三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)近幾年高考在對三角恒等變換考查的同時(shí)，對三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的考查力度有所加強(qiáng)，往往將三角恒等變換與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合考查，先利用三角公式進(jìn)行化簡，然后進(jìn)一步研究三角函數(shù)的性質(zhì).其中三角函數(shù)的定義域值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性以及圖象變換是主要考查對象，難度以中檔以下為主. 知識點(diǎn)1、兩角和與差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(C(α－β))cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β　(C(α＋β))sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β　(S(α－β))sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β　(S(α＋β))tan(α－β)＝　(T(α－β))tan(α＋β)＝　(T(α＋β))知識點(diǎn)2、二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝.知識點(diǎn)3、在準(zhǔn)確熟練地記住公式的基礎(chǔ)上，要靈活運(yùn)用公式解決問題：如公式的正用、逆用和變形用等.如Tα±β可變形為tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)，tan αtan β＝1－＝－1.知識點(diǎn)4、函數(shù)f(x)＝asin α＋bcos α(a，b為常數(shù))，可以化為f(α)＝sin(α＋φ)(其中tan φ＝)或f(α)  ＝cos(α－φ)(其中tan φ＝).知識點(diǎn)3、 正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y＝sin xy＝cos xy＝tan x圖象定義域RRxx∈R，且x值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在－＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)上是遞增函數(shù)，在＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)上是遞減函數(shù)在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是遞增函數(shù)，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是遞減函數(shù)在－＋kπ，＋kπ(k∈Z)上是遞增函數(shù)　　　　周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π對稱性對稱軸是x＝＋kπ(k∈Z)，對稱中心是(kπ，0)(k∈Z)對稱軸是x＝kπ(k∈Z)，對稱中心是kπ＋，0(k∈Z)對稱中心是(k∈Z)知識點(diǎn)4．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)振幅周期頻率相位初相AT＝f＝＝ωx＋φφ用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示：ωx＋φ2πx－－－y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0知識點(diǎn)5．由函數(shù)y＝sin x的圖象通過變換得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種方法(1)三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則，一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征.(2)對于給角求值問題，往往所給角都是非特殊角，解決這類問題的基本思路有：①化為特殊角的三角函數(shù)值；②化為正、負(fù)相消的項(xiàng)，消去求值；③化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進(jìn)行約分求值.（3）通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時(shí)，遵照以下原則：①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；②已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好.判定三角形形狀的2種常用途徑（4）．判定三角形形狀的3個(gè)注意點(diǎn)(1)“角化邊”后要注意用因式分解、配方等方法得出邊的相應(yīng)關(guān)系；(2)“邊化角”后要注意用三角恒等變換公式、三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式推出角的關(guān)系；（5）與三角形面積有關(guān)問題的解題模型1、設(shè)函數(shù)在[?π，π]的圖像大致如下圖，則f（x）的最小正周期為A．   B．C．  D．【答案】C【解析】由圖可得：函數(shù)圖象過點(diǎn)，將它代入函數(shù)可得：，又是函數(shù)圖象與軸負(fù)半軸的第一個(gè)交點(diǎn)，所以，解得.所以函數(shù)最小正周期為故選C．2、下圖是函數(shù)y= sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)= A．   B．  C．  D．【答案】BC【解析】由函數(shù)圖像可知：，則，所以不選A,當(dāng)時(shí)，，解得：，即函數(shù)的解析式為：.而故選：BC．3、設(shè)函數(shù)=sin（）(＞0)，已知在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論：①在（）有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)②在（）有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)③在（）單調(diào)遞增④的取值范圍是[)其中所有正確結(jié)論的編號是A．①④ B．②③C．①②③ D．①③④【答案】D【解析】①若在上有5個(gè)零點(diǎn)，可畫出大致圖象，由圖1可知，在有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn).故①正確；②由圖1、2可知，在有且僅有2個(gè)或3個(gè)極小值點(diǎn).故②錯(cuò)誤；④當(dāng)=sin（）=0時(shí)，=kπ（k∈Z），所以，因?yàn)?/span>在上有5個(gè)零點(diǎn)，所以當(dāng)k=5時(shí)，，當(dāng)k=6時(shí)，，解得，故④正確.③函數(shù)=sin（）的增區(qū)間為：，.取k=0，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，綜上可得，在單調(diào)遞增.故③正確.所以結(jié)論正確的有①③④.故本題正確答案為D.4、函數(shù)f(x)=在的圖像大致為A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除A．又，排除B，C，故選D．5、下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間(，)單調(diào)遞增的是A．f(x)=|cos2x|     B．f(x)=|sin2x|     C．f(x)=cos|x|      D．f(x)=sin|x|【答案】A【解析】作出因?yàn)?/span>的圖象如下圖1，知其不是周期函數(shù)，排除D；因?yàn)?/span>，周期為，排除C；作出圖象如圖2，由圖象知，其周期為，在區(qū)間(，)單調(diào)遞增，A正確；作出的圖象如圖3，由圖象知，其周期為，在區(qū)間(，)單調(diào)遞減，排除B，故選A．