?2019年河南省中考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個答案，其中只有一個是正確的。
1．（3分）﹣的絕對值是（　?。?br /> A．﹣ B． C．2 D．﹣2
2．（3分）成人每天維生素D的攝入量約為0.0000046克．?dāng)?shù)據(jù)“0.0000046”用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．46×10﹣7 B．4.6×10﹣7 C．4.6×10﹣6 D．0.46×10﹣5
3．（3分）如圖，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，則∠D的度數(shù)為（　?。?br />
A．45° B．48° C．50° D．58°
4．（3分）下列計(jì)算正確的是（　?。?br /> A．2a+3a＝6a B．（﹣3a）2＝6a2
C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．3﹣＝2
5．（3分）如圖①是由大小相同的小正方體搭成的幾何體，將上層的小正方體平移后得到圖②．關(guān)于平移前后幾何體的三視圖，下列說法正確的是（　?。?br />
A．主視圖相同 B．左視圖相同
C．俯視圖相同 D．三種視圖都不相同
6．（3分）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情況是（　?。?br /> A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根
C．只有一個實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根
7．（3分）某超市銷售A，B，C，D四種礦泉水，它們的單價(jià)依次是5元、3元、2元、1元．某天的銷售情況如圖所示，則這天銷售的礦泉水的平均單價(jià)是（　?。?br />
A．1.95元 B．2.15元 C．2.25元 D．2.75元
8．（3分）已知拋物線y＝﹣x2+bx+4經(jīng)過（﹣2，n）和（4，n）兩點(diǎn)，則n的值為（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
9．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于AC長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線BE交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O．若點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，則CD的長為（　?。?br />
A．2 B．4 C．3 D．
10．（3分）如圖，在△OAB中，頂點(diǎn)O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），將△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（　?。?br />
A．（10，3） B．（﹣3，10） C．（10，﹣3） D．（3，﹣10）
二、填空題（每小題3分，共15分。）
11．（3分）計(jì)算：﹣2﹣1＝　 ?。?br /> 12．（3分）不等式組的解集是　 　．
13．（3分）現(xiàn)有兩個不透明的袋子，一個裝有2個紅球、1個白球，另一個裝有1個黃球、2個紅球，這些球除顏色外完全相同．從兩個袋子中各隨機(jī)摸出1個球，摸出的兩個球顏色相同的概率是　 　．
14．（3分）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半徑OC交弦AB于點(diǎn)D，且OC⊥OA．若OA＝2，則陰影部分的面積為　 　．

15．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，點(diǎn)E在邊BC上，且BE＝α．連接AE，將△ABE沿AE折疊，若點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′落在矩形ABCD的邊上，則a的值為　 　．

三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）
16．（8分）先化簡，再求值：（﹣1）÷，其中x＝．
17．（9分）如圖，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB為直徑的半圓O交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是上不與點(diǎn)B，D重合的任意一點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F，連接BE并延長交AC于點(diǎn)G．
（1）求證：△ADF≌△BDG；
（2）填空：
①若AB＝4，且點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則DF的長為　 ??；
②取的中點(diǎn)H，當(dāng)∠EAB的度數(shù)為　 　時，四邊形OBEH為菱形．

18．（9分）某校為了解七、八年級學(xué)生對“防溺水”安全知識的掌握情況，從七、八年級各隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行測試，并對成績（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．七年級成績頻數(shù)分布直方圖：

b．七年級成績在70≤x＜80這一組的是：
70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c．七、八年級成績的平均數(shù)、中位數(shù)如下：
年級
平均數(shù)
中位數(shù)
七
76.9
m
八
79.2
79.5
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）在這次測試中，七年級在80分以上（含80分）的有　 　人；
（2）表中m的值為　 ??；
（3）在這次測試中，七年級學(xué)生甲與八年級學(xué)生乙的成績都是78分，請判斷兩位學(xué)生在各自年級的排名誰更靠前，并說明理由；
（4）該校七年級學(xué)生有400人，假設(shè)全部參加此次測試，請估計(jì)七年級成績超過平均數(shù)76.9分的人數(shù)．
19．（9分）數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如圖所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A處測得塑像底部E的仰角為34°，再沿AC方向前進(jìn)21m到達(dá)B處，測得塑像頂部D的仰角為60°，求炎帝塑像DE的高度．
（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，cos34°＝0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）

