhàn)略下，我國與歐洲開通了互利互惠的中歐班列，行程最長，途經城市和國家最多的一趟專列全程長13000000m，將13000000用科學記數(shù)法表示應為　 　．
12．（3分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若∠ABC＝35°，則∠AOC的度數(shù)為　 　．

13．（3分）從0，π，，3.14159這4個數(shù)中選一個數(shù)，選出的這個數(shù)是無理數(shù)的概率為　 ?。?br /> 14．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AF交BC于E，交DC的延長線于F，且CF＝1，則CE的長為　 　．

15．（3分）某校初一年級68名師生參加社會實踐活動，計劃租車前往，租車收費標準如下：
車型
大巴車
（最多可坐55人）
中巴車
（最多可坐39人）
小巴車
（最多可坐26人）
每車租金
（元∕天）
900
800
550
則租車一天的最低費用為　 　元．
16．（3分）觀察下列等式：
第1層1+2＝3
第2層4+5+6＝7+8
第3層9+10+11+12＝13+14+15
第4層16+17+18+19+20＝21+22+23+24
……
在上述數(shù)字寶塔中，從上往下數(shù)，2021在第　 　層．
三．解答題（本題共72分，解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程）.
17．（5分）計算：|1﹣|﹣（）﹣1﹣+tan260°．
18．（5分）解不等式組：．
19．（6分）先化簡再求值：（1﹣）÷（﹣2），其中x＝+1．
20．（6分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點A（﹣2，﹣5）C（5，n），交y軸于點B，交x軸于點D．
（1）求反比例函數(shù)y＝和一次函數(shù)y＝kx+b的表達式；
（2）連接OA，OC．求△AOC的面積．

21．（7分）某日，正在我國南海海域作業(yè)的一艘大型漁船突然發(fā)生險情，相關部門接到求救信號后，立即調遣一架直升飛機和一艘剛在南海巡航的漁政船前往救援．當飛機到達距離海面3000米的高空C處，測得A處漁政船的俯角為60°，測得B處發(fā)生險情漁船的俯角為30°，請問：此時漁政船和漁船相距多遠？（結果保留根號）

22．（7分）現(xiàn)有三張大小、形狀完全一樣的撲克牌，正面分別標有數(shù)字2，3，5．甲、乙二人做摸牌游戲，將三張撲克牌洗勻后背面朝上放在桌子上，甲從中隨機抽取一張牌，記錄數(shù)字后放回洗勻，乙再隨機抽取一張．
（1）請用列表法或畫樹狀圖的方法，求二人抽取相同數(shù)字的概率．
（2）若二人抽取的數(shù)字和為2的倍數(shù)，則甲獲勝，若抽取的數(shù)字和為5的倍數(shù)，則乙獲勝，這個游戲公平嗎？請用概率的知識加以解釋．
23．（8分）機械加工需用油進行潤滑以減小摩擦，某企業(yè)加工一臺大型機械設備潤滑用油量為90千克，用油的重復利用率為60%，按此計算，加工一臺大型機械設備的實際耗油量為36千克．為了建設節(jié)約型社會，減少油耗，該企業(yè)的甲乙兩個車間都組織了人員為減少實際油耗量進行攻關．
（1）甲車間通過技術革新后，加工一臺大型機械設備潤滑用油量下降到70千克，用油的重復利用率仍為60%，問甲車間技術革新后，加工一臺大型機械設備的實際耗油量是多少千克？
（2）乙車間通過技術革新后，不僅降低了潤滑用油量，同時也提高了重復利用率，并且發(fā)現(xiàn)在技術革新前的基礎上，潤滑用油量每減少1千克，用油的重復利用率將增加1.6%，這樣乙車間加工一臺大型機械設備的實際耗油量下降到12千克．問乙車間技術革新后，加工一臺大型機械設備的潤滑用油量是多少千克？用油的重復利用率是多少？
24．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，直線MN經過點C，過點A作直
線MN的垂線，垂足為點D，且AC平分∠BAD．
（1）求證：直線MN是⊙O的切線；
（2）若CD＝3，AC＝5，求⊙O的直徑．