圖1圖2圖36、已知函數(shù)是奇函數(shù)，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為．若的最小正周期為，且，則A．  B．C．  D．【答案】C【解析】∵為奇函數(shù)，∴；又∴，又，∴，∴，故選C.7、【2020年高考全國III卷理數(shù)】關(guān)于函數(shù)f（x）=有如下四個(gè)命題：①f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱．②f（x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱．③f（x）的圖像關(guān)于直線x=對稱．④f（x）的最小值為2．其中所有真命題的序號是__________．【答案】②③【解析】對于命題①，，，則，所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對稱，命題①錯(cuò)誤；對于命題②，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，命題②正確；對于命題③，，，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，命題③正確；對于命題④，當(dāng)時(shí)，，則，命題④錯(cuò)誤.故答案為：②③.8、關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①f(x)是偶函數(shù)  ②f(x)在區(qū)間（，）單調(diào)遞增③f(x)在有4個(gè)零點(diǎn) ④f(x)的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號是A．①②④   B．②④C．①④  D．①③【答案】C【解析】為偶函數(shù)，故①正確．當(dāng)時(shí)，，它在區(qū)間單調(diào)遞減，故②錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，，它有兩個(gè)零點(diǎn)：；當(dāng)時(shí)，，它有一個(gè)零點(diǎn)：，故在有個(gè)零點(diǎn)：，故③錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又為偶函數(shù)，的最大值為，故④正確．綜上所述，①④正確，故選C．9、2020年3月14日是全球首個(gè)國際圓周率日（ Day）．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似．?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值．按照阿爾·卡西的方法，的近似值的表達(dá)式是A．  B． C．  D． 【答案】A【解析】單位圓內(nèi)接正邊形的每條邊所對應(yīng)的圓周角為，每條邊長為，所以，單位圓的內(nèi)接正邊形的周長為，單位圓的外切正邊形的每條邊長為，其周長為，，則.故選：A．10、已知，且，則A． B．C． D．【答案】A【解析】，得，即，解得或（舍去），又.
故選：A．11、若α為第四象限角，則A．cos2α>0   ????????????? ????????????? ????????????? B．cos2α<0????????????? C．sin2α>0   ????????????? ????????????? ????????????? D．sin2α<0【答案】D【解析】方法一：由α為第四象限角，可得，所以此時(shí)的終邊落在第三、四象限及軸的非正半軸上，所以，故選：D．方法二：當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由在第四象限可得：，則，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；故選：D．12、已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=A．–2  B．–1 C．1  D．2【答案】D【解析】，，令，則，整理得，解得，即.故選：D．13、已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，則sinα=A．           B．        C．          D．【答案】B【解析】，，，又，，又，，故選B．14、若，則A．   ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? B．C．   ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? D．【答案】B【解析】.故選B. 15、已知=，則的值是   ▲    ．【答案】【解析】故答案為：16、若函數(shù)的最大值為2，則常數(shù)的一個(gè)取值為________．【答案】（均可）【解析】因?yàn)?/span>，所以，解得，故可取.故答案為：（均可）.17、已知，則_______，_______．【答案】；【解析】，，故答案為：18、將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是   ▲    ．【答案】【解析】當(dāng)時(shí).故答案為：19、已知，則的值是  ▲   .【答案】【解析】由，得，解得，或.，當(dāng)時(shí)，上式當(dāng)時(shí)，上式=綜上， 20、某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點(diǎn)，B是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn)，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直線DE和EF的距離均為7 cm，圓孔半徑為1 cm，則圖中陰影部分的面積為________cm2．【答案】【解析】設(shè)，由題意，，所以，因?yàn)?/span>,所以，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>與圓弧相切于點(diǎn)，所以，即為等腰直角三角形；在直角中，，，因?yàn)?/span>，所以，解得；等腰直角的面積為；扇形的面積，所以陰影部分的面積為.故答案為：. 一、單選題1、 （    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?/span>.故選：B.2、（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】故選：C3、已知，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】， ， .故選：A4、已知，與是方程的兩個(gè)根，則（    ）A． B． C． D．或【答案】C【解析】∵ 與是方程的兩個(gè)根，∴+，∴，，∴，∴，∵，又∴.故選: C5、已知為銳角，且滿足如，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故，故，因?yàn)?/span>為銳角，故，故，故選：B.6、在探索系數(shù)，，，對函數(shù)圖象的影響時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，系數(shù)對其影響是圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長或縮短，通常稱為“振幅變換”；系數(shù)對其影響是圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長或縮短，通常稱為“周期變換”；系數(shù)對其影響是圖象上所有點(diǎn)向左或向右平移，通常稱為“左右平移變換”；系數(shù)對其影響是圖象上所有點(diǎn)向上或向下平移，通常稱為“上下平移變換”.運(yùn)用上述四種變換，若函數(shù)的圖象經(jīng)過四步變換得到函數(shù)的圖象，且已知其中有一步是向右平移個(gè)單位，則變換的方法共有（    ）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【解析】根據(jù)題意，該圖象變換的過程有振幅變換、周期變換、左右平移變換和上下平移變換共四步，因?yàn)樽笥移揭谱儞Q是向右平移個(gè)單位，所以要求左右平移變換在周期變換之前，所以變換的方法共有種，故選：B.7、已知，，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題得所以因?yàn)?