20．（9分）學(xué)校計(jì)劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎品．已知購買3個A獎品和2個B獎品共需120元；購買5個A獎品和4個B獎品共需210元．
（1）求A，B兩種獎品的單價(jià)；
（2）學(xué)校準(zhǔn)備購買A，B兩種獎品共30個，且A獎品的數(shù)量不少于B獎品數(shù)量的．請?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢的購買方案，并說明理由．
21．（10分）模具廠計(jì)劃生產(chǎn)面積為4，周長為m的矩形模具．對于m的取值范圍，小亮已經(jīng)能用“代數(shù)”的方法解決，現(xiàn)在他又嘗試從“圖形”的角度進(jìn)行探究，過程如下：
（1）建立函數(shù)模型
設(shè)矩形相鄰兩邊的長分別為x，y，由矩形的面積為4，得xy＝4，即y＝；由周長為m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+．滿足要求的（x，y）應(yīng)是兩個函數(shù)圖象在第　 　象限內(nèi)交點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）畫出函數(shù)圖象
函數(shù)y＝（x＞0）的圖象如圖所示，而函數(shù)y＝﹣x+的圖象可由直線y＝﹣x平移得到．請?jiān)谕恢苯亲鴺?biāo)系中直接畫出直線y＝﹣x．
（3）平移直線y＝﹣x，觀察函數(shù)圖象
①當(dāng)直線平移到與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象有唯一交點(diǎn)（2，2）時，周長m的值為　 ??；
②在直線平移過程中，交點(diǎn)個數(shù)還有哪些情況？請寫出交點(diǎn)個數(shù)及對應(yīng)的周長m的取值范圍．
（4）得出結(jié)論
若能生產(chǎn)出面積為4的矩形模具，則周長m的取值范圍為　 ?。?br />
22．（10分）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)．連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．
（1）觀察猜想
如圖1，當(dāng)α＝60°時，的值是　 　，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是　 　．
（2）類比探究
如圖2，當(dāng)α＝90°時，請寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形說明理由．
（3）解決問題
當(dāng)α＝90°時，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，請直接寫出點(diǎn)C，P，D在同一直線上時的值．

23．（11分）如圖，拋物線y＝ax2+x+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線y＝﹣x﹣2經(jīng)過點(diǎn)A，C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線AC于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
①當(dāng)△PCM是直角三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②作點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)B'，則平面內(nèi)存在直線l，使點(diǎn)M，B，B′到該直線的距離都相等．當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)的拋物線上，且與點(diǎn)B不重合時，請直接寫出直線l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）


