020-2021學(xué)年下學(xué)期高三4月月考卷文科數(shù)學(xué)注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，故選A．2．已知集合，，若，則實數(shù)k的取值范圍為（    ）A．  B．C．  D．【答案】C【解析】若，即，又，則，解得，又，所以當時，實數(shù)的取值范圍為集合的補集，即實數(shù)k的取值范圍為，故選C．3．為了了解運動健身減肥的效果，某健身房調(diào)查了20名肥胖者，健身之前他們的體重情況如三維餅圖（1）所示，經(jīng)過四個月的健身后，他們的體重情況如三維餅圖（2）所示．對比健身前后，關(guān)于這20名肥胖者，下面結(jié)論不正確的是（    ）A．他們健身后，體重在區(qū)間內(nèi)的人增加了2個B．他們健身后，體重在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)沒有改變C．他們健身后，20人的平均體重大約減少了D．他們健身后，原來體重在區(qū)間內(nèi)的肥胖者體重都有減少【答案】C【解析】體重在區(qū)間內(nèi)的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，所以人數(shù)增加了2個，A正確；他們健身后體重在區(qū)間內(nèi)的百分比沒有變，所以人數(shù)沒有變，B正確；他們健身后20人的平均體重大約減少了，C錯誤；因為圖（2）中沒有體重在區(qū)間內(nèi)的比例，所以原來體重在區(qū)間內(nèi)的肥胖者體重都有減少，D正確，故選C．4．設(shè)，則“”是“直線和圓有公共點”的（    ）A．充分不必要條件  B．必要不充分條件C．充分必要條件  D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】圓，圓心，半徑，若直線與圓有公共點，則圓心到直線的距離，解得，，所以“”是“直線和圓有公共點”的充分不必要條件，故選A．5．已知向量，，若，則實數(shù)的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知向量，，則，，由可得，解得，故選B．6．若兩個等差數(shù)列和的前項和分別是，，已知，則（    ）A． B． C．7 D．【答案】B【解析】由已知得，故選B．7．已知函數(shù)為自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)），若，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，故，而顯然為減函數(shù)，所以，故選D．8．已知函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標構(gòu)成一個公差為的等差數(shù)列，把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位，橫坐標伸長到原來的2倍得到函數(shù)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的序號是（    ）①函數(shù)是奇函數(shù)②的圖象關(guān)于直線對稱③在上是增函數(shù)④當時，函數(shù)的值域是A．①③ B．③④ C．② D．②③④【答案】C【解析】因為，又的圖象與軸交點的橫坐標構(gòu)成一個公差為的等差數(shù)列，所以，所以，所以，所以向左平移個單位得到，橫坐標伸長到原來倍得到，①為非奇非偶函數(shù)，故錯誤；②，所以是的一條對稱軸，故正確；③因為，所以，又因為在上先增后減，所以在上不是增函數(shù)，故錯誤；④當時，，所以，此時；，此時，所以的值域為，故錯誤，故選C．9．為捍衛(wèi)國家南海主權(quán)，我海軍在南海海域進行例行巡邏．某天，一艘巡邏艦從海島出發(fā)，沿南偏東的方向航行40海里后到達海島，然后再從海島出發(fā)，沿北偏東的方向航行了海里到達海島．若巡邏艦從海島出發(fā)沿直線到達海島，則航行的方向和路程（單位：海里）分別為（    ）A．北偏東， B．北偏東，C．北偏東， D．北偏東，【答案】C【解析】據(jù)題意知，在中，，海里，海里，所以，所以海里，又，所以，又因為為銳角，所以，所以航行的方向和路程分別為北偏東，海里，故選C．10．古希臘歐幾里得在《幾何原本》里提出：“球的體積（V）與它的直徑（D）的立方成正比”，此即，歐幾里得未給出k的值．17世紀日本數(shù)學(xué)家們對求球的體積的方法還不了解，他們將體積公式中的常數(shù)k稱為“立圓率”或“玉積率”，類似地，對于正四面體、正方體也可利用公式求體積（在正四面體中，D表示正四面體的棱長；在正方體中，D表示棱長），假設(shè)運用此體積公式求得球（直徑為a）、正四面體（正四面體棱長為a）、正方體（棱長為a）的“玉積率”分別為，，，那么的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，如圖所示，設(shè)正四面體的棱長為，為正四面體的高，可知正四面體底面高，則，由勾股定理可得正四面體的高，所以正四面體的體積，，，，，故選B．11．已知圓，點在直線上運動，若圓上存在兩點、，使得成立，則點運動的軌跡長度為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】圓的圓心坐標為，半徑為，圓心到直線的距離為，故直線與圓相離，過點作圓的兩條切線，切點分別為、，連接、，則，，如下圖所示：由于，則，即，由切線長定理可得，，，，，則，，，所以，設(shè)點，則，整理可得，解得，所以，點的軌跡的長度為，故選D．12．若曲線與曲線存在公共切線，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，由，得，曲線與曲線存在公共切線，則設(shè)公切線與曲線切于點，與曲線切于點，則，將代入，可得，，記，則，當時，；當時，，當時，．的范圍是，故選C． 第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．總體由編號為01，02，…，19，20的20個個體組成．利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行第6列的數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為______．附：第1行至第2行的隨機數(shù)表21 16 65 08　90 34 20 76　43 81 26 34　91 64 17 50　71 59 45 0691 27 35 36　80 72 74 67　21 33 50 25　83 12 02 76　11 87 05 26【答案】15【解析】從隨機數(shù)表的第1行第6列的數(shù)字開始，按規(guī)則得到的編號依次為50，89，03，42，07，64，38，12，63，49，16，41，75，07，15，94，50，……其中編號在01至20之間的依次為03，07，12，16，07，15，……按照編號重復(fù)的刪除后一個的原則，可知選出來的第5個個體的編號為15．