?2021年山東省濟南市槐蔭區(qū)九年級下學期中考一模數(shù)學試題
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________


一、單選題
1．﹣3的絕對值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．
2．2020年6月23日，北斗三號最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星從西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，6月30 成功定點于距離地球36 000公里的地球同步軌道．將36 000用科學記數(shù)法表示應為（ ）
A．0.36×105 B．3.6×105 C．3.6×104 D．36×103
3．下圖是由一個長方體和一個圓錐組成的幾何體，它的主視圖是（　　?。?br />
A． B．
C． D．
4．下列運算結果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
6．小紅連續(xù)天的體溫數(shù)據(jù)如下（單位相）：，，，，．關于這組數(shù)據(jù)下列說法正確的是（ ）
A．中位數(shù)是 B．眾數(shù)是 C．平均數(shù)是 D．極差是
7．化簡的結果是
A．+1 B． C． D．
8．關于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．如圖，中，，，對角線、相交于點，點、、、分別是、、、的中點，則下列說法正確的是（ ）

A． B．的面積是的面積的2倍
C． D．四邊形是平行四邊形
10．若直線經(jīng)過點，直線經(jīng)過點，且與關于軸對稱，則與的交點坐標為（ ）
A． B． C． D．
11．如圖，把一根4.5米長的竹竿斜靠在石壩旁，量出竿長1米時它離地面的高度是0.6米，又量得竿頂與壩腳的距離米，記作，下列式子正確的是（ ）

A． B． C． D．
12．如圖，拋物線的頂點為，下列結論：
①；
②；
③若關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則；
④若，且，則．
其中正確的有（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

二、填空題
13．分解因式：4a2-4a+1=______．
14．一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在岔路口隨機選擇一條路徑，它獲得食物的概率是_____．

15．如圖，直線，，，則的度數(shù)是___度．

16．一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象如圖所示，點A（x1，y1）和點B（x2，y2）是圖象上兩點，若y1＞y2，則x1_____x2．（填“＞”或“＜”）

17．如圖，菱形的邊長為4，，分別以、為直徑作兩個半圓，則這個菱形與兩個半圓所形成的陰影部分的面積為___．

18．如圖，在矩形中，，，平分，點在線段上，，過點作交邊于點，交邊于點，則___．


三、解答題
19．計算：
20．解不等式組
21．如圖，、是正方形的對角線上的兩點，．求證：．

22．為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，讓紅色基因、革命薪火代代傳承，某校開展以學習“四史”（黨史、新中國史、改革開放史、社會主義發(fā)展史）為主題的書畫展，為了解作品主題分布情況，在學生上交的作品中，隨機抽取了50份進行統(tǒng)計，并根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結果繪制了如下統(tǒng)計圖表：
主題
頻數(shù)
頻率
黨史
6
0.12
新中國史
20

改革開放史

0.18
社會主義發(fā)展史


合計
50
1

請結合上述信息完成下列問題：
（1）________，________；
（2）請補全頻數(shù)分布直方圖；
（3）在扇形統(tǒng)計圖中，“新中國史”主題作品份數(shù)對應的圓心角是________度；
（4）若該校共上交書畫作品1800份，根據(jù)抽樣調(diào)查結果，請估計以“黨史”為主題的作品份數(shù)．
23．如圖，在中，，點是邊的中點，點是邊上的點，以為圓心，為半徑的⊙O分別交、、于點、、，且點是的中點，連接．

（1）求證：是⊙O的切線；
（2）若，，求⊙O的半徑．
24．某商場1月購進、兩款毛衣，用10000元購進的款毛衣的數(shù)量是用5000元購進的款毛衣數(shù)量的2.5倍，已知每件款毛衣進價比每件款毛衣進價少50元．
（1）每件款毛衣的進價是多少元？
（2）若每件款毛衣售價為300元，要使兩款毛衣全部售完后利潤率不低于44%（不考慮其他因素），那么款毛衣的售價至少是多少元？
25．已知：如圖，雙曲線與直線交于、兩點，將直線向下平移個單位，平移后的直線與雙曲線在第一象限的分支交于點，點是軸上一動點．
（1）求雙曲線和直線的函數(shù)表達式；
（2）連接，當點是線段中點時，求的值；
（3）若點是雙曲線上任意一點，當是以為斜邊的直角三角形，且時，求點的坐標．