2019年河南省中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個答案，其中只有一個是正確的。
1．（3分）﹣的絕對值是（　　）
A．﹣ B． C．2 D．﹣2
【分析】根據(jù)一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)進(jìn)行解答即可．
【解答】解：|﹣|＝，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查的是絕對值的性質(zhì)，掌握一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0是解題的關(guān)鍵．
2．（3分）成人每天維生素D的攝入量約為0.0000046克．?dāng)?shù)據(jù)“0.0000046”用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）
A．46×10﹣7 B．4.6×10﹣7 C．4.6×10﹣6 D．0.46×10﹣5
【分析】本題用科學(xué)記數(shù)法的知識即可解答．
【解答】解：0.0000046＝4.6×10﹣6．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題用科學(xué)記數(shù)法的知識點(diǎn)，關(guān)鍵是很小的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示時負(fù)指數(shù)與0的個數(shù)的關(guān)系要掌握好．
3．（3分）如圖，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，則∠D的度數(shù)為（　?。?br />
A．45° B．48° C．50° D．58°
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠1，
∵∠1＝∠D+∠E，
∴∠D＝∠B﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，
故選：B．
【點(diǎn)評】此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)解答．
4．（3分）下列計(jì)算正確的是（　?。?br /> A．2a+3a＝6a B．（﹣3a）2＝6a2
C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．3﹣＝2
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則，完全平方公式，冪的乘方與積的乘方的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可；
【解答】解：2a+3a＝5a，A錯誤；
（﹣3a）2＝9a2，B錯誤；
（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，C錯誤；
＝2，D正確；
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查整式的運(yùn)算；熟練掌握合并同類項(xiàng)法則，完全平方公式，冪的乘方與積的乘方的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）如圖①是由大小相同的小正方體搭成的幾何體，將上層的小正方體平移后得到圖②．關(guān)于平移前后幾何體的三視圖，下列說法正確的是（　?。?br />
A．主視圖相同 B．左視圖相同
C．俯視圖相同 D．三種視圖都不相同
【分析】根據(jù)三視圖解答即可．
【解答】解：圖①的三視圖為：
圖②的三視圖為：
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了由三視圖判斷幾何體，解題的關(guān)鍵是學(xué)生的觀察能力和對幾何體三種視圖的空間想象能力．
6．（3分）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情況是（　?。?br /> A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根
C．只有一個實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根
【分析】先化成一般式后，在求根的判別式．
【解答】解：原方程可化為：x2﹣2x﹣4＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，
∴方程由兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題運(yùn)用了根的判別式的知識點(diǎn)，把方程轉(zhuǎn)化為一般式是解決問題的關(guān)鍵．
7．（3分）某超市銷售A，B，C，D四種礦泉水，它們的單價(jià)依次是5元、3元、2元、1元．某天的銷售情況如圖所示，則這天銷售的礦泉水的平均單價(jià)是（　?。?br />
A．1.95元 B．2.15元 C．2.25元 D．2.75元
【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義列式計(jì)算可得．
【解答】解：這天銷售的礦泉水的平均單價(jià)是5×10%+3×15%+2×55%+1×20%＝2.25（元），
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查加權(quán)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握加權(quán)平均數(shù)的定義．
8．（3分）已知拋物線y＝﹣x2+bx+4經(jīng)過（﹣2，n）和（4，n）兩點(diǎn)，則n的值為（　?。?br /> A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
【分析】根據(jù)（﹣2，n）和（4，n）可以確定函數(shù)的對稱軸x＝1，再由對稱軸的x＝即可求解；
【解答】解：拋物線y＝﹣x2+bx+4經(jīng)過（﹣2，n）和（4，n）兩點(diǎn)，
可知函數(shù)的對稱軸x＝1，
∴＝1，
∴b＝2；
∴y＝﹣x2+2x+4，
將點(diǎn)（﹣2，n）代入函數(shù)解析式，可得n＝4；
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)；熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的對稱性是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于AC長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線BE交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O．若點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，則CD的長為（　?。?br />
A．2 B．4 C．3 D．
【分析】連接FC，根據(jù)基本作圖，可得OE垂直平分AC，由垂直平分線的性質(zhì)得出AF＝FC．再根據(jù)ASA證明△FOA≌△BOC，那么AF＝BC＝3，等量代換得到FC＝AF＝3，利用線段的和差關(guān)系求出FD＝AD﹣AF＝1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的長．
【解答】解：如圖，連接FC，則AF＝FC．
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠BCO．
在△FOA與△BOC中，
，
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF＝BC＝3，
∴FC＝AF＝3，F(xiàn)D＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．
在△FDC中，∵∠D＝90°，
∴CD2+DF2＝FC2，
∴CD2+12＝32，
∴CD＝2．
故選：A．