/span>，所以因?yàn)?/span>，所以.故選：D8、將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線，則（    ）A．1 B．-1 C． D．【答案】D【解析】把的圖象向左平移個(gè)單位長度，得的圖象，再把所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，縱坐標(biāo)不變，得圖象的函數(shù)式為，，∴，∴．故選：D.二、多選題9、設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．是的一個(gè)周期 B．的圖像可由的圖像向右平移得到C．的一個(gè)零點(diǎn)為 D．的圖像關(guān)于直線對稱【答案】ACD【解析】的最小正周期為，故也是其周期，故A正確；的圖像可由的圖像向右平移得到，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D正確.故選：ACD10、已知函數(shù)，則下列關(guān)于該函數(shù)性質(zhì)說法正確的有（    ）A．的一個(gè)周期是 B．的值域是C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】AD【解析】A：因?yàn)?/span>，所以是函數(shù)的周期，故本選項(xiàng)說法正確；B：因?yàn)?/span>，，所以，故本選項(xiàng)說法不正確；C：因?yàn)?/span>，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，故本選項(xiàng)說法不正確；D：因?yàn)?/span>，所以函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，因此有，而，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故本選項(xiàng)說法正確.故選：AD11、如圖，已知函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)A，B，若，圖象的一個(gè)最高點(diǎn)，則下列說法正確的是（    ）A．B．的最小正周期為4C．一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為D．圖象的一個(gè)對稱中心為【答案】BCD【解析】由，設(shè)，則，，選項(xiàng)A中，點(diǎn)A處，，則，即，，解得，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，依題意，得，故，最小正周期，B正確；選項(xiàng)C中，由，得，結(jié)合最高點(diǎn)，知，即，當(dāng)時(shí)，，故是的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間，C正確；選項(xiàng)D中，時(shí)，故是圖象的一個(gè)對稱中心，D正確.故選：BCD.12、關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論正確的有（    ）A．的最小正周期為 B．在上單調(diào)遞增C．在上有四個(gè)零點(diǎn) D．的值域?yàn)?/span>【答案】AC【解析】對A，，故的周期為，又，故的最小正周期為，故A正確；對B， ，，故在上不單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對C，令，則，即，即，，或，所以在上有四個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對D，的周期為，故只需考查，當(dāng)時(shí)，，由可得，當(dāng)時(shí)，，由可得，的值域?yàn)?/span>，故D錯(cuò)誤.故選：AC.13、已知函數(shù)（其中）圖象的兩條相鄰的對稱軸之間的距離為，，下列結(jié)論正確的是（    ）A．B．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象C．當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)D．在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】由題意，函數(shù)圖象的兩條相鄰的對稱軸之間的距離為，，可得，因?yàn)?/span>，則，解得，即，解得，因?yàn)?/span>，所以，即函數(shù)的解析式，所以A正確；對于B中，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象，所以B不正確；對于C中，由，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，所以C正確；對于D中，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，所以D正確.故選：ACD.三填空題14、如圖所示，角的終邊與單位圓（圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓）交于第四象限的點(diǎn)，則______．【答案】【解析】由題意，又是第四象限角，∴，∴．故答案為：．15、已知，則的值為________．【答案】【解析】原式,又∵，∴原式，故答案為：.16、計(jì)算______．【答案】【解析】由二倍角公式和誘導(dǎo)公式可得答案.【詳解】.故答案為：. 17、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的頂點(diǎn)是O，始邊是x軸的非負(fù)半軸，，點(diǎn)是終邊上一點(diǎn)，則的值是________.【答案】【解析】因?yàn)?/span>，即點(diǎn)在第一象限，所以，又，∴．故答案為：．18、已知，，則________.【答案】【解析】因?yàn)?/span>，所以且，所以；又，所以.故答案為：.19、被譽(yù)為“中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”的著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生為我國數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)，他所倡導(dǎo)的“優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實(shí)踐中得到了廣泛的應(yīng)用.就是黃金分割比的近似值，黃金分割比還可以表示成，則__________．【答案】【解析】：把代入故答案為：20、已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，把函數(shù)的所有零點(diǎn)依次記為，且，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則______.【答案】【解析】由得對稱軸為，周期為， 根據(jù)正弦函數(shù)圖像性質(zhì)，得，，，，…，，，.故答案為：21、已知函數(shù)的最大值為，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為，且的圖象關(guān)于直線對稱，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為______.【答案】【解析】由題意可得，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，得，，此時(shí)，.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，，，，，則.，，因此，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.故答案為：.

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