故答案為15．14．國產(chǎn)殺毒軟件進行比賽，每個軟件進行四輪考核，每輪考核中能夠準確對病毒進行查殺的進入下一輪考核，否則被淘汰．已知某個軟件在四輪考核中能夠準確殺毒的概率依次是，，，，且各輪考核能否通過互不影響．則該軟件至多進入第三輪考核的概率為______．【答案】【解析】設(shè)事件表示“該軟件能通過第輪考核”，由已知得，，，，設(shè)事件表示“該軟件至多進入第三輪”，則，故答案為．15．一種藥在病人血液中的量保持以上才有療效；而低于病人就有危險．現(xiàn)給某病人靜脈注射了這種藥，如果藥在血液中以每小時20％的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過______小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效．（附：，，精確到）【答案】【解析】設(shè)應(yīng)在病人注射這種藥經(jīng)過小時后再向病人的血液補充這種藥，則血液中的含藥量與注射后的時間的關(guān)系式為，依題意，可得，整理可得，所以，即，由，所以，故在起經(jīng)過小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效，故答案為．16．過雙曲線的右焦點作的一條漸近線的垂線，垂足為交另一條漸近線于點，若，，求的離心率的取值范圍為___________．【答案】【解析】設(shè)右焦點，設(shè)一條漸近線的方程為，另一條漸近線的方程為，由，可得的方程為，聯(lián)立方程，即；聯(lián)立方程，即，又，，解得，又，，即，解得，即，故答案為． 三、解答題：本大題共6大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（12分）已知等差數(shù)列的前項和，滿足．（1）求的值；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）由題意知，當時，，當時，由，所以，當時，由，所以，因為為等差數(shù)列，所以，所以．（2）由（1）知，，則，∴，∴，上式減下式，得，∴，∵，∴是關(guān)于的增函數(shù)，即，又易知，故．18．（12分）如圖所示，在四棱錐中，，，平面，，，設(shè)、分別為、的中點．（1）求證：平面平面；（2）求三棱錐的側(cè)面積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）∵、分別為、的中點，∴，又平面，平面，∴平面，在中，，，∴，又，∴，∵平面，平面，∴平面，又，∴平面平面．（2）∵平面，平面，平面，由（1）可知，∴，，∵，，，，∴，，，由（1）可知，在中，，∴，又，在中，，∴邊上的高，∴，∴三棱錐的側(cè)面積．19．（12分）某公司為研究某種圖書每冊的成本費y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊)的關(guān)系，收集了一些數(shù)據(jù)并進行了初步處理，得到了下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．表中，．（1）根據(jù)散點圖判斷：與哪一個模型更適合作為該圖書每冊的成本費y與印刷數(shù)量x的回歸方程？(只要求給出判斷，不必說明理由)（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程(結(jié)果精確到)；（3）若該圖書每冊的定價為元，則至少應(yīng)該印刷多少冊才能使銷售利潤不低于80000元？(假設(shè)能夠全部售出，結(jié)果精確到1)附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．【答案】（1）更適合；（2）；（3）至少印刷11120冊才能使銷售利潤不低于80000元．【解析】（1）由散點圖判斷，更適合作為該圖書每冊的成本費y(單位：元)與印刷數(shù)量(單位：千冊)的回歸方程．（2）令，先建立y關(guān)于u的線性回歸方程，由于，所以，所以y關(guān)于u的線性回歸方程為，所以y關(guān)于x的回歸方程為．（3）假設(shè)印刷千冊，依題意得，解得，所以至少印刷11120冊才能使銷售利潤不低于80000元．20．（12分）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上．（1）求拋物線的方程；（2）直線過點交拋物線于兩點，過點作拋物線的切線與準線交于點，求面積的最小值．【答案】（1）；（2）4．【解析】（1）因為是上的點，所以，化簡得，解得或．因為，所以，拋物線的方程為．（2）依題意可知，，直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去可得．設(shè)，，則，，所以，由，得，所以過A點的切線方程為，又，所以切線方程可化為，準線為，可得，所以點，所以點到直線的距離，所以，當時，等號成立，所以面積的最小值為．21．（12分）已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意的成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】（1），有且定義域為，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．（2）據(jù)題意，對任意的成立，整理得在恒成立，設(shè)，則，令，則，當時，，在上單調(diào)遞減，即，∴當時，，則在上單調(diào)遞增，即，故，即實數(shù)的取值范圍是． 請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù))，以原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系．（1）求的普通方程和的極坐標方程；（2）求曲線上的點到曲線距離的最小值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由，所以，得，消去參數(shù)得的普通方程為；由，得，整理得曲線的普通方程為，將，代入得其極坐標方程為．（2）設(shè)曲線上任意一點的坐標為，則曲線上的點到曲線的距離，其中，當時，．23．（10分）【選修4-5：不等式選講】已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）若為正實數(shù)，函數(shù)的最小值為，已知，求的最小值．【答案】（1）；（2）最小值為3．【解析】（1），的解集為．（2）由（1）可知的最小值為，則，又，當且僅當時取等號，所以最小值為3． 

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