【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣基本作圖，勾股定理，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．求出CF與DF是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，在△OAB中，頂點(diǎn)O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），將△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（　?。?br />
A．（10，3） B．（﹣3，10） C．（10，﹣3） D．（3，﹣10）
【分析】先求出AB＝6，再利用正方形的性質(zhì)確定D（﹣3，10），由于70＝4×17+2，所以第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，相當(dāng)于△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)2次，每次旋轉(zhuǎn)90°，此時旋轉(zhuǎn)前后的點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對稱，于是利用關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【解答】解：∵A（﹣3，4），B（3，4），
∴AB＝3+3＝6，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD＝AB＝6，
∴D（﹣3，10），
∵70＝4×17+2，
∴每4次一個循環(huán)，第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，相當(dāng)于△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)2次，每次旋轉(zhuǎn)90°，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，﹣10）．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)：圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
二、填空題（每小題3分，共15分。）
11．（3分）計(jì)算：﹣2﹣1＝　1?。?br /> 【分析】本題涉及二次根式化簡、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪兩個考點(diǎn)．針對每個考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果．
【解答】解：﹣2﹣1
＝2﹣
＝1．
故答案為：1．
【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計(jì)算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、二次根式等考點(diǎn)的運(yùn)算．
12．（3分）不等式組的解集是　x≤﹣2　．
【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．
【解答】解：解不等式≤﹣1，得：x≤﹣2，
解不等式﹣x+7＞4，得：x＜3，
則不等式組的解集為x≤﹣2，
故答案為：x≤﹣2．
【點(diǎn)評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
13．（3分）現(xiàn)有兩個不透明的袋子，一個裝有2個紅球、1個白球，另一個裝有1個黃球、2個紅球，這些球除顏色外完全相同．從兩個袋子中各隨機(jī)摸出1個球，摸出的兩個球顏色相同的概率是　　．
【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到兩個球顏色相同的結(jié)果數(shù)，利用概率公式計(jì)算可得．
【解答】解：列表如下：

黃
紅
紅
紅
（黃，紅）
（紅，紅）
（紅，紅）
紅
（黃，紅）
（紅，紅）
（紅，紅）
白
（黃，白）
（紅，白）
（紅，白）
由表知，共有9種等可能結(jié)果，其中摸出的兩個球顏色相同的有4種結(jié)果，
所以摸出的兩個球顏色相同的概率為，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了列表法與樹狀圖的知識，解題的關(guān)鍵是能夠用列表或列樹狀圖將所有等可能的結(jié)果列舉出來，難度不大．
14．（3分）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半徑OC交弦AB于點(diǎn)D，且OC⊥OA．若OA＝2，則陰影部分的面積為　+π　．

【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)圖形可知陰影部分的面積是△AOD的面積與扇形OBC的面積之和再減去△BDO的面積，本題得以解決．
【解答】解：作OE⊥AB于點(diǎn)F，
∵在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半徑OC交弦AB于點(diǎn)D，且OC⊥OA．OA＝2，
∴∠AOD＝90°，∠BOC＝90°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴OD＝OA?tan30°＝×＝2，AD＝4，AB＝2AF＝2×2×＝6，OF＝，
∴BD＝2，
∴陰影部分的面積是：S△AOD+S扇形OBC﹣S△BDO＝＝+π，
故答案為：+π．

【點(diǎn)評】本題考查扇形面積的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
15．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，點(diǎn)E在邊BC上，且BE＝α．連接AE，將△ABE沿AE折疊，若點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′落在矩形ABCD的邊上，則a的值為　或?。?br />
【分析】分兩種情況：①點(diǎn)B′落在AD邊上，根據(jù)矩形與折疊的性質(zhì)易得AB＝BE，即可求出a的值；②點(diǎn)B′落在CD邊上，證明△ADB′∽△B′CE，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出a的值．
【解答】解：分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時，如圖1．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
∵將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′落在AD邊上，
∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BAD＝45°，
∴AB＝BE，
∴a＝1，
∴a＝；
②當(dāng)點(diǎn)B′落在CD邊上時，如圖2．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a．
∵將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′落在CD邊上，
∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，EB＝EB′＝a，
∴DB′＝＝，EC＝BC﹣BE＝a﹣a＝．
在△ADB′與△B′CE中，
，
∴△ADB′∽△B′CE，
∴＝，即＝，
解得a1＝，a2＝0（舍去）．
綜上，所求a的值為或．
故答案為或．


