精練17- 7第十七部分 物理思維方法七．               極值問題一、選擇題1．（2013·天津）如圖所示，小球用細繩系住，繩的另一端固定于O點?，F(xiàn)用水平力F緩慢推動斜面體，小球在斜面上無摩擦地滑動，細繩始終處于直線狀態(tài)，當小球升到接近斜面頂端時細繩接近水平，此過程中斜面對小球的支持力FN以及繩對小球的拉力FT的變化情況是A．FN保持不變，FT不斷增大B．FN不斷增大，FT不斷減小C．FN保持不變，FT先增大后減小D．FN不斷增大，FT先減小后增大【參考答案】D【點評】解答動態(tài)變化類試題，也可運用解析法。但是解析法計算復雜，沒有矢量圖解明顯易懂。2．（2012·新課標理綜）如題74A圖，一小球放置在木板與豎直墻面之間。設(shè)墻面對球的壓力大小為N1，球?qū)δ景宓膲毫Υ笮?/span>N2。以木板與墻連接點所形成的水平直線為軸，將木板從圖示位置開始緩慢地轉(zhuǎn)到水平位置。不計摩擦，在此過程中A．.N1始終減小，N2始終增大B．.N1始終減小，N2始終減小C．.N1先增大后減小，N2始終減小D．.N1先增大后減小，N2先減小后增大【參考答案】B二．計算題1．（2018北京理綜）．（18分）如圖1所示，用電動勢為E、內(nèi)阻為r的電源，向滑動變阻器R供電。改變變阻器R的阻值，路端電壓U與電流I均隨之變化。（1）以U為縱坐標，I為橫坐標，在圖2中畫出變阻器阻值R變化過程中U-I圖像的示意圖，并說明U-I圖像與兩坐標軸交點的物理意義。（2）a．請在圖2畫好的U-I關(guān)系圖線上任取一點，畫出帶網(wǎng)格的圖形，以其面積表示此時電源的輸出功率；b．請推導該電源對外電路能夠輸出的最大電功率及條件。（3）請寫出電源電動勢定義式，并結(jié)合能量守恒定律證明：電源電動勢在數(shù)值上等于內(nèi)、外電路電勢降落之和。【名師解析】（1）U–I圖象如圖所示，圖象與縱軸交點的坐標值為電源電動勢，與橫軸交點的坐標值為短路電流（2）a．如圖所示b．電源輸出的電功率當外電路電阻R=r時，電源輸出的電功率最大，為（3）電動勢定義式根據(jù)能量守恒定律，在圖1所示電路中，非靜電力做功W產(chǎn)生的電能等于在外電路和內(nèi)電路產(chǎn)生的電熱，即2.一條河寬L=60m，水速v水=4m/s，船在靜水中的開行速度v開=3m/s。（1）求出小船渡河的最短時間t，這樣渡河船的位移是多少？（2）小船渡河的最小位移是多少？（2）運動的合成與分解遵循平行四邊形定則，由v開< v水，即小船不可能垂直到達對岸。只有當v開、v水兩個速度的合速度與河岸的夾角越大，則小船的實際位移越小。把代表v開的有向線段移到代表v水的有向線段端點，如答圖b所示，可見：改變船頭的方向，有向線段v開的箭頭端點始終在一圓弧上。隨著船頭方向的改變，合速度的方向也隨之改變。只有當船頭的朝向與合運動的方向垂直時，θ 有最小值。由幾何知識可得：cosθ=v開/ v水=3/4，又cosθ=L/smin，即smin =80m。3．（2013·山東）如圖所示，一質(zhì)量m=0.4kg的小物塊，以v0=2m/s的初速度，在與斜面成某一夾角的拉力F作用下，沿斜面向上做勻加速運動，經(jīng)t=2s的時間物塊由A點運動到B點，A、B之間的距離L=10m。已知斜面傾角θ=30o，物塊與斜面之間的動摩擦因數(shù)。重力加速度g取10 m/s2.（1）求物塊加速度的大小及到達B點時速度的大小。（2）拉力F與斜面的夾角多大時，拉力F最??？拉力F的最小值是多少？【分析與解】由勻變速直線運動規(guī)律列方程聯(lián)立解得物塊加速度的大小及到達B點時速度的大小。分析物塊受力，應(yīng)用牛頓運動定律及其相關(guān)知識列方程聯(lián)立解得拉力F的表達式，應(yīng)用數(shù)學知識求得拉力F的最小值（1）設(shè)物塊加速度的大小為a，到達B點時速度的大小為v，由運動學公式得：L= v0t+at2，v= v0+at，聯(lián)立代入數(shù)據(jù)解得：a=3m/s2，③v=8m/s。4．（2016·太原聯(lián)考）如題75圖所示，木板與水平地面間的夾角θ可以隨意改變，當θ=30°時，可視為質(zhì)點的一小木塊恰好能沿著木板勻速下滑。若讓該小木塊從木板的底端以大小恒定的初速率v0=10m/s的速度沿木板向上運動，隨著θ的改變，小物塊沿木板滑行的距離x將發(fā)生變化，重力加速度g=10m/s2。