25．（10分）如圖，拋物線y＝ax2+2x+c（a＜0）與x軸交于點A和點B（點A在原點的左側，點B在原點的右側），與y軸交于點C，OB＝OC＝3．

（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；
（2）如圖1，連接BC，點D是直線BC上方拋物線上的點，連接OD，CD，OD交BC于點F，當S△COF：S△CDF＝3：2時，求點D的坐標．
（3）如圖2，點E的坐標為（0，），在拋物線上是否存在點P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，請直接寫出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
26．（10分）如圖，△ADE由△ABC繞點A按逆時針方向旋轉90°得到，且點B的對應點D恰好落在BC的延長線上，AD，EC相交于點P．
（1）求∠BDE的度數(shù)；
（2）F是EC延長線上的點，且∠CDF＝∠DAC．
①判斷DF和PF的數(shù)量關系，并證明；
②求證：＝．


2021年湖南省常德市安鄉(xiāng)縣中考數(shù)學一模試卷
參考答案與試題解析
一.選擇題（共8小題，每小題3分，共24分）（下列各題中均有四個備選答案，其中有且只有一個正確，請將正確答案的選項涂在答題卡上）
1．（3分）“瓦當”是中國古建筑裝飾檐頭的附件，是中國特有的文化藝術遺產，下面“瓦當”圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形；
B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形；
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；
D、是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．
故選：D．
2．（3分）下列等式成立的是（　?。?br /> A．2a3?3a2＝6a5 B．a8+a4＝a2（a≠0）
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣a2）3＝a6
【分析】分別利用單項式的乘法、合并同類項、積的乘方及完全平方公式進行計算即可判斷．
【解答】解：選項A：2a3?3a2＝2×3a3+2＝6a5，符合題意；
選項B：a8與a4不是同類項，不能進行合并，不符合題意；
選項C：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，不符合題意；
選項D：（﹣a2）3＝﹣a6，不符合題意．
故選：A．
3．（3分）實數(shù)a、b、c、d在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，在這四個數(shù)中，絕對值最小的數(shù)是（　?。?br />
A．a B．b C．c D．d
【分析】根據(jù)數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離的大小確定結論．
【解答】解：由圖可知：c到原點O的距離最短，
所以在這四個數(shù)中，絕對值最小的數(shù)是c；
故選：C．
4．（3分）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關系，它的圖象如圖所示．則用電阻R表示電流I的函數(shù)表達式為（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可用電阻R表示電流I的函數(shù)解析式為I＝，再把（2，3）代入可得k的值，進而可得函數(shù)解析式．
【解答】解：設用電阻R表示電流I的函數(shù)解析式為I＝，
∵過（2，3），
∴k＝3×2＝6，
∴I＝，
故選：D．
5．（3分）測試五位學生的“1000米”跑成績，得到五個各不相同的數(shù)據(jù)，在統(tǒng)計時，出現(xiàn)了一處錯誤：將跑的最快一名學生成績寫得更快了，則計算結果不受影響的是（　?。?br /> A．總成績 B．方差 C．中位數(shù) D．平均數(shù)
【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義解答可得．
【解答】解：因為中位數(shù)是將數(shù)據(jù)按照大小順序重新排列，代表了這組數(shù)據(jù)值大小的“中點”，不受極端值影響，
所以將最高成績寫得更高了，計算結果不受影響的是中位數(shù)．
故選：C．
6．（3分）一元二次方程kx2﹣6x+3＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（　?。?br /> A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
【分析】根據(jù)判別式即可求出答案．
【解答】解：由題意可知：36﹣12k＞0且k≠0，
∴k≠0且k＜3，
故選：B．
7．（3分）攔水壩橫斷面如圖所示，迎水坡AB的坡比是1：，壩高BC＝10m，則坡面AB的長度是（　?。?br />
A．15m B．20m C．10m D．20m
【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及鉛直高度BC的值，通過解直角三角形即可求出斜面AB的長．
【解答】解：Rt△ABC中，BC＝10m，tanA＝1：；
∴AC＝BC÷tanA＝10m，
∴AB＝＝20m．
故選：D．
8．（3分）如圖1，點P從△ABC的頂點A出發(fā)，沿A﹣B﹣C勻速運動，到點C停止運動．點P運動時，線段AP的長度y與運動時間x的函數(shù)關系如圖2所示，其中D為曲線部分的最低點，則△ABC的面積是（　?。?br />
A．10 B．12 C．20 D．24
【分析】根據(jù)圖象可知點P在AB上運動時，此時AP不斷增大，而從B向C運動時，AP先變小后變大，從而可求出BC與BC上的高．
【解答】解：根據(jù)圖象可知，點P在AB上運動時，此時AP不斷增大，
由圖象可知：點P從A向B運動時，AP的最大值為5，即AB＝5，
點P從B向C運動時，AP的最小值為4，
即BC邊上的高為4，
∴當AP⊥BC，AP＝4，
此時，由勾股定理可知：BP＝3，
由于圖象的曲線部分是軸對稱圖形，
∴PC＝3，
∴BC＝6，
∴△ABC的面積為：×4×6＝12，
故選：B．