【點(diǎn)評】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)．進(jìn)行分類討論與數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）
16．（8分）先化簡，再求值：（﹣1）÷，其中x＝．
【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡原式，再將x的值代入計(jì)算可得．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝?
＝，
當(dāng)x＝時，原式＝＝．
【點(diǎn)評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．
17．（9分）如圖，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB為直徑的半圓O交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是上不與點(diǎn)B，D重合的任意一點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F，連接BE并延長交AC于點(diǎn)G．
（1）求證：△ADF≌△BDG；
（2）填空：
①若AB＝4，且點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則DF的長為　4﹣2　；
②取的中點(diǎn)H，當(dāng)∠EAB的度數(shù)為　30°　時，四邊形OBEH為菱形．

【分析】（1）利用直徑所對的圓周角是直角，可得∠ADB＝∠AEB＝90°，再應(yīng)用同角的余角相等可得∠DAF＝∠DBG，易得AD＝BD，△ADF≌△BDG得證；
（2）作FH⊥AB，應(yīng)用等弧所對的圓周角相等得∠BAE＝∠DAE，再應(yīng)用角平分線性質(zhì)可得結(jié)論；由菱形的性質(zhì)可得BE＝OB，結(jié)合三角函數(shù)特殊值可得∠EAB＝30°．
【解答】解：（1）證明：如圖1，∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
∴∠DAF+∠BGD＝∠DBG+∠BGD＝90°
∴∠DAF＝∠DBG
∵∠ABD+∠BAC＝90°
∴∠ABD＝∠BAC＝45°
∴AD＝BD
∴△ADF≌△BDG（ASA）；
（2）①如圖2，過F作FH⊥AB于H，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，
∴∠BAE＝∠DAE
∵FD⊥AD，F(xiàn)H⊥AB
∴FH＝FD
∵＝sin∠ABD＝sin45°＝，
∴，即BF＝FD
∵AB＝4，
∴BD＝4cos45°＝2，即BF+FD＝2，（+1）FD＝2
∴FD＝＝4﹣2
故答案為．
②連接OE，EH，∵點(diǎn)H是的中點(diǎn)，
∴OH⊥AE，
∵∠AEB＝90°
∴BE⊥AE
∴BE∥OH
∵四邊形OBEH為菱形，
∴BE＝OH＝OB＝AB
∴sin∠EAB＝＝
∴∠EAB＝30°．
故答案為：30°



【點(diǎn)評】本題主要考查了圓的性質(zhì)，垂徑定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值等，關(guān)鍵在靈活應(yīng)用性質(zhì)定理．
18．（9分）某校為了解七、八年級學(xué)生對“防溺水”安全知識的掌握情況，從七、八年級各隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行測試，并對成績（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．七年級成績頻數(shù)分布直方圖：

