020-2021學(xué)年下學(xué)期高三4月月考卷理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a等于（    ）A．或3 B．0或 C．3 D．【答案】C【解析】由，可知，故，解得或．當(dāng)時(shí)，，與集合元素互異性矛盾，故不正確，經(jīng)檢驗(yàn)可知符合題意，故選C．2．已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】復(fù)數(shù)，則，由純虛數(shù)的定義知，解得，故選A．3．“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（    ）A．充分不必要條件  B．必要不充分條件C．充要條件  D．不充分也不必要條件【答案】A【解析】，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在為增函數(shù)，即充分性成立，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，如當(dāng)，即時(shí)，滿足題意，故必要性不成立．即“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分不必要條件，故選A．4．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（    ）A．48 B．42 C．39 D．21【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，與，相矛盾，所以，所以，所以，得，，所以，故選C．5．函數(shù)在上的大致圖象為（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】，即，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故排除B、C，當(dāng)時(shí)函數(shù)值為正數(shù)，故排除D，只有A選項(xiàng)符合題意，故選A．6．已知中，，，若與線段交于點(diǎn)，且滿足，，則的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵線段與線段交于點(diǎn)，設(shè) ()，則，即，又∵、、三點(diǎn)共線，則，即，∵，∴當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，最小，此時(shí)最大，又，故此時(shí)，又因?yàn)?/span>，∴，即，即的最大值為，故選D．7．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有1個(gè)最大值點(diǎn)和1個(gè)最小值點(diǎn)，則ω的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，在上恰有1個(gè)最大值點(diǎn)和1個(gè)最小值點(diǎn)，，解得，故選B．8．定義在上的函數(shù)滿足，對(duì)任意的，，，恒有，則關(guān)于x的不等式的解集為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，因?yàn)閷?duì)任意的，，，恒有，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，又，而，所以，所以為奇函數(shù)，綜上，為奇函數(shù)，且在上為增函數(shù)，所以不等式等價(jià)于，即，亦即，可得，解得，故選B．9．中，，內(nèi)切的半徑為，上高為，，現(xiàn)從內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自內(nèi)的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，中點(diǎn)為，切于，，，，故，，故所求概率為，故選A．10．設(shè)過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．若與軸的交點(diǎn)為，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，直線不與軸平行或重合，可設(shè)直線方程為，則．圓心到直線的距離．因?yàn)橹本€與圓相交，所以，解得．在中，．又，所以，令，則．當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，因此，可得，所以，故選B．11．若存在，使得函數(shù)與的圖象在這兩個(gè)函數(shù)圖象的公共點(diǎn)處的切線相同，則的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)曲線與的公共點(diǎn)為，，，，則，解得或，又，且，則．，，．設(shè)，，令，得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，的最大值為，故選D．12．在棱長(zhǎng)為的正四面體中，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，在平面內(nèi)，，所以點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡為橢圓，取的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接，以直線為軸，直線為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則橢圓的半焦距，長(zhǎng)半軸，該橢圓的短半軸為，所以，橢圓方程為．點(diǎn)在底面的投影設(shè)為點(diǎn)，則點(diǎn)為的中心，，故點(diǎn)正好為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，，則，因?yàn)?/span>，故只需計(jì)算的最大值．設(shè)，則，則，當(dāng)時(shí)，取最大值，即，因此可得，故的最大值為，故選B． 第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．的展開式中常數(shù)項(xiàng)是___________．(用數(shù)字作答)【答案】【解析】由題意，化簡(jiǎn)，又由展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，可得，所以的展開式中常數(shù)項(xiàng)是，故答案為．14．甲和乙等名志愿者參加進(jìn)博會(huì)四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每人一個(gè)崗位，每個(gè)崗位至少1人，且甲和乙不在同一個(gè)崗位服務(wù)，則共有___________種不同的參加方法(結(jié)果用數(shù)值表示)．【答案】【解析】由題意得，有且只有2人分到一組，然后再分到四個(gè)不同的崗位，則有種方法，甲和乙在同一個(gè)崗位服務(wù)的分配方法有種，所以甲和乙不在同一個(gè)崗位服務(wù)的方法有種，故答案為216．15．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則的取值范圍為________．【答案】【解析】因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，，所以，所以，所以，所以，令，則，所以，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以的取值范圍為，故答案為．