二、填空題（本題共8個小題，每小題3分，共24分）
9．（3分）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是　x≠0?。?br /> 【分析】根據(jù)分式有意義的條件求出x的取值范圍即可．
【解答】解：依題意得：x≠0．
故答案是：x≠0．
10．（3分）﹣27的立方根是　﹣3?。?br /> 【分析】根據(jù)立方根的定義求解即可．
【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，
∴＝﹣3
故答案為：﹣3．
11．（3分）在國家“一帶一路”戰(zhàn)略下，我國與歐洲開通了互利互惠的中歐班列，行程最長，途經城市和國家最多的一趟專列全程長13000000m，將13000000用科學記數(shù)法表示應為　1.3×107?。?br /> 【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負整數(shù)．
【解答】解：13000000＝1.3×107．
故答案為：1.3×107．
12．（3分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若∠ABC＝35°，則∠AOC的度數(shù)為　70°?。?br />
【分析】由⊙O是△ABC的外接圓，若∠ABC＝35°，根據(jù)圓周角定理，即可求得答案．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝35°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝70°．
故答案為：70°．
13．（3分）從0，π，，3.14159這4個數(shù)中選一個數(shù)，選出的這個數(shù)是無理數(shù)的概率為　?。?br /> 【分析】根據(jù)概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．
【解答】解：∵0，π，，3.14159這4個數(shù)中無理數(shù)有π，共2個，
∴這4個數(shù)中選一個數(shù)，選出的這個數(shù)是無理數(shù)的概率為，
故答案為：．
14．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AF交BC于E，交DC的延長線于F，且CF＝1，則CE的長為　?。?br />
【分析】由兩線段平行，同位角相等，即可證出三角形相似，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，結合已有的量即可解決本題．
【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB＝CD＝3，BC∥AD，
∵E為BC上一點，
∴CE∥AD，∠FEC＝∠FAD，∠FCE＝∠D，
∴△FCE∽△FDA，
∴＝＝，
又∵CD＝3，CF＝1，AD＝4，
∴CE＝，
故答案為：．
15．（3分）某校初一年級68名師生參加社會實踐活動，計劃租車前往，租車收費標準如下：
車型
大巴車
（最多可坐55人）
中巴車
（最多可坐39人）
小巴車
（最多可坐26人）
每車租金
（元∕天）
900
800
550
則租車一天的最低費用為　1450　元．
【分析】將68名師生同時送到目的地，且花費是最少，只有優(yōu)化租車方案方可達到節(jié)約，從同款型和不同車型組合兩方面考慮求解．
【解答】解：依題意得：
租車費用最低的前題條件是將68名師生同時送到目的地，其方案如下：
①全部一種車型：
小巴車26座最少3輛，其費用為：3×550＝1650元，
中巴車39座最少2輛，其費用為：2×800＝1600元，
大巴車55座最少2輛，其費用為：2×900＝1800元
∵1600＜1650＜1800，
∴同種車型應選取中巴車2輛費用最少．
②搭配車型：
2輛26座小巴車和1輛39座中巴車，其費用為：550×2+800＝1900元，
1輛26座小巴車和1輛55座大巴車，其費用為：550+900＝1450元，
1輛39座中巴車和1輛55座大巴車，其費用為：800+900＝1700元，
∵1450＜1700＜1900，
∴搭配車型中1輛26座小巴車和1輛55座大巴車最少．
綜合①、②兩種情況，費用最少為1450元．
故答案為1450．
16．（3分）觀察下列等式：
第1層1+2＝3
第2層4+5+6＝7+8
第3層9+10+11+12＝13+14+15
第4層16+17+18+19+20＝21+22+23+24
……
在上述數(shù)字寶塔中，從上往下數(shù)，2021在第　44　層．
【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)每層第一個數(shù)的特點和每層的數(shù)的個數(shù)，然后即可得到2021在第多少層．
【解答】解：由題意可得，
第n層的第1個數(shù)是n2，第n層有2n+1個數(shù)，
∵442＝1936，452＝2025，
∴2021在44層，
故答案為：44．
三．解答題（本題共72分，解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程）.
17．（5分）計算：|1﹣|﹣（）﹣1﹣+tan260°．
【分析】直接利用負整數(shù)指數(shù)冪的性質以及二次根式的性質、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質分別化簡得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1﹣2﹣2+（）2
＝﹣1﹣2﹣2+3
＝﹣．
18．（5分）解不等式組：．
【分析】首先解每個不等式，兩個不等式的解集的公共部分就是不等式組的解集．
【解答】解：
由不等式①得x≤8．
由不等式②得x＞﹣1；
∴不等式組的解集為﹣1＜x≤8．
19．（6分）先化簡再求值：（1﹣）÷（﹣2），其中x＝+1．
【分析】根據(jù)分式的減法和除法可以化簡題目中的式子，然后將x的值代入化簡后的式子即可解答本題．
【解答】解：（1﹣）÷（﹣2）
＝
＝
＝
＝，
當x＝+1時，原式＝＝．
20．（6分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點A（﹣2，﹣5）C（5，n），交y軸于點B，交x軸于點D．
（1）求反比例函數(shù)y＝和一次函數(shù)y＝kx+b的表達式；
（2）連接OA，OC．求△AOC的面積．