b．七年級成績在70≤x＜80這一組的是：
70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c．七、八年級成績的平均數(shù)、中位數(shù)如下：
年級
平均數(shù)
中位數(shù)
七
76.9
m
八
79.2
79.5
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）在這次測試中，七年級在80分以上（含80分）的有　23　人；
（2）表中m的值為　77.5??；
（3）在這次測試中，七年級學(xué)生甲與八年級學(xué)生乙的成績都是78分，請判斷兩位學(xué)生在各自年級的排名誰更靠前，并說明理由；
（4）該校七年級學(xué)生有400人，假設(shè)全部參加此次測試，請估計(jì)七年級成績超過平均數(shù)76.9分的人數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)條形圖及成績在70≤x＜80這一組的數(shù)據(jù)可得；
（2）根據(jù)中位數(shù)的定義求解可得；
（3）將各自成績與該年級的中位數(shù)比較可得答案；
（4）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中七年級成績超過平均數(shù)76.9分的人數(shù)所占比例可得．
【解答】解：（1）在這次測試中，七年級在80分以上（含80分）的有15+8＝23人，
故答案為：23；
（2）七年級50人成績的中位數(shù)是第25、26個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而第25、26個數(shù)據(jù)分別為78、79，
∴m＝＝77.5，
故答案為：77.5；
（3）甲學(xué)生在該年級的排名更靠前，
∵七年級學(xué)生甲的成績大于中位數(shù)78分，其名次在該班25名之前，
八年級學(xué)生乙的成績小于中位數(shù)78分，其名次在該班25名之后，
∴甲學(xué)生在該年級的排名更靠前．
（4）估計(jì)七年級成績超過平均數(shù)76.9分的人數(shù)為400×＝224（人）．
【點(diǎn)評】本題主要考查頻數(shù)分布直方圖、中位數(shù)及樣本估計(jì)總體，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直方圖得出解題所需數(shù)據(jù)及中位數(shù)的定義和意義、樣本估計(jì)總體思想的運(yùn)用．
19．（9分）數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如圖所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A處測得塑像底部E的仰角為34°，再沿AC方向前進(jìn)21m到達(dá)B處，測得塑像頂部D的仰角為60°，求炎帝塑像DE的高度．
（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，cos34°＝0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）

【分析】由三角函數(shù)求出AC＝≈82.1m，得出BC＝AC﹣AB＝61.1m，在Rt△BCD中，由三角函數(shù)得出CD＝BC≈105.7m，即可得出答案．
【解答】解：∵∠ACE＝90°，∠CAE＝34°，CE＝55m，
∴tan∠CAE＝，
∴AC＝＝≈82.1m，
∵AB＝21m，
∴BC＝AC﹣AB＝61.1m，
在Rt△BCD中，tan60°＝＝，
∴CD＝BC≈1.73×61.1≈105.7m，
∴DE＝CD﹣EC＝105.7﹣55≈51m，
答：炎帝塑像DE的高度約為51m．
【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角和俯角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識求解，難度適中．
20．（9分）學(xué)校計(jì)劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎品．已知購買3個A獎品和2個B獎品共需120元；購買5個A獎品和4個B獎品共需210元．
（1）求A，B兩種獎品的單價(jià)；
（2）學(xué)校準(zhǔn)備購買A，B兩種獎品共30個，且A獎品的數(shù)量不少于B獎品數(shù)量的．請?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢的購買方案，并說明理由．
【分析】（1）設(shè)A的單價(jià)為x元，B的單價(jià)為y元，根據(jù)題意列出方程組，即可求解；
（2）設(shè)購買A獎品z個，則購買B獎品為（30﹣z）個，購買獎品的花費(fèi)為W元，根據(jù)題意得到由題意可知，z≥（30﹣z），W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
【解答】解：（1）設(shè)A的單價(jià)為x元，B的單價(jià)為y元，
根據(jù)題意，得
，
∴，
∴A的單價(jià)30元，B的單價(jià)15元；
（2）設(shè)購買A獎品z個，則購買B獎品為（30﹣z）個，購買獎品的花費(fèi)為W元，
由題意可知，z≥（30﹣z），
∴z≥，
W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z，
當(dāng)z＝8時，W有最小值為570元，
即購買A獎品8個，購買B獎品22個，花費(fèi)最少；
【點(diǎn)評】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用；能夠根據(jù)條件列出方程組，將最優(yōu)方案轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)性質(zhì)解題是關(guān)鍵．
21．（10分）模具廠計(jì)劃生產(chǎn)面積為4，周長為m的矩形模具．對于m的取值范圍，小亮已經(jīng)能用“代數(shù)”的方法解決，現(xiàn)在他又嘗試從“圖形”的角度進(jìn)行探究，過程如下：
（1）建立函數(shù)模型
設(shè)矩形相鄰兩邊的長分別為x，y，由矩形的面積為4，得xy＝4，即y＝；由周長為m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+．滿足要求的（x，y）應(yīng)是兩個函數(shù)圖象在第　一　象限內(nèi)交點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）畫出函數(shù)圖象
函數(shù)y＝（x＞0）的圖象如圖所示，而函數(shù)y＝﹣x+的圖象可由直線y＝﹣x平移得到．請?jiān)谕恢苯亲鴺?biāo)系中直接畫出直線y＝﹣x．
（3）平移直線y＝﹣x，觀察函數(shù)圖象
①當(dāng)直線平移到與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象有唯一交點(diǎn)（2，2）時，周長m的值為　8　；
②在直線平移過程中，交點(diǎn)個數(shù)還有哪些情況？請寫出交點(diǎn)個數(shù)及對應(yīng)的周長m的取值范圍．
（4）得出結(jié)論
若能生產(chǎn)出面積為4的矩形模具，則周長m的取值范圍為　m≥8?。?br />
【分析】（1）x，y都是邊長，因此，都是正數(shù)，即可求解；
（2）直接畫出圖象即可；
（3）①把點(diǎn)（2，2）代入y＝﹣x+即可求解；②在直線平移過程中，交點(diǎn)個數(shù)有：0個、1個、2個三種情況，聯(lián)立y＝和y＝﹣x+并整理得：x2﹣mx+4＝0，即可求解；
（4）由（3）可得．
【解答】解：（1）x，y都是邊長，因此，都是正數(shù)，
故點(diǎn)（x，y）在第一象限，
答案為：一；
（2）圖象如下所示：