16．已知雙曲線的焦點(diǎn)為，是雙曲線上一點(diǎn)，且．若的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為，且，則雙曲線的離心率為__________．【答案】【解析】雙曲線的焦點(diǎn)為，，，在中，由正弦定理得，解得，，設(shè)，，在中，由余弦定理得，解得，所以，因?yàn)?/span>，又，所以，則，所以，整理得，則，解得或（舍去），故答案為． 三、解答題：本大題共6大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（12分）已知在數(shù)列中，，，前n項(xiàng)和為，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）在數(shù)列中，①∵②且，∴①式÷②式，得 ，∴數(shù)列以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，∴，∴，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，不滿足上式，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知，∵當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，滿足，∴，∵在中，，，∴，∴，∴，∴，所以．18．（12分）如圖，四棱錐中，，平面平面．若，，，．（1）證明：；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：設(shè)平面平面，，平面，平面，平面，又平面，，，，，又平面平面，平面，平面，．（2）連接，在中，由余弦定理得，，又，為二面角的平面角，以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)?/span>軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，，，．，，，平面，平面平面，可設(shè)，由，可得，化簡(jiǎn)可得…①由（1）知，，化簡(jiǎn)得…②解方程①②，可得，，，，，二面角的余弦值為．19．（12分）一黑色袋里裝有除顏色不同外其余均相同的8個(gè)小球，其中白色球與黃色球各3個(gè)，紅色球與綠色球各1個(gè)．現(xiàn)甲、乙兩人進(jìn)行摸球得分比賽，摸到白球每個(gè)記1分、黃球每個(gè)記2分、紅球每個(gè)記3分、綠球每個(gè)記4分，以得分高獲勝．比賽規(guī)則如下：①只能一個(gè)人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先從袋中摸出1球；若摸出的是綠色球，則再從袋子里摸出2個(gè)球；若摸出的不是綠色球，則再從袋子里摸出3個(gè)球，他的得分為兩次摸出的球的記分之和；④剩下的球歸對(duì)方，得分為剩下的球的記分之和．（1）若甲第一次摸出了綠色球，求甲的得分不低于乙的得分的概率；（2）如果乙先摸出了紅色球，求乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，．【解析】（1）記“甲第一次摸出了綠色球，甲的得分不低于乙的得分”為事件，因?yàn)榍虻目偡譃?/span>16，即事件指的是甲的得分大于等于8，則．（2）如果乙第一次摸出紅球，則可以再從袋子里摸出3個(gè)小球，則得分情況有：6分、7分、8分、9分、10分、11分等，，，，，，，所以的分布列為：67891011所以的數(shù)學(xué)期望．20．（12分）已知橢圓與雙曲線有兩個(gè)相同的頂點(diǎn)，且的焦點(diǎn)到其漸近線的距離恰好為的短半軸的長(zhǎng)度．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作不垂直于坐標(biāo)軸的直線與交于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得平分？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)，使得平分．【解析】（1）由題意可得，雙曲線的焦點(diǎn)為，漸近線方程為，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為，所以，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）存在點(diǎn)使得平分，由題知，直線的斜率存在且不為0，又直線過點(diǎn)，則設(shè)直線的方程為，，，，聯(lián)立方程，消去整理可得，所以，，因?yàn)?/span>，，，所以，即，因?yàn)?/span>，所以，即，則，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)?/span>，所以，綜上，存在點(diǎn)，使得平分．21．（12分）已知實(shí)數(shù)，函數(shù)．（1）若函數(shù)在中有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，求證：．（參考數(shù)據(jù)，）【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1），令，得，由，得，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在中有極值，與在上有交點(diǎn)，．（2）在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在有唯一零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為，則有…①，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，即，將①式代入得，記，則為函數(shù)的零點(diǎn)，，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，有唯一零點(diǎn)，又，，． 請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）直接寫出曲線的普通方程；（2）設(shè)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）曲線的普通方程為．（2）由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），得曲線的普通方程為，它是一個(gè)以為圓心，半徑等于的圓，曲線的極坐標(biāo)方程為，，可得，則曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），是曲線上的點(diǎn)，是曲線上的點(diǎn)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，．23．（10分）【選修4-5：不等式選講】設(shè)函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值是，且，求的最小值．【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，不等式的解集為或．（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，，即，則．因?yàn)?/span>，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．故的最小值為． 

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