26．（1）①如圖1，、都是等腰直角三角形，點在線段上，．求證：；
②如圖2，當，時，求線段的長；
（2）如圖3，，，，，求的長．

27．如圖1，已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；
（2）如圖2，點是該拋物線的對稱軸（軸上方部分）上的一個動點，連接，將沿直線翻折，得到，當點落在該拋物線的對稱軸上時，求點的坐標；
（3）如圖3，點是該拋物線的頂點，點是一象限內(nèi)該拋物線上的一個點，分別連接、、，當時，求的值．


參考答案
1．B
【詳解】
試題分析：當a是負有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)﹣a，所以﹣3的絕對值是3．故選B．
考點：絕對值．
2．C
【分析】
利用科學記數(shù)法表示數(shù)的方法求解即可．
【詳解】
解：36 000用科學記數(shù)法表示為：3.6×104，
故選：C．
【點睛】
本題考查科學記數(shù)法，掌握用科學記數(shù)法表示數(shù)的方法是解題的關鍵．
3．C
【分析】
根據(jù)簡單幾何體的主視圖的畫法，利用“長對正”，從正面看到的圖形．
【詳解】
解：從正面看，“底座長方體”看到的圖形是矩形，“上部圓錐體”看到的圖形是等腰三角形，因此選項C的圖形符合題意，
故選：C．
【點睛】
本題考查簡單幾何體的三視圖的畫法，畫三視圖時要注意“長對正、寬相等、高平齊”．
4．D
【分析】
根據(jù)合并同類項、去括號法則可直接進行排除選項．
【詳解】
解：A、2x與3y不是同類項，所以不能合并，故錯誤，不符合題意；
B、與-不是同類項，所以不能合并，故錯誤，不符合題意；
C、，故錯誤，不符合題意；
D、，正確，故符合題意；
故選D．
【點睛】
本題主要考查合并同類項及去括號法則，熟練掌握合并同類項、去括號法則是解題的關鍵．
5．A
【分析】
根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念可直接進行排除選項．
【詳解】
解：A、既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，故符合題意；
B、是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故不符合題意；
C、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；
D、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；
故選A．
【點睛】
本題主要考查軸對稱圖形及中心對稱圖形，熟練掌握軸對稱圖形及中心對稱圖形的概念是解題的關鍵．
6．B
【分析】
根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的概念求得眾數(shù)和中位數(shù)，根據(jù)平均數(shù)和方差、極差公式計算平均數(shù)和極差即可得出答案．
【詳解】
A．將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列：36.2，36.2，36.3，36.5，36.6，
則中位數(shù)為36.3，故此選項錯誤
B．36.2出現(xiàn)了兩次，故眾數(shù)是36.2，故此選項正確；
C．平均數(shù)為()，故此選項錯誤；
D．極差為36.6-36.2=0.4()，故此選項錯誤，
故選：B．
【點睛】
本題主要考查了中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)和極差，熟練掌握它們的計算方法是解答的關鍵．
7．D
【詳解】
試題分析：．故選D．
8．B
【分析】
根據(jù)一元二次方程根的判別式可直接進行求解．
【詳解】
解：由關于的一元二次方程有實數(shù)根，可得：
，解得：；
故選B．
【點睛】
本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．
9．D
【分析】
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與判定及三角形中位線可直接進行排除選項．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，
∵點、、、分別是、、、的中點，
∴，
，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，故D選項正確；
∴，不一定成立，故A、C選項錯誤；
∴的面積是的面積的4倍，故B選項錯誤；
故選D．
【點睛】
本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)與判定及三角形中位線，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定及三角形中位線是解題的關鍵．
10．D
【分析】
根據(jù)對稱的性質(zhì)得出兩個點關于x軸對稱的對稱點，再根據(jù)待定系數(shù)法確定函數(shù)關系式，求出一次函數(shù)與x軸的交點即可．
【詳解】
設直線的解析式為：y＝kx＋b，
∵直線經(jīng)過點（0，3），經(jīng)過點（5，2），且與關于軸對稱，
∴兩直線相交于x軸上，且直線經(jīng)過點（5，－2），經(jīng)過點（0，－3），
把（0，3）和（5，－2）代入直線經(jīng)過的解析式y(tǒng)＝kx＋b，
則
解得：，
故直線經(jīng)過的解析式為：y＝－x＋3，
可得與的交點坐標為、與x軸的交點，解得：x＝3，
即與x軸的交點坐標為（3，0）．
故選：D．
【點睛】
此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及坐標與圖形的性質(zhì)，正確運用“數(shù)形結合”的數(shù)學思想是解題關鍵．
11．A
【分析】
過點C作CG⊥AF于點G，由題意易得△ADE∽△ACG，進而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得CG的長，然后問題可求解．
【詳解】
解：過點C作CG⊥AF于點G，如圖所示：