【分析】（1）把A（﹣2，﹣5）代入y＝求得m的值，然后求得C的坐標，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式；
（2）首先求得C的坐標，根據(jù)S△AOC＝S△AOB+S△BOC即可求解．
【解答】解：（1）把A（﹣2，﹣5）代入y＝得：﹣5＝，
解得：m＝10，
則反比例函數(shù)的解析式是：y＝，
把x＝5代入，得：y＝＝2，
則C的坐標是（5，2）．
根據(jù)題意得：，
解得：，
則一次函數(shù)的解析式是：y＝x﹣3．
（2）在y＝x﹣3中，令x＝0，解得：y＝﹣3．
則B的坐標是（0，﹣3）．
∴OB＝3，
∵點A的橫坐標是﹣2，C的橫坐標是5．
∴S△AOC＝S△AOB+S△BOC＝OB×2×5+×OB×5＝×3×7＝．
21．（7分）某日，正在我國南海海域作業(yè)的一艘大型漁船突然發(fā)生險情，相關部門接到求救信號后，立即調遣一架直升飛機和一艘剛在南海巡航的漁政船前往救援．當飛機到達距離海面3000米的高空C處，測得A處漁政船的俯角為60°，測得B處發(fā)生險情漁船的俯角為30°，請問：此時漁政船和漁船相距多遠？（結果保留根號）

【分析】在Rt△CDB中求出BD，在Rt△CDA中求出AD，繼而可得AB，也即此時漁政船和漁船的距離．
【解答】解：在Rt△CDA中，∠ACD＝30°，CD＝3000米，
∴AD＝CDtan∠ACD＝1000米，
在Rt△CDB中，∠BCD＝60°，
∴BD＝CDtan∠BCD＝3000米，
∴AB＝BD﹣AD＝2000米．
答：此時漁政船和漁船相距2000米．
22．（7分）現(xiàn)有三張大小、形狀完全一樣的撲克牌，正面分別標有數(shù)字2，3，5．甲、乙二人做摸牌游戲，將三張撲克牌洗勻后背面朝上放在桌子上，甲從中隨機抽取一張牌，記錄數(shù)字后放回洗勻，乙再隨機抽取一張．
（1）請用列表法或畫樹狀圖的方法，求二人抽取相同數(shù)字的概率．
（2）若二人抽取的數(shù)字和為2的倍數(shù)，則甲獲勝，若抽取的數(shù)字和為5的倍數(shù)，則乙獲勝，這個游戲公平嗎？請用概率的知識加以解釋．
【分析】（1）根據(jù)列表法和概率的定義列式即可；
（2）根據(jù)概率的意義分別求出甲、乙獲勝的概率，從而得解．
【解答】解：（1）所有可能出現(xiàn)的結果如圖：