(結(jié)果可用根號表示)（1）求小物塊與木板間的動摩擦因數(shù)；（2）當θ角滿足什么條件時，小物塊沿木板滑行的距離最小，并求出此最小值。【名師解析】（1）當θ=30°時，小木塊恰好能沿著木板勻速下滑。根據(jù)平衡條件有：mgsinθ=μmgcosθ    解得： 5．（2012·全國理綜）一探險隊員在探險時遇到一山溝，山溝的一側(cè)豎直，另一側(cè)的坡面呈拋物線形狀。此隊員從山溝的豎直一側(cè)，以速度v0沿水平方向跳向另一側(cè)坡面。如例76圖所示，以溝底的O點為原點建立坐標系Oxy。已知，山溝豎直一側(cè)的高度為2h，坡面的拋物線方程為y=x2，探險隊員的質(zhì)量為m。人視為質(zhì)點，忽略空氣阻力，重力加速度為g。[來源:學_科_網(wǎng)]（1）求此人落到坡面時的動能；（2）此人水平跳出的速度為多大時，他落在坡面時的動能最??？動能的最小值為多少？（2）Ek =m (+v02) =m (+v02+gh-gh)。當= v02+gh，即v0= 時，他落在坡面時的動能最小。動能的最小值為Ekmin=mgh。【點評】解答此題用到了積定二數(shù)相等時和最小的均值定理。由于×（v02+gh）=4g2h2，為一定值，利用“積定二數(shù)相等時和最小”，當= v02+gh，他落在坡面時的動能最小。解答此題時要注意，通常的平拋運動規(guī)律方程是以拋出點作為坐標系原點，而題述中以溝底的O點為原點建立坐標系Oxy，所列平拋運動豎直方向的運動方程不是自由落體運動方程。6．如圖（a），長為L的光滑斜面AB與高臺邊緣光滑相接，BC為一豎直墻，將小球從斜面AB的頂端靜止釋放，小球到達斜面底端后恰能無能量損失地從高臺邊緣水平飛出。高臺底部有另一足夠長的斜面CD。調(diào)節(jié)斜面AB的傾角α與斜面CD的傾角β，使小球從斜面AB頂端靜止釋放后，恰能垂直擊中斜面CD。不計空氣阻力，重力加速度為g，α、β為銳角。求：（1）小球在空中飛行時間t（用α、β和L表示）？ （2）某一研究小組取長為L＝0.5m的斜面AB進行實驗，實驗中發(fā)現(xiàn)改變斜面AB的傾角α后，為了使從AB頂端靜止釋放的小球還能垂直擊中斜面，只需對應(yīng)地調(diào)整斜面CD的傾角β。多次實驗并記錄每次α與β的數(shù)值，由實驗數(shù)據(jù)得出圖（b）所示擬合直線。請問此坐標系的橫軸表示什么？試求豎直墻BC的高度h（取g＝10m/s2）？（3）在第（2）問中，該研究小組發(fā)現(xiàn)，小球每次垂直打在CD上的落點與豎直墻BC的距離S隨α和β的改變而不同。試求小球在CD上的落點離豎直墻的最大距離Sm？此時傾角α與β各為多大？       （2）設(shè)小球平拋過程中水平方向和豎直方向的位移分別為x，y在空中水平距離x=v0t=2Lsinαcotβ[來源:Zx.Com]在空中豎直距離y==Lsinαcot2β          由，得                  得到關(guān)于與cot2β的關(guān)系式，對應(yīng)圖像橫軸表示       [來源:學?？?。網(wǎng)Z。X。X。K]斜率為，由圖像可知斜率為2，故＝2，解得h=2×0.5m＝1m                （3）由第（2）問中x=v0t=2Lsinαcotβ和并代入相關(guān)數(shù)據(jù)得：x==                                     當時，x取最大值，最大值，此時α=30°。對應(yīng)的β=arccot ≈35.3。                             7．（2015上海五校聯(lián)考）水上滑梯可簡化成如圖所示的模型：傾角為θ＝37°斜滑道AB和水平滑道BC平滑連接（設(shè)經(jīng)過B點前后速度大小不變），起點A距水面的高度H＝7.0m，BC長d＝2.0m，端點C距水面的高度h＝1.0m. 一質(zhì)量m＝50kg的運動員從滑道起點A點無初速地自由滑下,運動員與AB、BC間的動摩擦因數(shù)均為μ＝0.1．（取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，運動員在運動過程中可視為質(zhì)點） （1）求運動員沿AB下滑時加速度的大小a；（2）求運動員從A滑到C的過程中克服摩擦力所做的功W和到達C點時速度的大小v；（3）保持水平滑道端點在同一豎直線上，調(diào)節(jié)水平滑道高度h和長度d到圖中B′C′位置時，運動員從滑梯平拋到水面的水平位移最大，求此時滑道B′C′距水面的高度h′.