∵DE⊥AB，
∴DE∥CG，
∴△ADE∽△ACG，
∵，
∴，即，
∴，
∵米，，
∴；
故選A．
【點睛】
本題主要考查三角函數(shù)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握三角函數(shù)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．
12．B
【分析】
根據(jù)圖象可得，由拋物線的頂點為可得對稱軸為直線，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及與一元二次方程的關系可進行排除選項．
【詳解】
解：由圖象得：，則，故①錯誤；
由拋物線的頂點為可得對稱軸為直線，則有，故②錯誤；
當y=0時，則有，由圖象可得方程的解為，
∴若關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則，故③正確；
令是方程的兩個不相等的實數(shù)根，則有，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知點關于對稱軸對稱，
∴，即，故④正確；
∴正確的有2個；
故選B．
【點睛】
本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及與一元二次方程的關系，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及與一元二次方程的關系是解題的關鍵．
13．
【分析】
根據(jù)完全平方公式的特點：兩項平方項的符號相同，另一項是兩底數(shù)積的2倍，本題可用完全平方公式分解因式．
【詳解】
解：．
故答案為．
【點睛】
本題考查用完全平方公式法進行因式分解，能用完全平方公式法進行因式分解的式子的特點需熟練掌握．
14．
【分析】
直接利用概率公式求解．
【詳解】
解：螞蟻獲得食物的概率＝．
故答案為：．
【點睛】
本題考查了概率公式：隨機事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結果數(shù)．
15．90
【分析】
如圖，根據(jù)題意易得，進而根據(jù)三角形內(nèi)角和可進行求解．
【詳解】
解：如圖，

∵，，
∴，
∵，，
∴；
故答案為90．
【點睛】
本題主要考查三角形內(nèi)角和及平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和及平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．
16．＜
【分析】
先根據(jù)一次函數(shù)的圖像判斷出此函數(shù)的增減性，再根y1>y2即可得出x1與x2的大小關系.
【詳解】
解：由圖像可知函數(shù)中y隨x的增大而減小，
∵y1＞y2，
∴x1＜x2．
故答案為＜．
【點睛】
本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答此題的關鍵.
17．
【分析】
連接AC，取CD的中點O，則半圓O與AC、AD交于E、F兩點，連接OE、OF，由題意易得AD=CD=4，進而可得△ACD是等邊三角形，△COE、△FOD都為等邊三角形，然后可得，，最后問題可求解．
【詳解】
解：連接AC，取CD的中點O，則半圓O與AC、AD交于E、F兩點，連接OE、OF，如圖所示：