2
3
5
2
（2，2）
（3，2）
（5，2）
3
（2，3）
（3，3）
（5，3）
5
（2，5）
（3，5）
（5，5）
可以看出，總共有9種結果，每種結果出現(xiàn)的可能性相同，其中兩人抽取相同數(shù)字的結果有3種，
所以兩人抽取相同數(shù)字的概率為＝；
（2）不公平．
從表格可以看出，兩人抽取數(shù)字和為2的倍數(shù)有5種，兩人抽取數(shù)字和為5的倍數(shù)有3種，所以甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為．
∵＞，
∴甲獲勝的概率大，游戲不公平．
23．（8分）機械加工需用油進行潤滑以減小摩擦，某企業(yè)加工一臺大型機械設備潤滑用油量為90千克，用油的重復利用率為60%，按此計算，加工一臺大型機械設備的實際耗油量為36千克．為了建設節(jié)約型社會，減少油耗，該企業(yè)的甲乙兩個車間都組織了人員為減少實際油耗量進行攻關．
（1）甲車間通過技術革新后，加工一臺大型機械設備潤滑用油量下降到70千克，用油的重復利用率仍為60%，問甲車間技術革新后，加工一臺大型機械設備的實際耗油量是多少千克？
（2）乙車間通過技術革新后，不僅降低了潤滑用油量，同時也提高了重復利用率，并且發(fā)現(xiàn)在技術革新前的基礎上，潤滑用油量每減少1千克，用油的重復利用率將增加1.6%，這樣乙車間加工一臺大型機械設備的實際耗油量下降到12千克．問乙車間技術革新后，加工一臺大型機械設備的潤滑用油量是多少千克？用油的重復利用率是多少？
【分析】（1）根據(jù)題意可得70×（1﹣60%），計算即可求解；
（2）設乙車間加工一臺大型機械設備潤滑用油量為x千克，由“實際耗油量下降到12千克”列方程得x×[1﹣（90﹣x）×1.6%﹣60%]＝12，解方程求解即可．
【解答】解：（1）由題意，得70×（1﹣60%）＝70×40%＝28（千克）；

（2）設乙車間加工一臺大型機械設備潤滑用油量為x千克，
由題意，得x×[1﹣（90﹣x）×1.6%﹣60%]＝12，
整理，得x2﹣65x﹣750＝0
解得：x1＝75，x2＝﹣10（舍去），
（90﹣75）×1.6%+60%＝84%；
答：（1）技術革新后，甲車間加工一臺大型機械設備的實際耗油量是28千克．
（2）技術革新后，乙車間加工一臺大型機械設備潤滑用油量是75千克，用油的重復利用率是84%．
24．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，直線MN經過點C，過點A作直
線MN的垂線，垂足為點D，且AC平分∠BAD．
（1）求證：直線MN是⊙O的切線；
（2）若CD＝3，AC＝5，求⊙O的直徑．

【分析】（1）直接利用角平分線的性質結合等腰三角形的性質得出OC⊥MN，進而得出答案；
（2）證明△ADC∽△ACB，利用相似三角形的判定與性質得出AB的長．
【解答】（1）證明：連接OC，

∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥AD．
∵AD⊥MN，
∴OC⊥MN．
∵OC為半徑，
∴MN是⊙O切線．