（3）①把點(diǎn)（2，2）代入y＝﹣x+得：
2＝﹣2+，解得：m＝8；
②在直線平移過程中，交點(diǎn)個數(shù)有：0個、1個、2個三種情況，
聯(lián)立y＝和y＝﹣x+并整理得：x2﹣mx+4＝0，
△＝m2﹣4×4≥0時，兩個函數(shù)有交點(diǎn)，
解得：m≥8；
（4）由（3）得：m≥8．
【點(diǎn)評】本題為反比例函數(shù)綜合運(yùn)用題，涉及到一次函數(shù)、一元二次方程、函數(shù)平移等知識點(diǎn)，此類探究題，通常按照題設(shè)條件逐次求解，一般難度不大．
22．（10分）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)．連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．
（1）觀察猜想
如圖1，當(dāng)α＝60°時，的值是　1　，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是　60°?。?br /> （2）類比探究
如圖2，當(dāng)α＝90°時，請寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形說明理由．
（3）解決問題
當(dāng)α＝90°時，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，請直接寫出點(diǎn)C，P，D在同一直線上時的值．

【分析】（1）如圖1中，延長CP交BD的延長線于E，設(shè)AB交EC于點(diǎn)O．證明△CAP≌△BAD（SAS），即可解決問題．
（2）如圖2中，設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，BD交PC于點(diǎn)E．證明△DAB∽△PAC，即可解決問題．
（3）分兩種情形：①如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)D在線段PC上時，延長AD交BC的延長線于H．證明AD＝DC即可解決問題．
②如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時，同法可證：DA＝DC解決問題．
【解答】解：（1）如圖1中，延長CP交BD的延長線于E，設(shè)AB交EC于點(diǎn)O．

∵∠PAD＝∠CAB＝60°，
∴∠CAP＝∠BAD，
∵CA＝BA，PA＝DA，
∴△CAP≌△BAD（SAS），
∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，
∵∠AOC＝∠BOE，
∴∠BEO＝∠CAO＝60°，
∴＝1，線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是60°，
故答案為1，60°．

（2）如圖2中，設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，BD交PC于點(diǎn)E．

∵∠PAD＝∠CAB＝45°，
∴∠PAC＝∠DAB，
∵＝＝，
∴△DAB∽△PAC，
∴∠PCA＝∠DBA，＝＝，
∵∠EOC＝∠AOB，
∴∠CEO＝∠OABB＝45°，
∴直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)為45°．


（3）如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)D在線段PC上時，延長AD交BC的延長線于H．