∵四邊形ABCD是菱形，邊長為4，
∴AD=CD=4，AC⊥BD
∵，
∴△ACD是等邊三角形，
∴，
∵OE=OF=OD=OC=2，
∴△COE、△FOD都為等邊三角形，
∴，
∴根據(jù)等邊三角形面積公式可得：，
∴，
由菱形的對稱性可得：
；
故答案為．
【點睛】
本題主要考查扇形面積計算，熟練掌握扇形面積計算公式是解題的關鍵．
18．
【分析】
作輔助線，構建相似三角形和全等三角形，先根據(jù)△NFE、△MBF和△ABE都是等腰直角三角形求BM和FM的長，證明△DNF≌△FMG，得DN=FM=3，NF=MG=1，再利用AD∥BC和相似三角形的判定和性質(zhì)列比例式，求QN和QF的長，設GH=x，列方程可求得GH的長．
【詳解】
解：如圖，過點F作BC的垂線，分別交BC、AD于點M、N，則MN⊥AD，延長GF交AD于點Q，如圖所示．

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠AEB=∠ABE=∠EBC=45°，
∴△NFE、△MBF和△ABE都是等腰直角三角形，
∵，
∴BM=FM=3，，
∴
∴NF=NE=1，
∵FD⊥FG，
∴∠DFG=90°，
∴∠DFN+∠MFG=90°，
∵MN⊥AD，
∴∠NDF+∠DFN=90°，
∴∠NDF=∠MFG，
在DNF和△FMG中，
，
∴△DNF≌△FMG（AAS），
∴DN=FM=3，NF=MG=1，
由勾股定理得：
∵QN∥BC，
∴△QFN∽△GFM，
∴，即，
∴，
設GH=x，則，
∵QD∥BG，
∴△QHD∽△GHB
∴
∴，解得，
即．
故答案為：．
【點睛】
本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形、相似三角形的性質(zhì)和判定．此題應用得知識點較多，恰當?shù)刈鬏o助線是本題的關鍵，根據(jù)構建相似三角形列比例式求線段的長，本題還利用了勾股定理求線段的長，從而使問題得以解決．
19．
【分析】
根據(jù)特殊三角函數(shù)值、零次冪、負指數(shù)冪及二次根式的運算可直接進行求解．
【詳解】
解：原式=
=．
【點睛】
本題主要考查特殊三角函數(shù)值、零次冪、負指數(shù)冪及二次根式的運算，熟練掌握特殊三角函數(shù)值、零次冪、負指數(shù)冪及二次根式的運算是解題的關鍵．
20．
【分析】
根據(jù)一元一次不等式組的解法可直接進行求解．
【詳解】
解：，
由①得：，
由②得：，
∴原不等式組的解集為：．
【點睛】
本題主要考查一元一次不等式組的解法，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解題的關鍵．
21．見詳解
【分析】
由題意易得，，則有，進而可證，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可求證．
【詳解】
證明：∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴（AAS），
∴．
【點睛】
本題主要考查正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關鍵．
22．（1）0.40，0.30；（2）見詳解；（3）144；（4）以“黨史”為主題的作品份數(shù)為216份．
【分析】
（1）根據(jù)題意及統(tǒng)計圖可得，進而問題可求解；
（2）根據(jù)題意可得“改革開放”為主題的份數(shù)為0.18×50=9份，進而直接進行作圖；
（3）由統(tǒng)計圖可得“新中國史”主題作品份數(shù)所占百分比，然后再進行求解即可；
（4）由題意可直接進行求解
【詳解】
解：（1）由題意及統(tǒng)計圖可得：
，，
故答案為0.40，0.30；
（2）由（1）及統(tǒng)計圖可得：“改革開放”為主題的份數(shù)為0.18×50=9份，“社會主義發(fā)展史”為主題的份數(shù)為0.30×50=15（分），則頻數(shù)分布直方圖如圖所示：

（3）由（1）可得：
；
故答案為144；
（4）由題意可得：
1800×0.12=216（份）；
答：以“黨史”為主題的作品份數(shù)為216份．
【點睛】
本題主要考查頻數(shù)分布直方圖及扇形統(tǒng)計圖，熟練掌握頻數(shù)分布直方圖及扇形統(tǒng)計圖是解題的關鍵．
23．（1）見詳解；（2）⊙O的半徑為6
【分析】
（1）連接OG，由題意易得AD⊥BC，，則OE∥AD，∠ADB=90°，進而可得∠OEB=∠ADB=90°，然后問題可得證；
（2）連接EF、AE，易證△BEF∽△BAE，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AB的長，進而問題可求解．
【詳解】
（1）證明：連接OG，如圖所示：