【名師解析】：（1）根據(jù)牛頓第二定律：mgsinθ－μmgcosθ＝ma  得運動員沿AB下滑時加速度的大小為：a＝gsinθ－μgcosθ＝5.2 m/s2    （2）運動員從A滑到C的過程中，克服摩擦力做功為：Wf＝μmgcosθ（）＋μmgd＝μmg[d＋（H－h）cotθ]＝500J由動能定理：mg（H－h）－Wf＝mv2           得運動員滑到C點時速度的大小  v＝10m/s      8．（2016·江西部分學校聯(lián)考）如圖所示，傾角為30°的足夠長的光滑斜面下端與一足夠長的光滑水平面相接，連接處用一光滑小圓弧過渡，斜面上距離水平面高度分別為h1=5m和h2=0.2m的兩點上，各靜止放置一小球A和B。某時刻由靜止釋放A球，經(jīng)過一段時間t后，再由靜止開始釋放B球。g取10m/s2.(1)                   為了保證A、B兩球不會在斜面上相碰，t最長不能超過多少？(2)                   若A球從斜面上h1高度處自由下滑的同時，B球受到恒定外力作用從C點以加速度a由靜止開始向右運動，則加速度a最大為多大時，A球能夠追上B球？【分析與解】（1）兩球在斜面上下滑的加速度相同，設(shè)加速度為a0，由牛頓第二定律，mgsin30°=ma0，解得：a0=5m/s2。設(shè)A、B兩球下滑到斜面底端所用時間分別為t1和t2，則有=a0t12，=a0t22解得：t1=2s，t2=0.4s。為了保證A、B兩球不會在斜面上相碰，t最長不能超過t= t1- t2=1.6s。（2）A球運動到C點時速度v= a0t1=10m/s，設(shè)A球在水平面上再經(jīng)過t0追上B球，則有a(t0+t1)2=v t0代入相關(guān)數(shù)據(jù)得：at02+2(2a-10) t0+4a=0這是關(guān)于t0的一元二次方程，要使t0為正數(shù)，則判別式：[2(2a-10)]2-4a·4a≥0，解得：a≤2.5m/s2。即B球加速度a最大為2.5m/s2時，A球能夠追上B球。9．在水平軌道上有兩列火車A和B相距s，A車在后面做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運動，而B車同時做初速度為零、加速度大小為a．的勻加速直線運動，兩車運動方向相同．要使兩車不相撞，求A車的初速度v0滿足的條件．這是一個關(guān)于時間t的一元二次方程，當根的判別式小于零時，t無實數(shù)解，即兩車不相撞。由(2v0)2-4×3a×2s<0，解得：v0≤。即A車的初速度v0滿足的條件是：v0≤。．10. 如圖所示，摩托車做騰躍特技表演。摩托車關(guān)閉發(fā)動機后以v0=10m/s的初速度沖上高為h、頂部水平的高臺，然后從高臺水平飛出．在各種阻力的影響可以忽略不計的情況下，試分析當臺高h多大時，飛出的水平距離最遠？最遠距離是多少？ 【名師解析】設(shè)摩托車從高臺上水平飛出時的速度為v，對摩托車以v0=10m/s的初速度沖上高臺的過程，由機械能守恒定律，mv02=mgh+mv2摩托車從高臺上水平飛出，由平拋運動規(guī)律，s=vt，h=gt2聯(lián)立解得：s=。根號內(nèi)代數(shù)式是一元二次函數(shù)，因為二次項系數(shù)a=-4<0，所以根號內(nèi)二次函數(shù)有最大值的條件是h=-=-=2.5m，即當h=2.5m時，s有最大值，最大值smax=5m。11． (2014·湖南名校聯(lián)考)在“十”字交叉互通的兩條水平直行道路上，分別有甲、乙兩輛汽車運動，以“十”字中心為原點，沿直道建立xOy坐標系．在t=0時刻，甲車坐標為（l m，0），以速度為v0=k m/s，沿-x軸方向做勻速直線運動，乙車沿+y方向運動，其坐標為（0，y），y與時間t的關(guān)系為y=m，關(guān)系式中，k>0，求：（1）當k滿足什么條件時，甲乙兩車間的距離有最小值。最小值為多大？（2）當k為何值時，當甲車運動到O處時，與乙車的距離和t=0時刻的距離相同？[來源:ZX][來源:Z。xx。k.Com] (2)當t=0時，甲車坐標為（1,0），乙車坐標為（0，1），此時兩車距離s0=m。當甲車運動到O處時，kt=1m，乙車y=m=m。兩式聯(lián)立解得：k=1/2.  

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