（2）解：∵∠ADC＝90°，AC＝5，DC＝3，
∴AD＝＝＝4，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB，
又∵∠CAB＝∠DAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴，
解得：AB＝，
即⊙O的直徑長為．
25．（10分）如圖，拋物線y＝ax2+2x+c（a＜0）與x軸交于點A和點B（點A在原點的左側，點B在原點的右側），與y軸交于點C，OB＝OC＝3．

（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；
（2）如圖1，連接BC，點D是直線BC上方拋物線上的點，連接OD，CD，OD交BC于點F，當S△COF：S△CDF＝3：2時，求點D的坐標．
（3）如圖2，點E的坐標為（0，），在拋物線上是否存在點P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，請直接寫出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）c＝3，點B（3，0），將點B的坐標代入拋物線表達式：y＝ax2+2x+3并解得：a＝﹣1，即可求解；
（2）S△COF：S△CDF＝3：2，則OF：FD＝3：2，DH∥CO，故CO：DM＝3：2，則DM＝CO＝2，而DM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝2，即可求解；
（3）分點P在x軸上方、點P在x軸下方兩種情況，分別求解即可．
【解答】解：（1）c＝3，點B（3，0），
將點B的坐標代入拋物線表達式：y＝ax2+2x+3并解得：a＝﹣1，
故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+3…①；

（2）如圖1，過點D作DH⊥x軸于點H，交CB于點M，

S△COF：S△CDF＝3：2，則OF：FD＝3：2，
∵DH∥CO，故CO：DM＝3：2，則DM＝CO＝2，
由B、C的坐標得：直線BC的表達式為：y＝﹣x+3，
設點D（x，﹣x2+2x+3），則點M（x，﹣x+3），
DM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝2，
解得：x＝1或2，
故點D（1，4）或（2，3）；

（3）①當點P在x軸上方時，
取OG＝OE，連接BG，過點B作直線PB交拋物線于點P，交y軸于點M，使∠GBM＝∠GBO，
則∠OBP＝2∠OBE，過點G作GH⊥BM，
設MH＝x，則MG＝，
則△OBM中，OB2+OM2＝MB2，
即（+）2+9＝（x+3）2，解得：x＝2，
故MG＝＝，則點M（0，4），
將點B、M的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：
直線BM的表達式為：y＝﹣x+4…②，
聯(lián)立①②并解得：x＝3（舍去）或，
故點P（，）；
②當點P在x軸下方時，
同理可得：點P（﹣，﹣）；
綜上，點P的坐標（，）或（﹣，﹣）．
26．（10分）如圖，△ADE由△ABC繞點A按逆時針方向旋轉90°得到，且點B的對應點D恰好落在BC的延長線上，AD，EC相交于點P．
（1）求∠BDE的度數(shù)；
（2）F是EC延長線上的點，且∠CDF＝∠DAC．
①判斷DF和PF的數(shù)量關系，并證明；
②求證：＝．

【分析】（1）由旋轉的性質得出AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，得出∠ADE＝∠B＝45°，可求出∠BDE的度數(shù)；
（2）①由旋轉的性質得出AC＝AE，∠CAE＝90°，證得∠FPD＝∠FDP，由等腰三角形的判定得出結論；
②過點P作PH∥ED交DF于點H，得出∠HPF＝∠DEP，，證明△HPF≌△CDF（ASA），由全等三角形的性質得出HF＝CF，則可得出結論．
【解答】解：（1）∵△ADE由△ABC繞點A按逆時針方向旋轉90°得到，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，
在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，
∴∠ADE＝∠B＝45°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．
（2）①DF＝PF．
證明：由旋轉的性質可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，
在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，
∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，
∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，
即∠FPD＝∠FDP，
∴DF＝PF．
②證明：過點P作PH∥ED交DF于點H，

∴∠HPF＝∠DEP，，
∵∠DPF＝∠ADE+∠DEP＝45°+∠DEP，
∠DPF＝∠ACE+∠DAC＝45°+∠DAC，
∴∠DEP＝∠DAC，
又∵∠CDF＝∠DAC，
∴∠DEP＝∠CDF，
∴∠HPF＝∠CDF，
又∵FD＝FP，∠F＝∠F，
∴△HPF≌△CDF（ASA），
∴HF＝CF，
∴DH＝PC，
又∵，
∴．


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