∵點是的中點，
∴，
∵，
∴，
∴OE∥AD，
∵，
∴AC=AB，
∵點是邊的中點，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠OEB=∠ADB=90°，
∵OE是⊙O的半徑，
∴是⊙O的切線；
（2）解：連接EF、AE，如圖所示：

由（1）可得∠OEB=∠ADB=90°，
∵AF是⊙O的直徑，
∴∠AEF=90°，
∴，
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE，
∴，
∵∠B=∠B，
∴△BEF∽△BAE，
∵，，
∴，即，
∴AB=16，
∴，
∴，
∴⊙O的半徑為6．
【點睛】
本題主要考查圓周角、切線的判定定理及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握圓周角、切線的判定定理及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．
24．（1）每件A款毛衣的進價為200元；（2）B款毛衣的售價至少為330元
【分析】
（1）設每件A款毛衣的進價為x元，則B款毛衣的進價為（x+50）元，然后根據(jù)題意可列方程求解；
（2）設B款毛衣的售價為y元，然后根據(jù)題意可得，進而求解即可．
【詳解】
解：（1）設每件A款毛衣的進價為x元，則B款毛衣的進價為（x+50）元，由題意得：
，
解得：，
經(jīng)檢驗是方程的解，
答：每件A款毛衣的進價為200元．
（2）設B款毛衣的售價為y元，由（1）及題意得：
每件B款毛衣的進價為200+50=250（元），
A款毛衣的購進數(shù)量為10000÷200=50（件），B款毛衣的購進數(shù)量為5000÷250=20（件），
∴，
解得：；
答：B款毛衣的售價至少為330元．
【點睛】
本題主要考查一元一次不等式的應用及分式方程的應用，正確理解題意、找準相等關系與不等關系是解題的關鍵．
25．（1）雙曲線的表達式為，直線AB的解析式為；（2）；（3）點的坐標為或．
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法將分別代入求解即可；
（2）點D在x軸上，設點D（m，0），過點A作AM⊥x軸交x軸于點M，過C作CN⊥x軸交x軸于點N，借助△AMD∽△CND，可表示C點坐標，代入反比例函數(shù)解析式求解，再利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)解析式；
（3）分點E再第一象限和第三象限的函數(shù)圖象上兩種情況討論，借助相似表示點E坐標，代入反比例函數(shù)解析式求解即可．
【詳解】
解：（1）雙曲線與直線交于、兩點，
∴，解得，
，解得，
∴雙曲線的表達式為，直線AB的解析式為；
（2）將直線AB向下平移n個單位，得直線，
點D在x軸上，設點D（m，0），

點D在x軸上，設點D（m，0），
直線與雙曲線交于點C，
過點A作AM⊥x軸交x軸于點M，過C作CN⊥x軸交x軸于點N，
∴AM//CN，
∴△AMD∽△CND，
∵C為AD的中點，
∴，
即N為MD的中點，，
∴， ，
將代入得，，
解得，
經(jīng)檢驗：是原方程的根，且符合題意，
即，
將代入得，
解得；
（3）當點E在第一象限時，如下圖，
過點A作AH⊥x軸交x軸于點H，過點E作EP⊥x軸交x軸于點P，

∵，
∴，AH=3，
∵是以為斜邊的直角三角形，且，
∴，∠ADH+∠EDP=90°，
∵AH⊥x軸，EP⊥x軸，
∴∠ADH+∠HAD=90°，∠AHD=∠EPD=90°，
∴∠EDP=∠HAD，
∴△AHD∽△DPE，
∴，
設點D(m，0)，則，
∴，
∴
∴，解得或（舍去），
∴，
當點E在第三象限時，如下圖，
同理可證△AHD∽△DPE，
∴，