∵CE＝EA，CF＝FB，
∴EF∥AB，
∴∠EFC＝∠ABC＝45°，
∵∠PAO＝45°，
∴∠PAO＝∠OFH，
∵∠POA＝∠FOH，
∴∠H＝∠APO，
∵∠APC＝90°，EA＝EC，
∴PE＝EA＝EC，
∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，
∴∠H＝∠BAH，
∴BH＝BA，
∵∠ADP＝∠BDC＝45°，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AH，
∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，
∵∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴A，D，C，B四點(diǎn)共圓，
∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，
∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，
∴DA＝DC，設(shè)AD＝a，則DC＝AD＝a，PD＝a，
∴＝＝2﹣．

如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時，同法可證：DA＝DC，設(shè)AD＝a，則CD＝AD＝a，PD＝a，

∴PC＝a﹣a，
∴＝＝2+．
【點(diǎn)評】本題屬于相似形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．
23．（11分）如圖，拋物線y＝ax2+x+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線y＝﹣x﹣2經(jīng)過點(diǎn)A，C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線AC于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
①當(dāng)△PCM是直角三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②作點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)B'，則平面內(nèi)存在直線l，使點(diǎn)M，B，B′到該直線的距離都相等．當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)的拋物線上，且與點(diǎn)B不重合時，請直接寫出直線l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）

【分析】（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出二次函數(shù)解析式；
（2）①由PM⊥x軸可得出∠PMC≠90°，分∠MPC＝90°及∠PCM＝90°兩種情況考慮：（i）當(dāng)∠MPC＝90°時，PC∥x軸，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（ii）當(dāng)∠PCM＝90°時，設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)D，易證△AOC∽△COD，利用相似三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線PC的解析式，聯(lián)立直線PC和拋物線的解析式成方程組，通過解方程組可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．綜上，此問得解；
②利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)B，P的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線PB的解析式，結(jié)合題意可知：直線l過點(diǎn)C，且直線l∥直線PB，再結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)即可求出直線l的解析式．
【解答】解：（1）當(dāng)x＝0時，y＝﹣x﹣2＝﹣2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣2）；
當(dāng)y＝0時，﹣x﹣2＝0，
解得：x＝﹣4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0）．
將A（﹣4，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+x+c，得：
，解得：，
∴拋物線的解析式為y＝x2+x﹣2．
（2）①∵PM⊥x軸，
∴∠PMC≠90°，
∴分兩種情況考慮，如圖1所示．
（i）當(dāng)∠MPC＝90°時，PC∥x軸，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣2．
當(dāng)y＝﹣2時，x2+x﹣2＝﹣2，
解得：x1＝﹣2，x2＝0，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）；
（ii）當(dāng)∠PCM＝90°時，設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)D．
∵∠OAC+∠OCA＝90°，∠OCA+∠OCD＝90°，
∴∠OAC＝∠OCD．
又∵∠AOC＝∠COD＝90°，
∴△AOC∽△COD，
∴＝，即＝，
∴OD＝1，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0）．
設(shè)直線PC的解析式為y＝kx+b（k≠0），
將C（0，﹣2），D（1，0）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴直線PC的解析式為y＝2x﹣2．
聯(lián)立直線PC和拋物線的解析式成方程組，得：，
解得：，，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，10）．
綜上所述：當(dāng)△PCM是直角三角形時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）或（6，10）．
②當(dāng)y＝0時，x2+x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）．
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m＞0且m≠0），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m2+m﹣2），
∴直線PB的解析式為y＝（m+4）x﹣（m+4）（可利用待定系數(shù)求出）．
∵點(diǎn)B，B′關(guān)于點(diǎn)C對稱，點(diǎn)B，B′，P到直線l的距離都相等，
∴直線l過點(diǎn)C，且直線l∥直線PB，
∴直線l的解析式為y＝（m+4）x﹣2．


【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）①分∠MPC＝90°及∠PCM＝90°兩種情況求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②利用待定系數(shù)法及平行線的性質(zhì)，求出直線l的解析式．


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