設點D(m，0)，則，
∴，
∴ ，
∴，解得（舍去）或，
∴，
綜上所述，點的坐標為或．
【點睛】
本題考查反比例函數(shù)綜合，反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合．涉及的知識點有相似三角形的性質(zhì)和判定，含30°角的直角三角形，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)的平移等．能正確構造相似三角形，借助相似表示點的坐標是解題關鍵．
26．（1）證明見解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）利用角的和差和同角的余角相等證明∠BCE=∠ACF，再根據(jù)SAS即可證明全等；
（2）過E作AC垂線，垂足為K，借助等腰直角三角形的性質(zhì)和（1）中的全等求出相應線段的長度，再根據(jù)△CFG∽△CAF可求；
（3）如下圖，分別過點C和點A作AC和AD的垂線，交于M，通過依次證明△CAM∽△CBD和△ACB∽△MCD，借助含30°角的直角三角形和勾股定理求得相應線段的長度或者比值，即可得出結論．
【詳解】
解：（1）證明：∵、都是等腰直角三角形，．
∴BC=AC,CE=CF，
∵∠BCE+∠ECA=90°，∠ECA+∠ACF=90°，
∴∠BCE=∠ACF，
∴△ACF≌△BCE（SAS）；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴AC=BC=4，
由（1）知，△ACF≌△BCE，
∴，
∵為等腰直角三角形，
∴∠CAF=∠CBE=45°，
過E作AC垂線，垂足為K，

∴∠EAK=45°，
∴△EAK為等腰直角三角形，
∴，
∴KC=AC-AK=3，
∴，
又∵∠FCG=∠ACF，∠CFG=∠CAF=45°，
∴△CFG∽△CAF，
∴，
∴；
（3）如下圖，分別過點C和點A作AC和AD的垂線，交于M，

∴∠ACM=∠MAD=90°，
∵∠CAD=30°，
∴∠MAC=60°，
又∵∠BCD=90°，∠BDC=30°，
∴∠CBD=60°，
∵∠ACM=∠ACM=90°，∠CBD=∠MAC=60°，
∴△CAM∽△CBD，
∴，
又∵∠ACB=∠ACM+∠BCM，∠MCD=∠BCD+∠BCM，
∴∠ACB=∠MCD，
∵，
∴△ACB∽△MCD，
∴，
∵∠AMC=30°，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【點睛】
本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，勾股定理等．正確作出輔助線，構造相似三角形是解題關鍵．
27．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）把點A、C的坐標代入拋物線進行求解即可；
（2）如圖，由（1）可得拋物線的對稱軸為，則有AB=4，AE=2，由翻折的性質(zhì)可得，進而可得，設點，然后根據(jù)三角函數(shù)值可進行求解；
（3）連接CD，由（1）可得，根據(jù)兩點距離公式可得AD、CD、AC的長，然后可得△ACD是直角三角形，進而可得，當時，則可作∠PAB的角平分線，交過點F作x軸的垂線PH于點G，過點G作GM⊥AP于點M，則可得GH=GM，最后根據(jù)三角函數(shù)及勾股定理可求解．
【詳解】
解：（1）把點、代入拋物線得：
，解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）如圖，

由（1）可得拋物線的解析式為，，則對稱軸為直線，
∴當y=0時，則，解得：，
∴，
∴AB=4，AE=2，，
由翻折的性質(zhì)可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
設點，
∴EF=a，
∴，
∴；
（2）連接CD，如圖所示：

由（1）可得：拋物線的解析式為，則對稱軸為直線，
∴，
∵點、，
∴，
∴，
∴△ACD是直角三角形，
∴，
當時，則可作∠PAB的角平分線，交過點F作x軸的垂線PH于點G，過點G作GM⊥AP于點M，如圖所示：

∴，GH=GM，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，∠APH=∠APH，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
在Rt△PMG中，，
∴，整理得：，①
∵點P在拋物線上，
∴，②
聯(lián)立①②式可得：，
解得：，
∵點是一象限內(nèi)該拋物線上的一個點，
∴．
【點睛】
本題主要考查二次函數(shù)的綜合、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的綜合、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)是解題的關鍵．

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